《2013高考數(shù)學 秒殺必備 恒成立問題的一般解法》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2013高考數(shù)學 秒殺必備 恒成立問題的一般解法（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、高考數(shù)學恒成立問題的一般解法 高考數(shù)學復習中的恒成立問題，涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象,滲透著換元、化歸、數(shù)形結合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。因此也成為歷年高考的一個熱點。恒成立問題在解題過程中大致可分為以下幾種類型：①一次函數(shù)型；②二次函數(shù)型；③變量分離型；④根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)；⑤直接根據(jù)函數(shù)的圖象。 一、 一次函數(shù)型： 給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]內(nèi)恒有f(x)>0，則根據(jù)函數(shù)的圖象（直線）可得上述結論等價于 ?。┗颌ⅲ┮嗫珊喜⒍ǔ? 同理

2、，若在[m,n]內(nèi)恒有f(x)<0，則有 n m o x y n m o x y 例1、 對于滿足|p|2的所有實數(shù)p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范圍。 分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個字母：x及P,關鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為常數(shù)。顯然可將p視作自變量，則上述問題即可轉化為在[-2，2]內(nèi)關于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問題。 略解：不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0,設f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,則f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有： 即解得： ∴x<-1或x>3. 二、

3、二次函數(shù)型 若二次函數(shù)y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，則有 若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，還可以利用韋達定理以及根與系數(shù)的分布知識求解。 例2、 設f(x)=x2-2ax+2,當x[-1,+)時，都有f(x)a恒成立，求a的取值范圍。 分析：題目中要證明f(x)a恒成立，若把a移到等號的左邊，則把原題轉化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間[-1,+)時恒大于0的問題。 解：設F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a. ⅰ)當=4（a-1)(a+2)<0時，即-2

4、充要條件： -1 o x y 即 得-3a-2; 綜合可得a的取值范圍為[-3，1]。 例3、 關于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解，求a的范圍。 分析：題目中出現(xiàn)了3x及9x，故可通過換元轉化成二次函數(shù)型求解。 解法1（利用韋達定理）： 設3x=t,則t>0.則原方程有解即方程t2+(4+a)t+4=0有正根。 即 解得a-8. 解法2（利用根與系數(shù)的分布知識）： 即要求t2+(4+a)t=0有正根。設f(x)= t2+(4+a)t+4. 10.=0,即（4+a）2-16=0,∴a=0或a=-8. a=0時，f(x)=(t+2)2=0,得

5、t=-2<0，不合題意； a=-8時，f(x)=(t-2)2=0,得t=2>0,符合題意?！郺=-8. 4 o x y 20. >0,即a<-8或a>0時， ∵f(0)=4>0,故只需對稱軸，即a<-4. ∴a<-8 綜合可得a-8. 三、 變量分離型 若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉化成函數(shù)的最值問題求解。 已知當xR時，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。 分析：在不等式中含有兩個變量a及x，其中x的范圍已知（xR

6、），另一變量a的范圍即為所求，故可考慮將a及x分離。 解：原不等式即：4sinx+cos2x<-a+5 要使上式恒成立，只需-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述問題轉化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值問題。 f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+33, ∴-a+5>3即>a+2 上式等價于或 解得a<8. 注：注意到題目中出現(xiàn)了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx換元成t,則可把原不等式轉化成關于t的二次函數(shù)類型。 另解：a+cos2x<5-4sinx+即 a+1-2

7、sin2x<5-4sinx+,令sinx=t,則t[-1,1], 整理得2t2-4t+4-a+>0,( t[-1,1])恒成立。 設f(t)= 2t2-4t+4-a+則二次函數(shù)的對稱軸為t=1, f(x)在[-1，1]內(nèi)單調(diào)遞減。 只需f(1)>0,即>a-2.(下同) 四、 根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì) 若函數(shù)f(x)是奇(偶)函數(shù)，則對一切定義域中的x ,f(-x)=-f(x) (f(-x)=f(x))恒成立；若函數(shù)y=f(x)的周期為T，則對一切定義域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。 例4、 若f(x)=sin(x+)+cos(x-)為偶函數(shù)，求的值。 分析

8、：告訴我們偶函數(shù)的條件，即相當于告訴我們一個恒成立問題。 解：由題得：f(-x)=f(x)對一切xR恒成立， sin(-x+)+cos(-x-)=sin(x+)+cos(x-) 即sin(x+)+sin(x-)=cos(x+)-cos(x-) 2sinx·cos=-2sinx·sinsinx(sin+cos)=0 對一切xR恒成立，只需也必須sin+cos=0。 =k.（kZ) 五、 直接根據(jù)圖象判斷 若把等式或不等式進行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結果。尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。 例6、當x(1,

9、2)時，不等式(x-1)21,并且必須也只需當x=2時y2的函數(shù)值大于等于y1的函數(shù)值。 故loga2>1,a>1,1

10、分析：方程可轉化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),從而得x2+20x=8x-6a-3>0,注意到若將等號兩邊看成是二次函數(shù)y= x2+20x及一次函數(shù)y=8x-6a-3，則只需考慮這兩個函數(shù)的圖象在x軸上方恒有唯一交點即可。 x l1 l2 l -20 o 解：令y1= x2+20x=（x+10）2-100,y2=8x-6a-3,則如圖所示，y1的圖象為一個定拋物線，y2的圖象是一條斜率為定值8，而截距不定的直線，要使y1和y2在x軸上有唯一交點，則直線必須位于l1和l2之間。（包括l1但不包括l2) 當直線為l1時，直線過點（-20，0）此時縱截距為-6a-3=160,a=; 當直線為l2時，直線過點（0，0），縱截距為-6a-3=0，a=∴a的范圍為[，）。