3、
6、 有且只有一個(gè)實(shí)根在（-2，1）內(nèi)，求a的取值范圍
方程在上有且只有一個(gè)實(shí)根,與不等價(jià),前者是后者的一個(gè)必要而不是充分條件.特別地, 方程有且只有一個(gè)實(shí)根在內(nèi),等價(jià)于,或且,或且.
7.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值
二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只能在處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下：
(1)當(dāng)a>0時(shí)，若，則；
，，.
(2)當(dāng)a<0時(shí)，若，則，若，則，.
8.一元二次方程的實(shí)根分布
依據(jù)：若，則方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根 .
設(shè)，則
（1）方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為或；
4、
（2）方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為或或或；
（3）方程在區(qū)間內(nèi)有根的充要條件為或 .
9.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)
(1)在給定區(qū)間的子區(qū)間（形如，，不同）上含參數(shù)的二次不等式(為參數(shù))恒成立的充要條件是.
(2)在給定區(qū)間的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式(為參數(shù))恒成立的充要條件是.
(3)恒成立的充要條件是或.
例1已知函數(shù)（為實(shí)常數(shù)），
（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，設(shè)在區(qū)間的最小值為，求的表達(dá)式；
（3）設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解析：(1),
∴的單調(diào)增區(qū)間為()，(-,0) 的單調(diào)減區(qū)間為(-)，()
(
5、2)由于，當(dāng)∈[1,2]時(shí)，
10 即
20 即
30 即時(shí)
綜上可得
(3) 在區(qū)間[1,2]上任取、，且
則
(*)
∵ ∴
∴(*)可轉(zhuǎn)化為對(duì)任意、
即
10 當(dāng)
20 由 得 解得
30 得
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是
例2設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－2tx＋2，其中t∈R．
(1)若t＝1，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，4]上的取值范圍；
(2)若t＝1，且對(duì)任意的x∈[a，a＋2]，都有f(x)≤5，
6、求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
(3)若對(duì)任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f(x1)－f(x2)|≤8，求t的取值范圍．
解 因?yàn)閒(x)＝x2－2tx＋2＝(x－t)2＋2－t2，所以f(x)在區(qū)間(－∞，t]上單調(diào)減，在區(qū)間[t，∞)上單調(diào)增，且對(duì)任意的x∈R，都有f(t＋x)＝f(t－x)，
(1)若t＝1，則f(x)＝(x－1)2＋1．
①當(dāng)x∈[0，1]時(shí)．f(x)單調(diào)減，從而最大值f(0)＝2，最小值f(1)＝1．
所以f(x)的取值范圍為[1，2]；
②當(dāng)x∈[1，4]時(shí)．f(x)單調(diào)增，從而最大值f(4)＝10，最小值f(1)＝1．
所以f(x)的取值范圍為[1，10
7、]；
所以f(x)在區(qū)間[0，4]上的取值范圍為[1，10]． ……………………………3分
(2)“對(duì)任意的x∈[a，a＋2]，都有f(x)≤5”等價(jià)于“在區(qū)間[a，a＋2]上，[f(x)]max≤5”．
若t＝1，則f(x)＝(x－1)2＋1，
所以f(x)在區(qū)間(－∞，1]上單調(diào)減，在區(qū)間[1，∞)上單調(diào)增．
當(dāng)1≤a＋1，即a≥0時(shí)，
由[f(x)]max＝f(a＋2)＝(a＋1)2＋1≤5，得
－3≤a≤1，
從而 0≤a≤1．
當(dāng)1＞a＋1，即a＜0時(shí)，由[f(x)]max＝f(a)＝(a－1)
8、2＋1≤5，得
－1≤a≤3，
從而 －1≤a＜0．
綜上，a的取值范圍為區(qū)間[－1，1]． ……………………………6分
(3)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，4]上的最大值為M，最小值為m，
所以“對(duì)任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f(x1)－f(x2)|≤8”等價(jià)于“M－m≤8”．
①當(dāng)t≤0時(shí)，M＝f(4)＝18－8t，m＝f(0)＝2．
由M－m＝18－8t－2＝16－8t≤8，得t≥1．
從而 t∈?．
②當(dāng)0＜t≤2時(shí)，M＝f(4)＝18－8t，m＝f(
9、t)＝2－t2．
由M－m＝18－8t－(2－t2)＝t2－8t＋16＝(t－4)2≤8，得
4－2≤t≤4＋2．
從而 4－2≤t≤2．
③當(dāng)2＜t≤4時(shí)，M＝f(0)＝2，m＝f(t)＝2－t2．
由M－m＝2－(2－t2)＝t2≤8，得－2≤t≤2．
從而 2＜t≤2．
④當(dāng)t＞4時(shí)，M＝f(0)＝2，m＝f(4)＝18－8t．
由M－m＝2－(18－8t)＝8t－16≤8，得t≤3．
從而 t∈?．
綜上，a的取值范圍為區(qū)間[4－2，2]． ………
10、……………………10分
例3已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．
（1）求時(shí)，的解析式；
（2）問(wèn)是否存在這樣的正數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且的值域?yàn)?？若存在，求出所有的的值，若不存在，?qǐng)說(shuō)明理由．
18． 解：（1）設(shè)，則，于是，又為奇函數(shù)，所以
，即時(shí)，；
（2）分下述三種情況：①，那么，而當(dāng)時(shí)，的最大值為1，故此時(shí)不可能使．②若，此時(shí)若，則的最大值為，得，這與矛盾；③若，因?yàn)闀r(shí)，是單調(diào)減函數(shù)，此時(shí)若，于是有
，考慮到，解得，，綜上所述
例4已知二次函數(shù)滿足條件，及．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）在區(qū)間上，的圖像恒在的圖像上方，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；
解：（1）令
∴二次函數(shù)
11、圖像的對(duì)稱軸為．∴可令二次函數(shù)的解析式為．
由
∴二次函數(shù)的解析式為
另解：⑴ 設(shè)，則
與已知條件比較得：解之得，又，
…………8分
（2）在上恒成立 在上恒成立
令，則在上單調(diào)遞減
∴．
例5已知函數(shù)是偶函數(shù).
