《2013高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 定點(diǎn)定線定值 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2013高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 定點(diǎn)定線定值 理（21頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、高中理科數(shù)學(xué)解題方法篇（定點(diǎn)定線定值） 1.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為． （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)． 【標(biāo)準(zhǔn)答案】(I)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ， (II)設(shè)，由得， ，. 以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，， (最好是用向量點(diǎn)乘來)， ， ，解得，且滿足. 當(dāng)時(shí)，，直線過定點(diǎn)與已知矛盾； 當(dāng)時(shí)，，直線過定點(diǎn) 綜上可知，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為 2.已知橢圓過點(diǎn)，且離心率。 （Ⅰ）求

2、橢圓方程； （Ⅱ）若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且線段的垂直平分線過定點(diǎn)，求的取值范圍。 解：（Ⅰ）離心率，，即（1）； 又橢圓過點(diǎn)，則，（1）式代入上式，解得，，橢圓方程為。 （Ⅱ）設(shè)，弦MN的中點(diǎn)A 由得：， 直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)， ，即………………（1） 由韋達(dá)定理得：， 則， 直線AG的斜率為：， 由直線AG和直線MN垂直可得：，即，代入（1）式，可得，即，則。 3.過拋物線（＞0）上一定點(diǎn)＞0），作兩條直線分別交拋物線于，，求證：與的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，直線的斜率為非零常數(shù)． 【解析】設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為． 由 相減得，

3、 故 同理可得， 由傾斜角互補(bǔ)知： ∴ ∴ 由 相減得， ∴ ∴直線的斜率為非零常數(shù)． 題型：動(dòng)弦過定點(diǎn)的問題 例題5、（07山東理）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3；最小值為1； （Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）若直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)。求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。 分析：第一問，是待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，并且橢圓的右頂點(diǎn)和A、B的連線互相垂直，證明直線過定點(diǎn)

4、，就是通過垂直建立k、m的一次函數(shù)關(guān)系。 解（I）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ， （II）設(shè)，由得 ， ， （注意：這一步是同類坐標(biāo)變換） （注意：這一步叫同點(diǎn)縱、橫坐標(biāo)間的變換） 以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)且， ，， ， ，解得，且滿足 當(dāng)時(shí)，，直線過定點(diǎn)與已知矛盾； 當(dāng)時(shí)，，直線過定點(diǎn) 綜上可知，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為 練習(xí)1.直線和拋物線相交于A、B，以AB為直徑的圓過拋物線的頂點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)。 分析：以AB為直徑的圓過拋物線的頂點(diǎn)O，則OAOB，若設(shè)，則，再通過，將條件轉(zhuǎn)化為，再通過直線和拋物線聯(lián)立，計(jì)算判別式后，可以得到

5、，，解出k、m的等式，就可以了。 解：設(shè)，由得，，（這里消x得到的） 則………………（1） 由韋達(dá)定理，得：， 則， 以AB為直徑的圓過拋物線的頂點(diǎn)O，則OAOB，即， 可得，則， 即，又，則，且使（1）成立， 此時(shí)，直線恒過點(diǎn)。 名師指點(diǎn)：這個(gè)題是課本上的很經(jīng)典的題，例題5、（07山東理）就是在這個(gè)題的基礎(chǔ)上，由出題人遷移得到的，解題思維都是一樣的，因此只要能在平時(shí)，把我們騰飛學(xué)校老師講解的內(nèi)容理解透，在高考中考取140多分，應(yīng)該不成問題。 本題解決過程中，有一個(gè)消元技巧，就是直線和拋物線聯(lián)立時(shí)，要消去一次項(xiàng)，計(jì)算量小一些，也運(yùn)用了同類坐標(biāo)變換——韋達(dá)定理，同點(diǎn)縱、橫

