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2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)20 平面向量的數(shù)量積、平面向量應(yīng)用舉例

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1、考點(diǎn)20 平面向量的數(shù)量積、平面向量應(yīng)用舉例 一、選擇題 1.(2012·江西高考理科·T7)在直角三角形ABC中,點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn),點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn),則=( ) A.2 B.4 C.5 D.10 【解題指南】用向量法求解. 【解析】選D .將各邊均賦予向量,則 . 2.(2012·安徽高考理科·T8)在平面直角坐標(biāo)系中,,將向量繞點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得向量,則點(diǎn)的坐標(biāo)是( ) 【解題指南】先寫出向量,在把向量按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),計(jì)算出向量,既得點(diǎn)的坐標(biāo). 【解析】

2、選.將向量按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得,則. 3.(2012·遼寧高考理科·T3)已知兩個(gè)非零向量,滿足|+|=||,則下面結(jié)論正確的是( ) (A) ∥ (B) ⊥ (C) ︱︱=︱︱ (D) += 【解題指南】將所給等式兩邊平方,找到兩個(gè)向量的關(guān)系. 【解析】選B. . 4.(2012·遼寧高考文科·T1)已知向量,若,則( ) 【解題指南】按照數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,展開即可解決問題. 【解析】選D.. 5.(2012·福建高考文科·T3)已知向量,,則的充要條件是(

3、 ) A. B. C. D. 【解題指南】垂直表明數(shù)量積為0,結(jié)合平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式進(jìn)行求解 . 【解析】選D .,解得. 6.(2012·廣東高考理科·T8)對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量和,定義.若平面向量滿足,與的夾角,且和都在集合中,則=( ) A. B.1 C. D. 【解題指南】解決本小題首先搞清的定義,然后根據(jù),再結(jié)合確定是解決本題的關(guān)鍵。 【解析】選C. , ,. 7.(2012·廣東高考文科·T10)對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量,定義. 若兩個(gè)非零的平面向量a,b滿足a與b的夾角,且和都在集合中

4、,則=( ) A. B. C.1 D. 【解題指南】解決本小題首先搞清的定義,然后根據(jù),再結(jié)合確定是解決本題的關(guān)鍵。 【解析】選D. , ,. 8.(2012·陜西高考文科·T7)設(shè)向量=(1,)與=(,2)垂直,則等于 ( ) (A) (B) (C)0 (D) 【解題指南】由向量垂直關(guān)系,可計(jì)算的值,再由二倍角公式計(jì)算. 【解析】選C. 已知=(1,),=(,2), ∵,∴,∴,故選C. 9.(2012·天津高考理科·T7)已知△為等邊三角形,A

5、B=2,設(shè)點(diǎn)P,Q滿足若( ) (A) (B) (C) (D) 【解題指南】根據(jù)向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積進(jìn)行運(yùn)算. 【解析】選A. ∵=,=, 又∵,且,, , ∴, ,又在等邊三角形中: ,所以,解得. 二、填空題 10.(2012·浙江高考文科·T15)與(2012·浙江高考理科·T15)相同 在△ABC中,M是BC的中點(diǎn),AM=3,BC=10,則=________. 【解題指南】考查向量的數(shù)量積運(yùn)算,要注意把所求向量往已知向量上去化。 【解析】不妨設(shè)△ABC為等腰三角形,則, . 【答案】-16. 11.(2012

6、·安徽高考理科·T14)若平面向量滿足:;則的最小值是 【解題指南】將兩邊同時(shí)平方,得,根據(jù)即可求得. 【解析】 【答案】. 12.(2012·北京高考文科·T13)與(2012·北京高考理科·T13)相同 己知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為l,點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn).則的值為 ,的最大值為_________. 【解題指南】利用圖形中的直角關(guān)系建系用坐標(biāo)計(jì)算。也可以適當(dāng)選取基向量進(jìn)行計(jì)算. 【解析】方法一:如圖所示,以AB,AD所在直線分別為x,y軸建立坐標(biāo)系,設(shè),,則,B(1,0),C(1,1),,. . 方法二:選取作為基向

7、量,設(shè),,則 。 【答案】1,1. 13.(2012·湖南高考文科·T15)如圖4,在平行四邊形ABCD中 ,AP⊥BD,垂足為P,且= . 【解題指南】本題考查平面向量加法的幾何運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,考查數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法.根據(jù)向量的三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行線性運(yùn)算,向量垂直時(shí)數(shù)量級(jí)為零。向量的平方等于模的平方。 【解析】設(shè),則,= . 【答案】18. 14.(2012·江蘇高考·T9A B C D E F )如圖,在矩形中,,點(diǎn)是的中點(diǎn),點(diǎn)在邊上,若,則的值是 【解題指南】先建立坐標(biāo)系。再恰當(dāng)?shù)?/p>

8、表示向量,最后用數(shù)量積公式. 【解析】以A點(diǎn)為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為 y軸建立直角坐標(biāo)系xOy,則設(shè), 所以. 【答案】. 15. (2012·安徽高考文科·T1) 設(shè)向量⊥,則||=____________ 【解題指南】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算,求出,由,得,從而求出. 【解析】 . 【答案】. 16.(2012·江西高考文科·T12)設(shè)單位向量 =(x,y),=(2,-1)。若,則=_______________ 【解題指南】由已知條件聯(lián)立方程組求得向量的坐標(biāo),然后求. 【解析】由可得,又因?yàn)闉閱挝幌蛄克?,?lián)立解得或,故=. 【答案】. 17.(

9、2012·新課標(biāo)全國(guó)高考文科·T15)與(2012·新課標(biāo)全國(guó)高考理科·T13)相同 已知向量夾角為45。 ,且,則 【解題指南】將|2a-b|平方展開,將|a|、代入展開式,將展開式看作關(guān)于|b|的方程,解得|b|. 【解析】的夾角為,,, ,. 【答案】. 三、解答題 18. (2012·山東高考理科·T17) 已知向量,函數(shù)的最大值為6.(Ⅰ)求; (Ⅱ)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)的圖象.求在上的值域. 【解題指南】(1)先利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,再利用和差倍角公式化為的形式;(2)先利用圖象變換法求出的解析式,再利用整體代入法求值域. 【解析】(1) 所以的最大值為A,函數(shù)的最大值為6 所以A=6. (2) 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到的圖象,再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)的圖象. 所以在上的值域?yàn)?

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