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1、課時(shí)知能訓(xùn)練
一、選擇題
1.已知異面直線a,b分別在平面α,β內(nèi),且α∩β=c,那么直線c一定( )
A.與a,b都相交
B.只能與a,b中的一條相交
C.至少與a,b中的一條相交
D.與a,b都平行
【解析】 若c與a,b都不相交,則c與a,b都平行,則a∥b與a,b異面相矛盾.
【答案】 C
圖7-3-8
2.如圖7-3-8所示,α∩β=l,A、B∈α,C∈β,且C?l,直線AB∩l=M,過A、B、C三點(diǎn)的平面記作γ,則γ與β的交線必通過( )
A.點(diǎn)A
B.點(diǎn)B
C.點(diǎn)C但不過點(diǎn)M
D.點(diǎn)C和點(diǎn)M
【解析】 易知
2、γ過C點(diǎn),且M∈AB,
∴M∈γ,∴γ也過M點(diǎn).
【答案】 D
3.下列四個(gè)命題中,真命題的個(gè)數(shù)為( )
(1)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),那么這兩個(gè)平面重合;
(2)兩條直線可以確定一個(gè)平面;
(3)若M∈α,M∈β,α∩β=l,則M∈l;
(4)空間中,相交于同一點(diǎn)的三直線在同一平面內(nèi).
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】 (1)錯(cuò),如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),那么這兩個(gè)平面重合,此命題在三點(diǎn)不共線時(shí)才成立.
(2)錯(cuò),兩直線是異面直線時(shí)不能確定一個(gè)平面.
(3)對(duì),若M∈α,M∈β,α∩β=l,則M∈l.
(4)錯(cuò),空間
3、中,相交于同一點(diǎn)的三直線不一定在同一平面內(nèi).
【答案】 A
圖7-3-9
4.如圖7-3-9,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,過頂點(diǎn)A1與正方體其他頂點(diǎn)的連線與直線BC1成60°角的條數(shù)為( )
A.1 B.2
C.3 D.4
【解析】 直線A1C1、直線A1B都與BC1成60°的角.
【答案】 B
5.已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1=2AB,E為AA1中點(diǎn),則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為( )
A. B. C. D.
【解析】 取DD1的中點(diǎn)F,連結(jié)CF,∠D1CF為所成的角或其補(bǔ)角,取AB
4、=1,cos∠D1CF==.
【答案】 C
二、填空題
圖7-3-10
6.如圖7-3-10所示,若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長為2,高為4,則異面直線BD1與AD所成的角的正切值是________.
【解析】 因?yàn)锳D∥A1D1,異面直線BD1與AD所成的角就是BD1與A1D1所成的角,即∠A1D1B.
由勾股定理,得A1B=2,
tan ∠A1D1B=.
【答案】
7.(2012·惠州質(zhì)檢)a,b,c是空間中的三條直線,下面給出五個(gè)命題:
①若a∥b,b∥c,則a∥c;
②若a⊥b,b⊥c,則a∥c;
③若a與b相交,b與c相交,則a與c相交;
5、
④若a?平面α,b?平面β,則a,b一定是異面直線.
上述命題中正確的命題是________(只填序號(hào)).
【解析】 由公理4知①正確;當(dāng)a⊥b,b⊥c時(shí),a與c相交、平行,也可以異面,故②不正確;當(dāng)a與b相交,b與c相交時(shí),a與c相交、平行,也可以異面,故③不正確;a?α,b?β,并不能說明a與b“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”,故④不正確.
【答案】 ①
圖7-3-11
8.一個(gè)正方體紙盒展開后如圖7-3-11所示,在原正方體紙盒中有如下結(jié)論:
①AB⊥EF;
②AB與CM所成的角為60°;
③EF與MN是異面直線;
④MN∥CD.
以上四個(gè)命題中,正確命題的序號(hào)是__
6、______.
【解析】 把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體,如圖所示,則AB⊥EF,EF與MN為異面直線,AB∥CM,MN⊥CD.
所以①③正確.
【答案】 ①③
三、解答題
圖7-3-12
9.在長方體ABCD—A1B1C1D1的A1C1面上有一點(diǎn)P(如圖7-3-12所示,其中P點(diǎn)不在對(duì)角線B1D1)上.
(1)過P點(diǎn)在空間作一直線l,使l∥直線BD,應(yīng)該如何作圖?并說明理由;
(2)過P點(diǎn)在平面A1C1內(nèi)作一直線m,使m與直線BD成α角,其中α∈(0,],這樣的直線有幾條,應(yīng)該如何作圖?
【解】 (1)連結(jié)B1D1,BD,在平面A1C1內(nèi)過P作直線l,使l∥
7、B1D1,則l即為所求作的直線.
∵B1D1∥BD,l∥B1D1,∴l(xiāng)∥直線BD.如圖(1)
(1)
(2)在平面A1C1內(nèi)作直線m,使m與B1D1相交成α角,
∵BD∥B1D1,
∴直線m與直線BD也成α角,如圖(2).
由圖知m與BD是異面直線,且m與BD所成的角α∈(0,].
(2)
當(dāng)α=時(shí),這樣的直線m有且只有一條;當(dāng)α≠時(shí),這樣的直線m有兩條.
圖7-3-13
10.如圖7-3-13所示,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=,DA⊥AC,DA⊥AB,若DA=1,且E為DA的中點(diǎn).求異面直線BE與CD所成角的余弦值.
【解】 取AC的中點(diǎn)
8、F,連結(jié)EF,BF,在△ACD中,E、F分別是AD、AC的中點(diǎn),∴EF∥CD.
∴∠BEF即為異面直線BE與CD所成的角或其補(bǔ)角.
在Rt△EAB中,AB=AC=1,AE=AD=,
∴BE=.
在Rt△EAF中,AF=AC=,AE=,∴EF=.
在Rt△BAF中,AB=1,AF=,∴BF=.
在等腰三角形EBF中,
cos∠FEB===,
∴異面直線BE與CD所成角的余弦值為.
圖7-3-14
11.如圖7-3-14,三棱錐P—ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中點(diǎn).
(1)求異面直線AE和PB所成角的余弦值;
(2)求三棱錐A—EBC的體積.
【解】 (1)取BC的中點(diǎn)F,連結(jié)EF,AF,則EF∥PB.
所以∠AEF就是異面直線AE和PB所成的角或其補(bǔ)角.
∵∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,PA⊥平面ABC,
∴AF=,AE=,EF=,
cos∠AEF==.
(2)因?yàn)镋是PC中點(diǎn),
所以E到平面ABC的距離為PA=1,
VA—EBC=VE—ABC=××4×1=.