6、坐標(biāo)變換-------直線方程的縱坐標(biāo)表示橫坐標(biāo)。其實(shí)解析幾何就這么點(diǎn)知識(shí)，你發(fā)現(xiàn)了嗎？ 例題6、已知點(diǎn)A、B、C是橢圓E： 上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A是橢圓的右頂點(diǎn)，直線BC過橢圓的中心O，且，，如圖。 (I)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及橢圓E的方程； (II)若橢圓E上存在兩點(diǎn)P、Q，使得直線PC與直線QC關(guān)于直線對(duì)稱，求直線PQ的斜率。 解：(I) ，且BC過橢圓的中心O 又 點(diǎn)C的坐標(biāo)為。 A是橢圓的右頂點(diǎn)， ，則橢圓方程為： 將點(diǎn)C代入方程，得， 橢圓E的方程為 (II) 直線PC與直線QC關(guān)于直線對(duì)稱， 設(shè)直線PC的斜率為，則直線QC的斜率為，從而直線PC

7、的方程為： ，即 ， 由消y，整理得： 是方程的一個(gè)根， 即 同理可得： ＝ ＝ ＝ 則直線PQ的斜率為定值。 方法總結(jié)：本題第二問中，由“直線PC與直線QC關(guān)于直線對(duì)稱”得兩直線的斜率互為相反數(shù)，設(shè)直線PC的斜率為k，就得直線QC的斜率為-k。利用是方程 的根，易得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)： ，再將其中的k用-k換下來，就得到了點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)： ，這樣計(jì)算量就減少了許多，在考場(chǎng)上就節(jié)省了大量的時(shí)間。 接下來，如果分別利用直線PC、QC的方程通過坐標(biāo)變換法將點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo)也求出來，計(jì)算量會(huì)增加許多。 直接計(jì)算、，就降低了計(jì)算量?？傊?，本題有兩處是需要同學(xué)們好

8、好想一想，如何解決此類問題，一是過曲線上的點(diǎn)的直線和曲線相交，點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組消元后得到的方程的根；二是利用直線的斜率互為相反數(shù)，減少計(jì)算量，達(dá)到節(jié)省時(shí)間的目的。 練習(xí)1、已知橢圓C：的離心率為，且在x軸上的頂點(diǎn)分別為A1(-2,0),A2(2,0)。 （I）求橢圓的方程； （II）若直線與x軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)P為直線上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn)，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點(diǎn)，試問直線MN是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論。 解：（I）由已知橢圓C的離心率，,則得。 從而橢圓的方程為 （II）設(shè)，，直線的斜率為,則直線的方程為，由消y整理得 是方程的兩個(gè)根 則，， 即點(diǎn)

9、M的坐標(biāo)為 同理，設(shè)直線A2N的斜率為k2，則得點(diǎn)N的坐標(biāo)為 ， 直線MN的方程為：， 令y=0，得，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)后得： 又， 橢圓的焦點(diǎn)為 ，即 故當(dāng)時(shí)，MN過橢圓的焦點(diǎn)。 方法總結(jié)：本題由點(diǎn)A1(-2,0)的橫坐標(biāo)－2是方程的一個(gè)根，結(jié)合韋達(dá)定理得到點(diǎn)M的橫坐標(biāo)： ，利用直線A1M的方程通過坐標(biāo)變換，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)：； 再將中的換下來，前的系數(shù)2用－2換下來，就得點(diǎn)N的坐標(biāo)，如果在解題時(shí)，能看到這一點(diǎn)，計(jì)算量將減少許多，并且也不易出錯(cuò)，在這里減少計(jì)算量是本題的重點(diǎn)。否則，大家很容易陷入繁雜的運(yùn)算中，并且算錯(cuò)，費(fèi)時(shí)耗精力，希望同學(xué)們認(rèn)真體會(huì)其中的精

10、髓。 本題的關(guān)鍵是看到點(diǎn)P的雙重身份：點(diǎn)P即在直線上也在直線A2N上，進(jìn)而得到，由直線MN的方程得直線與x軸的交點(diǎn)，即橫截距，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)易得，由解出，到此不要忘了考察是否滿足。 3、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值 為，離心率為﹒ （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）過點(diǎn)作直線交于、兩點(diǎn)，試問：在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由﹒ 解：（I）設(shè)橢圓E的方程為,由已知得： 。。。。。2分 橢圓E的方程為。。。。 3分 （Ⅱ）法一：假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，又設(shè)，則： 。。

