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1、
(福建專用)2013年高考數(shù)學總復習 第九章第5課時 古典概型、幾何概型課時闖關(含解析)
一、選擇題
1.(2011·高考福建卷)
如圖,矩形ABCD中,點E為邊CD的中點,若在矩形ABCD內(nèi)部隨機取一個點Q,則點Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于( )
A. B.
C. D.
解析:選C.因為S△ABE=SABCD,則點Q取自△ABE內(nèi)部的概率P==.故選C.
2.(2010·高考北京卷)從{1,2,3,4,5}中隨機選取一個數(shù)為a,從{1,2,3}中隨機選取一個數(shù)為b,則b>a的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:選D.從{1,2
2、,3,4,5}中隨機選取一個數(shù)有5種選法,從{1,2,3}中隨機選取一個數(shù)有3種選法,由分步計數(shù)原理知共有5×3=15種選法.而滿足b>a的選法有:當b=3時,a有2種,當b=2時,a有1種,共有2+1=3種選法.由古典概型知b>a的概率P==,故選D.
3.(2012·福州調(diào)研)在區(qū)間[-1,1]上隨機取一個數(shù)x,則sin的值介于-與之間的概率為( )
A. B.
C. D.
解析:選D.∵-1≤x≤1,∴-≤≤.
由-≤sin≤,得-≤≤,
即-≤x≤1.故所求事件的概率為=.
4.連擲兩次骰子分別得到點數(shù)m、n,則向量(m,n)與向量(-1,1)的夾角θ>90°的
3、概率是( )
A. B.
C. D.
解析:選A.∵(m,n)·(-1,1)=-m+n<0,∴m>n.
基本事件總共有6×6=36(個),符合要求的有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),…,(5,4),(6,1),…,(6,5),共1+2+3+4+5=15(個).
∴P==,故選A.
5.(2012·山東臨沂質(zhì)檢)連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m和n,記向量a=(m,n)與向量b=(1,-1)的夾角為α,則α∈的概率為( )
A. B.
C. D.
解析:選D.當α∈(0,],得cosα≥0,從而a·b=m-n
4、≥0.當m=1時,n=1;當 m=2時,n=1、2;當m=3時,n=1、2、3…;當m=6時,n=1、2、3、4、5、6.故所求概率為=.
二、填空題
6.(2011·高考福建卷)盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球,其中紅色球3個,黃色球2個.若從中隨機取出2個球,則所取出的2個球顏色不同的概率等于________.
解析:所取出的2個球顏色不同的概率P===.
答案:
7.連續(xù) 2次拋擲一枚骰子(六個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6),記“兩次向上的數(shù)字之和等于m”為事件A,則P(A)最大時,m=________.
解析:m可能取到的值有2、3、4、5、6、7、8、9、1
5、0、11、12,對應的基本事件個數(shù)依次為1、2、3、4、5、6、5、4、3、2、1,∴7對應的事件發(fā)生的概率最大.
答案:7
8.已知Ω={ (x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},若向區(qū)域Ω內(nèi)隨機投一點P,則點P落在區(qū)域A內(nèi)的概率為________.
解析:首先在平面直角坐標系中作出集合Ω和集合A所表示的平面區(qū)域如圖,結(jié)合圖象可知所求概率應為P===.
答案:
三、解答題
9.(2010·高考山東卷)一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球,球的編號分別為1,2,3,4.
(1)從袋中隨機取兩個球,求取出的球的編號之和不大于4
6、的概率;
(2)先從袋中隨機取一個球,該球的編號為m,將球放回袋中,然后再從袋中隨機取一個球,該球的編號為n,求n
7、,(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16個.
又滿足條件n≥m+2的事件有:(1,3),(1,4),(2,4),共3個.
所以滿足條件n≥m+2的事件的概率為P1=.
故滿足條件n
8、區(qū)域C上隨機撒一粒豆子,求豆子落在區(qū)域M上的概率.
解:(1)以0、2、4為橫、縱坐標的點P共有(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)九個,而這些點中,落在區(qū)域C內(nèi)的點有:(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)四個,
∴所求概率為P1=.
(2)∵區(qū)域M的面積為4,而區(qū)域C的面積為10π,
∴所求概率為P2==.