（1）求的值；
（2）設(shè)函數(shù)，其中若函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍
解：（1）∵是偶函數(shù)，
∴對(duì)任意，恒成立 2分
即：恒成立，∴ 5分
（2）由于，所以定義域?yàn)椋?
也就是滿足 7分
12、
∵函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴方程在上只有一解
即：方程在上只有一解 9分
令則，因而等價(jià)于關(guān)于的方程
（*）在上只有一解 10分
① 當(dāng)時(shí)，解得，不合題意； 11分
② 當(dāng)時(shí)，記，其圖象的對(duì)稱軸
∴函數(shù)在上遞減，而
∴方程（*）在無(wú)解 13分
③ 當(dāng)時(shí)，記，其圖象的對(duì)稱軸
所以，只需，即，此恒成立
∴此時(shí)的范圍為 15分
綜上所
13、述，所求的取值范圍為 16分
鞏固練
1．定義在R上的奇函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則下列關(guān)系中正確的是（B）
A． B． C． D．以上三種關(guān)系都可能成立
2．二次函數(shù)是偶函數(shù)，它有兩個(gè)零點(diǎn)，則=0．
3．函數(shù)的零點(diǎn)有（D）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
4．若函數(shù)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．
5．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的值有正也有負(fù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．
6．已知關(guān)于的方程的一根大于-2而小于0，另一根大于1而小于3，求實(shí)數(shù)的值．
解：設(shè)，則同時(shí)成立，
14、解得．
7.對(duì)于函數(shù)若則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)( )
A. 一定有零點(diǎn) B. 一定沒(méi)有零點(diǎn)
C. 可能有兩個(gè)零點(diǎn) D. 至多有一個(gè)零點(diǎn)
8.若函數(shù)在區(qū)間(2, 4)內(nèi)有零點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是 ( D )
A. 在區(qū)間(2, 3)內(nèi)有零點(diǎn) B 在區(qū)間(3, 4)內(nèi)有零點(diǎn)
C. 在區(qū)間(2, 3)或(3, 4)內(nèi)有零點(diǎn) D. 在區(qū)間(2, 3]或(3, 4)內(nèi)有零點(diǎn)
9.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是
15、 ( D )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二次函數(shù)練習(xí)題 2012-5-31
班級(jí)_______ 姓名________
1、在同一直角坐標(biāo)系中與的圖象的大致是( )
2、二次函數(shù)的圖象過(guò)（－1，5），（1，1）和（3，5）三個(gè)點(diǎn)，則二次函數(shù)的關(guān)系式為（ ）
A. B.
C. D.
3、 方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)為（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
4、
16、的對(duì)稱軸是，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．則的值為 ( )Ａ． Ｂ．0 ?。茫? Ｄ．2
5、“”是函數(shù)恒為負(fù)的（ ）
（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件
（C）充分且必要條件 （D）既不充分又不必要條件
6、函數(shù)對(duì)任意的x均有，那么、、的大小關(guān)系是（ ）
A B C D
7、已知函數(shù)在區(qū)間[0,m]上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是 ( )
A． B． C． D．
8、已知函數(shù)f(x)＝x2+2
17、(m-1)x+2m+6,若f(x)＝0有兩個(gè)實(shí)根,且一個(gè)比2大,一個(gè)比2小,則m的取值范圍為( )
A.(-∞,-1］ B.(-∞,-1) C.(-1,+∞) D.［-1,+∞)
二、填空題：
9、，當(dāng)在區(qū)間上為減函數(shù)時(shí)，a的取值范圍為_(kāi)___________；若時(shí)，恒有，則b的取值范圍是_______________；若是偶函數(shù)時(shí)，則必有____________。
10、已知二次函數(shù)，如果(其中)，則 __________。
11、要使不等式恰有一解，則。
12、函數(shù)在區(qū)間 [-3，2] 是有最大值4，則a = _
18、____________。
三、解答題：
13、已知函數(shù)y=-x2+ax-+在〔-1，1〕上的最大值為，求的值 ．
14、已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0
(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的范圍；
(2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的范圍。
15、函數(shù)，當(dāng)時(shí) 恒成立，求a的取值。
16、已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx滿足f(1+x)=f(1-x)，且方程f(x)=x有等根。
(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在實(shí)數(shù)m,n (m
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