《2013高考數(shù)學 解題方法攻略 二面角與距離 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2013高考數(shù)學 解題方法攻略 二面角與距離 理（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、一招通解“二面角”和“點到平面的距離” 求“二面角”與“點到平面的距離”問題一直是高考命題的熱點，而這兩方面的題 目又是很多學生感到頭痛的。事實上，這兩類問題有著較強的相關(guān)性，下面給出這兩類問題的一個“統(tǒng)一”求解公式，讓你一招通解兩類問題， 定理：如下圖，若銳二面角的大小為，點A為平面內(nèi)一點，若點A到二面角棱CD的距離為，點A到平面的距離AH=d，則有。 說明：中含有3個參數(shù)，已知其中任意2個可求第3個值。其中是指二面角的大小，d表示點A到平面的距離，m表示點A到二面角棱CD的距離。值得指出的是：可用來求解點到平面的距離，也可用于求解相關(guān)的二面角大小問題。其優(yōu)點在于應用它并不強求

2、作出經(jīng)過點A的二面角的平面角∠ABH，而只需已知點A到二面角棱的距離，與二面角大小，即可求解點A到平面的距離，或已知兩種“距離”即可求二面角的大小。這樣便省去了許多作圖過程與幾何邏輯論證，簡縮了解題過程。還要注意，當已知點A到平面的距離d與點A到二面角棱CD的距離m求解二面角的大小時，若所求二面角為銳二面角，則有；若所求二面角為鈍二面角，則 下面舉例說明該公式在解題中的應用。 例1. （2004年全國卷I理科20題）如下圖，已知四棱錐P-ABCD，PB⊥AD，側(cè)面PAD為邊長等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°。 （1）求點P到平面AB

3、CD的距離； （2）求面APB與面CPB所成二面角的大小。 分析：如上圖，作PO⊥平面ABCD，垂足為O，即PO為點P到平面ABCD距離。第（1）問要求解距離PO，只需求出點P到二面角P-AD-O的棱AD的距離，及二面角P-AD-O的大小即可。第（2）問要求解二面角A-PB-C的大小，只需求出點C到二面角A-PB-C棱PB的距離及點C到半平面APB的距離即可。 解：（1）如上圖，取AD的中點E，連結(jié)PE。由題意，PE⊥AD，即。 又二面角P-AD-O與二面角P-AD-B互補，所以二面角P-AD-O的大小為60°，即。于是由公式知：點P到平面ABCD的距離為 。 （2）設(shè)所求二面

4、角A-PB-C的大小為，點C到平面PAB的距離為d。 連接BE，則BE⊥AD（三垂線定理），AD⊥平面PEB，因為AD∥BC，所以BC⊥平面PEB，BC⊥PB，即點C到二面角棱PB的距離為2，即m=2。 又因為PE=BE=，∠PEB=120°，所以在ΔPEB中，由余弦定理可求得PB=3。 取PB的中點F，連結(jié)AF，因為PA=AB=2，則AF⊥PB，，所以，即。又易求得，點P到平面ABC的距離：。 根據(jù)等體積法，有 ， 即，所以，代入公式 。 又由于面PBC⊥面PEB，所以所求二面角A-PB-C為鈍二面角，所以 點評：對于這個高考試題，許多考生反映第（2）問求解困難，失分較

5、為嚴重。究其原因有二：一是不能正確地作出二面角的平面角；二是在求二面角的平面角時存在計算障礙。 利用公式求解，省去了許多繁難的作圖過程與邏輯論證，其優(yōu)勢顯而易見。 例2. 已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求點B到平面EFG的距離。 分析：欲求點B到平面GEF的距離，直接求解較困難。為此我們令平面GEF作為某二面角的一個半平面，當然二面角的另一個半平面即為平面BEF，為此我們只需找到該二面角的平面角及點B到二面角棱EF的距離即可。 解：如下圖，過B作BP⊥EF，交EF的延長線于P，連結(jié)AC交EF于H，連結(jié)GH，易

6、證∠GHC就是二面角G-EF-C的平面角。 又，這就是點B到二面角C-EF-G棱EF的距離 因為GC=2，，所以，GH=，在RtΔGCH中，，于是由得所求點B到平面GEF的距離： 。 例3. 已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面A1ACC1與底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，，且AA1⊥A1C，AA1=A1C。求頂點C與側(cè)面A1ABB1的距離。 分析：如下圖所示，解答好本題的關(guān)鍵是找到底面ABC的垂線A1D，找到了底面的垂線A1D，就可根據(jù)三垂線定理，作出側(cè)面A1ABB1與底面ABC所成二面角的平面角A1DE，求出二面角A1-AB-C的平面角大小，就可依據(jù)公式找到

7、點D到平面A1ABB1的距離d，進而根據(jù)D為AC中點，也就不難求出點C到側(cè)面A1ABB1的距離。 解：如上圖，在側(cè)面A1ACC1內(nèi)，作A1D⊥AC，垂足為D，因為AA1=A1C，所以D為AC的中點。又因為AA1⊥A1C，，A1D=AD=。 因為側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC，其交線為AC，所以A1D⊥面ABC。 過D作DE⊥AB，垂足為E，連接A1E，則由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB（三垂線定理），所以∠A1ED為側(cè)面A1ABB1與面ABC所成二面角的平面角。 由已知，AB⊥BC，得ED∥BC，又D是AC的中點，BC=2，所以DE=1，，故∠A1ED=60°。 于是由公式知，點D到側(cè)面A1ABB1的距離 。 又點D為AC的中點，故而點C到側(cè)面A1ABB1的距離為點D到側(cè)面A1ABB1距離的2倍，于是知點C到側(cè)面A1ABB1的距離為。 點評：本例先通過求側(cè)面A1ABB1與面ABC所成二面角的大小，進而利用公式求出點D到側(cè)面A1ABB1的距離，再利用中點D的性質(zhì)巧妙地求得C到側(cè)面A1ABB1的距離，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法在解題中的靈活運用。