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1、
(江蘇專用)2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章第7課時 拋物線 課時闖關(guān)(含解析)
[A級 雙基鞏固]
一、填空題
1.在拋物線y2=2px上,橫坐標(biāo)為4的點到焦點的距離為5,則p的值為________.
解析:由題意4+=5,
∴p=2.
答案:2
2.(2010·高考湖南卷改編)設(shè)拋物線y2=8x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4,則點P到該拋物線焦點的距離是________.
解析:由題意知P到拋物線準(zhǔn)線的距離為4-(-2)=6,由拋物線的定義知,點P到拋物線焦點的距離也是6.
答案:6
3.已知過拋物線y2=4x的焦點F的直線交該拋物線于A、B兩點,AF=2,則BF
2、=________.
解析:因為AF=2,所以xA-(-1)=2.
所以xA=1,所以A(1,±2).又F(1,0),
所以BF=AF=2.
答案:2
4.當(dāng)a為任何值時,直線(a-1)x-y+2a+1=0恒過定點P,則過P點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.
解析:由,得定點P(-2,3),
∵拋物線過定點P,當(dāng)焦點在x軸上時,方程為y2=-x,當(dāng)焦點在y軸上時,拋物線方程為x2=y(tǒng).
答案:y2=-x或x2=y(tǒng)
5.若動點P到點F(2,0)的距離與它到直線x+2=0的距離相等,則點P的軌跡方程為________.
解析:由拋物線的定義可知,點P的軌跡是以(2,0)為
3、焦點,以x=-2為準(zhǔn)線的拋物線,其方程為y2=8x.
答案:y2=8x
6.已知拋物線y2=2px的準(zhǔn)線與雙曲線x2-y2=2的左準(zhǔn)線重合,則拋物線的焦點坐標(biāo)為________.
解析:拋物線y2=2px的準(zhǔn)線方程為x=-.
又曲線x2-y2=2的左準(zhǔn)線為x=-1.
故有-=-1,∴p=2.
則拋物線方程為y2=4x,
∴焦點坐標(biāo)為(1,0).
答案:(1,0)
7.已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線與圓(x-3)2+y2=16相切,則p的值為________.
解析:由已知,可知拋物線的準(zhǔn)線x=-與圓(x-3)2+y2=16相切,圓心為(3,0),半徑為4,圓心到直線
4、的距離d=3+=4,解得p=2.
答案:2
8.(2012·南京調(diào)研)已知點A(-2,1),y2=-4x的焦點是F,P是y2=-4x上的點,為使|PA|+|PF|取得最小值,P點的坐標(biāo)是________.
解析:
過P作PK⊥l(l為拋物線的準(zhǔn)線)于K,
則|PF|=|PK|,
∴|PA|+|PF|=|PA|+|PK|,
∴當(dāng)P點的縱坐標(biāo)與A點的縱坐標(biāo)相同時,|PA|+|PK|最小,此時P點的縱坐標(biāo)為1,把y=1代入y2=-4x得x=-.
即當(dāng)P點的坐標(biāo)為時,|PA|+|PF|最?。?
答案:
二、解答題
9.
如圖所示,直線l1和l2相交于點M,l1⊥l2,點N
5、∈l1,以A、B為端點的曲線段C上的任一點到l2的距離與到點N的距離相等.若△AMN為銳角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|NB|=6,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求曲線段C的方程.
解:
以直線l1為x軸,線段MN的垂直平分線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,由條件可知,曲線C是以點N為焦點,以l2為準(zhǔn)線的拋物線的一段,其中A、B分別為C的端點.
設(shè)曲線C的方程為y2=2px(p>0)(xA≤x≤xB,y>0),其中xA、xB為A、B的橫坐標(biāo),p=|MN|,所以M,N.由|AM|=,|AN|=3,得
2+2pxA=17,①
2+2pxA=9.②
①②聯(lián)立解得xA=,代入①式,并由p>0,
6、解得或
因為△AMN為銳角三角形,所以>xA,
故舍去∴
由點B在曲線C上,得xB=|BN|-=4.
綜上,曲線C的方程為y2=8x(1≤x≤4,y>0).
10.已知拋物線C:x2=2py(p>0),其焦點F到準(zhǔn)線的距離為.
(1)試求拋物線C的方程;
(2)設(shè)拋物線C上一點P的橫坐標(biāo)為t(t>0),過P的直線交C于另一點Q,交x軸于M,過點Q作PQ的垂線交C于另一點N,若MN是C的切線,求t的最小值.
解:(1)∵焦點F到準(zhǔn)線的距離為,∴p=.
故拋物線C的方程為x2=y(tǒng).
(2)設(shè)P(t,t2),Q(x,x2),N(x0,x),
則直線MN的方程為y-x=2x0(x
7、-x0).