11、。。。 5分 ①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，則 由得 7分 所以 9分 對(duì)于任意的值，為定值，所以，得， 所以； 11分 ②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線 由得 綜上述①②知，符合條件的點(diǎn)存在，起坐標(biāo)為﹒ 13分 法二：假設(shè)存在點(diǎn)，又設(shè)則： =…. 5分 ①當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為， 由得 7分 9分 設(shè)則 11分 ②當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線，由得： 綜上述①②知，符合條件的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為 。。。。13分 定點(diǎn)——定值 過定點(diǎn)問題 直線與曲線相交與兩點(diǎn)，求證

12、 變式： ① ② ③ x A y O B M ④如圖，拋物線上有兩點(diǎn)A（）、B（），且·＝0， 又＝（0，－2）， （1）求證：∥ 1.（07山東理）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3；最小值為1； （Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）若直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)。求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。 解：(I)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ， (II)設(shè)，由得， ，. 以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)， ，， ， ，解得 ，且滿足.

13、當(dāng)時(shí)，，直線過定點(diǎn)與已知矛盾； 當(dāng)時(shí)，，直線過定點(diǎn) 綜上可知，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為 ☆2. 已知橢圓C：的離心率為，且在x軸上的頂點(diǎn)分別為A1(-2,0),A2(2,0)。 （I）求橢圓的方程； （II）若直線與x軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)P為直線上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn)，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點(diǎn)，試問直線MN是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論。 （I）由已知橢圓C的離心率，,則得。 從而橢圓的方程為 （II）設(shè)，，直線的斜率為,則直線的方程為，由消y整理得 是方程的兩個(gè)根， 則，， 即點(diǎn)M的坐標(biāo)為， 同理，設(shè)直線A2N的斜率為k2，則得點(diǎn)N的坐標(biāo)為 ，

14、直線MN的方程為：， 令y=0，得，將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)后得： 又， 橢圓的焦點(diǎn)為 ，即 故當(dāng)時(shí)，MN過橢圓的焦點(diǎn)。 3.☆（2010江蘇）18.（16分）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左右頂點(diǎn)為A,B，右焦點(diǎn)為F，設(shè)過點(diǎn)的直線TA,TB與橢圓分別交于點(diǎn)，，其中. ⑴設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足PF2－PB2=4,求點(diǎn)P的軌跡 ⑵設(shè)x1=2,x2=，求點(diǎn)T的坐標(biāo) ⑶設(shè)t=9,求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無關(guān)) 圓過定點(diǎn) 4.（08江蘇）18．設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C．

15、（Ⅰ）求實(shí)數(shù)b 的取值范圍； （Ⅱ）求圓C 的方程； （Ⅲ）問圓C 是否經(jīng)過某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與b 無關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論． 解：（Ⅰ）令＝0，得拋物線與軸交點(diǎn)是（0，b）； 令，由題意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0． （Ⅱ）設(shè)所求圓的一般方程為 令＝0 得這與＝0 是同一個(gè)方程，故D＝2，F(xiàn)＝． 令＝0 得＝0，此方程有一個(gè)根為b，代入得出E＝―b―1． 所以圓C 的方程為. （Ⅲ）圓C 必過定點(diǎn)（0，1）和（－2，1）． 證明如下：將（0，1）代入圓C 的方程，得左邊＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右邊＝0， 所以圓C 必過定點(diǎn)（0，1）． 同理可證圓