一、選擇題
1.第16屆廣州亞運會的吉祥物取名“樂洋洋”,形象是運動時尚的五只羊,分別取名“阿祥”、“阿和”、“阿如”、“阿意”、“樂洋洋”,表達了廣州亞運會將給亞洲人民帶來“祥和如意樂洋洋”
9、的美好祝愿,甲、乙兩位好友分別從同一組吉祥物中各隨機選擇一個留作紀念,按先甲選再乙選的順序不放回地選擇,則在這兩位好友所選擇的吉祥物中,“阿意”和“樂洋洋”恰好只有一個被選中的概率為( )
A. B.
C. D.
解析:選C.甲、乙兩位好友選擇吉祥物的方法共有5×4=20(種),而“阿意”和“樂洋洋”恰好只有一個被選中的選法有CCC=12(種),則“阿意”和“樂洋洋”恰好只有一個被選中的概率為=,選擇C.
2.(2012·漳州質(zhì)檢)甲乙二人玩數(shù)字游戲,先由甲任想一數(shù)字,記為a,再由乙猜甲剛才想的數(shù)字,把乙猜出的數(shù)字記為b,且a,b∈{1,2,3},若|a-b|≤1,則稱甲乙“
10、心有靈犀”,現(xiàn)任意找兩個人玩這個游戲,則他們“心有靈犀”的概率為( )
A. B.
C. D.
解析:選D.甲想一數(shù)字有3種結(jié)果,乙猜一數(shù)字有3種結(jié)果,基本事件總數(shù)為3×3=9.
設“甲、乙心有靈犀”為事件A,則A的對立事件B為“|a-b|>1”,即|a-b|=2,包含2個基本事件,
∴P(B)=,∴P(A)=1-=.
二、填空題
3.在平面直角坐標系中,從六個點:A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三個,這三點能構成三角形的概率是__________.(結(jié)果用分數(shù)表示)
解析:基本事件總數(shù)為C.
∵B、C、D三點
11、共線,A、C、E、F四點共線,
∴從六個點中任取三點能構成三角形的取法共有C-C-C(種),故所求概率為P==.
答案:
4.(2012·泉州質(zhì)檢)向面積為9的△ABC內(nèi)任投一點P,那么△PBC的面積小于3的概率是________.
解析:
如圖,由題意,△PBC的面積小于3,則點P應落在梯形BCED內(nèi),
∵=2,
∴S△ADE=4,∴S梯形BCED=5,∴P=.
答案:
三、解答題
5.(2012·廈門質(zhì)檢)袋子中放有大小和形狀相同的小球若干個,其中標號為0的小球1 個,標號為1 的小球1個,標號為2的小球n個.已知從袋子中隨機抽取1個小球,取到標號是2的小球的概率是
12、.
(1)求n的值;
(2)從袋子中不放回地隨機抽取2個小球,記第一次取出的小球標號為a, 第二次取出的小球標號為b.
①記事件A表示“a+b=2”,求事件A的概率;
②在區(qū)間[0,2]內(nèi)任取 2個實數(shù)x,y,求事件“x2+y2>(a-b)2恒成立”的概率.
解:(1)由題意可知:=,解得n=2.
(2)①不放回地隨機抽取2個小球的所有基本事件為:(0,1),(0,21),(0,22),(1,0),(1,21),(1,22),(21,0),(21,1),(21,22),(22,0),(22,1),(22,21),共12個,
事件A包含的基本事件為:(0,21),(0,22),(
13、21,0),(22,0),共4個.
∴P(A)==.
②記“x2+y2>(a-b)2恒成立”為事件B,則事件B等價于“x2+y2>4”,(x,y)可以看成平面中的點,
則全部結(jié)果所構成的區(qū)域Ω={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,x,y∈R},
而事件B所構成的區(qū)域B={(x,y)|x2+y2>4,(x,y)∈Ω},
∴P(B)===1-.
6.已知10件產(chǎn)品中有3件是次品.
(1)任意取出3件產(chǎn)品進行檢驗,求其中至少有1件是次品的概率;
(2)為了保證3件次品全部檢驗出的概率超過0.6,最少應抽取幾件產(chǎn)品進行檢驗?
解:(1)任意取出3件產(chǎn)品進行檢驗,全部是正品的概率為=.
故至少有一件是次品的概率為1-=.
(2)設抽取n(3≤n≤10,且n∈N)件產(chǎn)品進行檢驗,則3件次品全部檢驗出的概率為=.
由>0.6,得>·.
整理得:n(n-1)(n-2)>9×8×6,
∵n∈N,3≤n≤10,∴當n=9或n=10時上式成立.
即為了保證3件次品全部檢驗出的概率超過0.6,最少應抽取9件產(chǎn)品進行檢驗.