令y=0,得M,
∴kPM==,kNQ==x0+x.
∵NQ⊥QP,且兩直線斜率存在,∴kPM·kNQ=-1,
即·(x0+x)=-1,
整理,得x0=.①
又Q(x,x2)在直線PM上,則與共線,得x0=,②
由①②,得=(t>0),
∴t=-,∴t≥或t≤-(舍去).
∴所求t的最小值為.
[B級 能力提升]
一、填空題
1.(2012·無錫質(zhì)檢)已知拋物線y=2x2上任意一點P,則點P到直線x+2y+8=0的距離的最小值為________.
解析:設(shè)P(x0,y0),則點P到直線x+2y+8=0的距離d=.
又點P在拋物線y=2x2上,所以y0=2
8、x,
所以d=|4x+x0+8|,所以當(dāng)x0=-時,
dmin==.
答案:
2.若過點P(2,1)的直線l與拋物線y2=4x交于A、B兩點,且=(+),則直線l的方程為________.
解析:由=(+),則P為AB中點,設(shè)A(x1,y1),
B(x2,y2)(x1≠x2),則x1+x2=4,y1+y2=2,
又y=4x1,y=4x2,
∴(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),
∴=2.∴l(xiāng)斜率為2、l的方程為y-1=2(x-2).
即2x-y-3=0.
答案:2x-y-3=0
3.已知拋物線y2=2x,直線AB交拋物線于A,B兩點,交x軸正半軸于點M(m,
9、0).若·=0(O為坐標(biāo)原點),則m的值是________.
解析:設(shè)A,B.
由·=0,
得+y1·y2=0.
當(dāng)直線AB的斜率存在時,設(shè)為k(k≠0,m>0),
則直線AB的方程為y=k(x-m).
由
得ky2-2y-2km=0,
而Δ=4+8k2m>0恒成立,所以滿足條件.
又y1·y2=-2m,
所以m2-2m=0,
則m=2或m=0(舍去),所以m=2.
當(dāng)直線AB的斜率不存在時,則A(m,),B(m,-).
由·=0,
則m2-2m=0,所以m=2或m=0(舍去),
所以m=2.綜上,得m=2.
答案:2
4.(2010·高考湖南卷)過拋物線x2
10、=2py(p>0)的焦點作斜率為1的直線與該拋物線交于A,B兩點,A,B在x軸上的正射影分別為D,C.若梯形ABCD的面積為12,則p=________.
解析:依題意,拋物線的焦點F的坐標(biāo)為,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
直線AB的方程為y-=x,
代入拋物線方程得,y2-3py+=0,
故y1+y2=3p,|AB|=|AF|+|BF|=y(tǒng)1+y2+p=4p,
直角梯形有一個內(nèi)角為45°,
故|CD|=|AB|=×4p=2p,梯形面積為×|CD|=×3p×2p=3p2=12,p=2.
答案:2
二、解答題
5.(2010·高考福建卷)已知拋物線C:y2=2px
11、(p>0)過點A(1,-2).
(1)求拋物線C的方程,并求其準(zhǔn)線方程;
(2)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點)的直線l,使得直線l與拋物線C有公共點,且直線OA與l的距離等于?若存在,求直線l的方程;若不存在,說明理由.
解:(1)將(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,所以p=2.
故所求拋物線C的方程為y2=4x,其準(zhǔn)線方程為x=-1.
(2)假設(shè)存在符合題意的直線l,其方程為y=-2x+t.
由得y2+2y-2t=0.
∵直線l與拋物線C有公共點,
∴Δ=4+8t≥0,解之得t≥-.
由直線OA與l的距離d=,可得=,∴t=±1.
∵-1?[-,+
12、∞),1∈[-,+∞).
故符合題意的直線l存在,其方程為2x+y-1=0.
6.
如圖所示,M是拋物線y2=x上的一點,動弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點,且MA=MB.
(1)若M為定點,證明:直線EF的斜率為定值;
(2)若M為動點,N(a,0)(其中a∈R)是x軸上一點,求|MN|的最小值.
解:(1)證明:設(shè)M(y,y0),直線ME的斜率為k(k>0),則直線MF的斜率為-k,
∴直線ME的方程為y-y0=k(x-y).
由
消去x,得ky2-y+y0(1-ky0)=0.
解得yE=,∴xE=.
同理,yF=,∴xF=-.
∴kEF====-(定值).
所以直線EF的斜率為定值.
(2)設(shè)M(x0,y0),則y=x0(x0≥0).
|MN|==
=
= ,
∵x0≥0,∴當(dāng)≤0,即a≤時,
|MN|min=?。絴a|;
當(dāng)>0,即a>時,
|MN|min=?。健?
|MN|min=