16、C 必過定點(diǎn)（－2，1）． 5.已知橢圓,點(diǎn)是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn),過點(diǎn)作橢圓的切線,交軸與點(diǎn)直線過點(diǎn)且垂直與,交軸與點(diǎn)試判斷以為直徑的圓能否經(jīng)過定點(diǎn)？若能,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說明理由. 解:設(shè)點(diǎn),直線的方程為代入, 整理得. 是方程的兩個(gè)相等實(shí)根, 解得[或根據(jù)求導(dǎo)解得] 直線的方程為令,得點(diǎn)的坐標(biāo)為 又點(diǎn)的坐標(biāo)為 又直線的方程為令,得點(diǎn)的坐標(biāo)為 以為直徑的圓方程為 整理得由得 以為直徑的圓恒過定點(diǎn)和 6.如圖，點(diǎn)A，B，C是橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)，D是OA的中點(diǎn)，P、Q是直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。 （Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1時(shí)，求證：直線CD與BP的交點(diǎn)在橢圓

17、上； （Ⅱ）設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，，試判斷以線段PQ為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由。 解：（Ⅰ）由題意，時(shí)，直線CD方程為， 直線BP方程為, --------------2分 由方程組 解得， -----------------------------------3分 +=+=1， ∴在橢圓上， ∴直線 CD 與BP的交點(diǎn)在橢圓上． -------------------------------5分 （Ⅱ）∵∴，∴， ∴焦點(diǎn)，． -----------6分 設(shè)，，

18、 -------------8分 ， ， 線段PQ為直徑的圓圓心是的中點(diǎn)（4，），半徑為， 圓的方程為 ----------10分 ------------------------------------------12分 令，得 ∴ 或 ， 以線段為直徑的圓恒過定點(diǎn)． ----------13分 定值 7.已知定點(diǎn)C(－1,0)及橢圓x2＋3y2＝5，過點(diǎn)C的動(dòng)直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)M，使·為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明

19、理由． 解析　假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M(m,0)，使·為常數(shù)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． ①當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x＋1)，將y＝k(x＋1)代入x2＋3y2＝5，消去y整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0. 則 所以·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1) ＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2. 整理得·＝＋m2＝＋m2 ＝m2＋2m－－. 注意到·是與k無關(guān)的常數(shù)，從而有6m＋14＝0，m＝－， 此時(shí)·＝. ②當(dāng)

20、直線AB與x軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(－1，)、 B(－1，－)， 當(dāng)m＝－時(shí)，亦有·＝. 綜上，在x軸上存在定點(diǎn)M(－，0)，使·為常數(shù)． 8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)． （I）若動(dòng)點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程； （II）在軸上是否存在定點(diǎn)，使·為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解：由條件知，，設(shè)，． 解法一：（I）設(shè)，則則，， ，由得 即 于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為． 當(dāng)不與軸垂直時(shí)，，即． 又因?yàn)閮牲c(diǎn)在雙曲線上，所以，，兩式相減得 ，即． 將代入上式，化簡(jiǎn)得． 當(dāng)與軸垂直時(shí)，，求得

21、，也滿足上述方程． 所以點(diǎn)的軌跡方程是． （II）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)． 當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是． 代入有． 則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，， 于是 ． 因?yàn)槭桥c無關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時(shí)=． 當(dāng)與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為，， 此時(shí)． 故在軸上存在定點(diǎn)，使為 .9.已知橢圓:點(diǎn)的坐標(biāo)為,過橢圓右焦點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),對(duì)于任意的是否為定值？若是求出這個(gè)定值;若不是,請(qǐng)說明理由. 解析:由已知得直線的方程為由消去得 設(shè) 則 由此可知,為定值. 10.（07湖北理科）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點(diǎn)C（0，p）作直線

22、與拋物線x2=2py（p>0）相交于A、B兩點(diǎn)。 （Ⅰ）若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，求△ANB面積的最小值； （Ⅱ）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由。（此題不要求在答題卡上畫圖） Ⅰ）依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（0,-p）,可設(shè)A（x1,y1）,B（x2,y2），直線AB的方程為y=kx+p,與x2=2py聯(lián)立得消去y得x2-2pkx-2p2=0. 由韋達(dá)定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2. 于是 ＝ ＝ . （Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a,AC的中點(diǎn)為徑的圓相交于點(diǎn)P、Q，PQ的中點(diǎn)為H，則 ＝. = ＝ = 令，得為定值，故滿足條件的直線l存在， 其方程為，即拋物線的通徑所在的直線.