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(江蘇專(zhuān)用)2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章第4課時(shí) 復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算課時(shí)闖關(guān)(含解析)

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1、 (江蘇專(zhuān)用)2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章第4課時(shí) 復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算 課時(shí)闖關(guān)(含解析) [A級(jí) 雙基鞏固] 一、填空題 1.(2011·高考遼寧卷改編)i為虛數(shù)單位,則+++=________. 解析:原式=-i+i+(-i)+i=0. 答案:0 2.若(x-i)i=y(tǒng)+2i,x,y∈R,則復(fù)數(shù)x+yi=________. 解析:由已知得:1+xi=y(tǒng)+2i,∴x=2,y=1,∴x+yi=2+i. 答案:2+i 3.a(chǎn)是正實(shí)數(shù),i為虛數(shù)單位,=2,則a=________. 解析:=|1-ai|==2, ∴a=±,而a是正實(shí)數(shù),∴a=. 答案: 4.

2、i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)=________. 解析:===2-i. 答案:2-i 5.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a=________. 解析:==, ∵是純虛數(shù),故,∴a=-6. 答案:-6 6.(2011·高考大綱全國(guó)卷改編)復(fù)數(shù)z=1+i,為z的共軛復(fù)數(shù),則z·-z-1=________. 解析:∵z=1+i,∴=1-i,∴z·=|z|2=2, ∴z·-z-1=2-(1+i)-1=-i. 答案:-i 7.若復(fù)數(shù)(b∈R)在復(fù)平面上的點(diǎn)在直線(xiàn)x+y=0上,則b=________. 解析:== = =-i, 故此復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 據(jù)題意:-=0,∴b=-. 答案:- 8.

3、(2012·揚(yáng)州質(zhì)檢)給出下列四個(gè)命題: ①若z∈C,|z|2=z2,則z∈R;②若z∈C,=-z,則z是純虛數(shù);③z∈C,|z|2=zi,則z=0或z=i;④若z1,z2∈C,|z1+z2|=|z1-z2|,則z1z2=0. 其中真命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______. 解析:①是真命題,|z|2=z·,所以z·=z2,所以z=0或z=,故z∈R;②是假命題,假如z=0時(shí)不成立;③是假命題,因?yàn)閨z|2=z·=zi,所以z(-i)=0,故z=0或z=-i;④是假命題,假如z1=1,z2=i時(shí)z1z2≠0,但|z1+z2|=|z1-z2|. 答案:1 二、解答題 9.計(jì)算:(1);(2).

4、 解:(1)法一:===i. 法二:====i. (2)原式= == ===-1+i. 10.求同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件的所有復(fù)數(shù)z. (1)z+是實(shí)數(shù),且1<z+≤6; (2)z的實(shí)部和虛部都是整數(shù). 解:設(shè)z=x+yi(x,y∈Z).由z+=x+yi+=x++i. 由z+∈R,得y-=0.解得y=0或x2+y2=10. 當(dāng)y=0時(shí),z+=x+.由基本不等式可知:x+≥2或x+≤-2. 與已知1<z+≤6矛盾,故y≠0. 當(dāng)x2+y2=10時(shí),z+=2x. 由1<z+≤6,得<x≤3. 因?yàn)閤,y∈Z,所以或 所以z=1±3i或z=3±i. [B級(jí) 能力提升

5、] 一、填空題 1.(2012·南通市、泰州市高三調(diào)研)已知集合A={2,7,-4m+(m+2)i}(其中i為虛數(shù)單位,m∈R),B={8,3},且A∩B≠?,則m的值為_(kāi)_______. 解析:∵A∩B≠?,∴-4m+(m+2)i=8或-4m+(m+2)i=3,解得m=-2. 答案:-2 2.若z2=8+6i,則z3-16z+的值為_(kāi)_______. 解析:z3-16z+====0. 答案:0 3.已知關(guān)于x的方程x2+(1+2i)x-(3m-1)i=0有實(shí)根,則純虛數(shù)m的值是________. 解析:方程有實(shí)根,不妨設(shè)其一個(gè)根為x0,設(shè)m=ai,(a∈R且a≠0) 代入

6、,得x+(1+2i)x0-(3ai-1)i=0, 化簡(jiǎn),得(2x0+1)i+x+x0+3a=0. 由性質(zhì)可得解得a=,∴m=i. 答案:i 4.對(duì)于非零實(shí)數(shù)a,b,以下四個(gè)命題都成立: ①a+≠0;②(a+b)2=a2+2ab+b2;③若|a|=|b|,則a=±b;④若a2=ab,則a=b.那么,對(duì)于非零復(fù)數(shù)a,b,仍然成立的命題的所有序號(hào)是________. 解析:取a=i,則a+=i+=0,可得命題①對(duì)非零復(fù)數(shù)不成立; 命題②(a+b)2=a2+2ab+b2為所有數(shù)均成立的恒等式,故命題②對(duì)非零復(fù)數(shù)也成立; 取a=1,b=i,可得|a|=|b|,但a≠±b,∴命題③對(duì)非零復(fù)

7、數(shù)不成立; 若a2=ab,則a(a-b)=0,由于a,b為非零復(fù)數(shù),∴a-b=0,即a=b,∴命題④對(duì)非零復(fù)數(shù)也成立. 綜上可得對(duì)非零復(fù)數(shù)a,b,仍然成立的命題的所有序號(hào)是②④. 答案:②④ 二、解答題 5.已知z是復(fù)數(shù),z+2i,均為實(shí)數(shù)(i為虛數(shù)單位),且復(fù)數(shù)(z+ai)2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解:設(shè)z=x+yi(x,y∈R). ∵z+2i=x+(y+2)i, 由題意得y=-2. ∵==(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i, 由題意得x=4.∴z=4-2i. ∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i, 根據(jù)條

8、件,可知,解得2<a<6, ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,6). 6.設(shè)z是虛數(shù),w=z+是實(shí)數(shù),且-1<w<2. (1)求|z|的值及z的實(shí)部的取值范圍; (2)設(shè)u=,求證:u為純虛數(shù); (3)求w-u2的最小值. 解:(1)設(shè)z=a+bi,a,b∈R,b≠0, 則w=a+bi+=+i, ∵w是實(shí)數(shù),b≠0, ∴a2+b2=1,即|z|=1. 于是w=2a,-1<2a<2,-<a<1, ∴z的實(shí)部的取值范圍是. (2)證明:u====-i. ∵a∈,b≠0, ∴u為純虛數(shù). (3)w-u2=2a+=2a+=2a-=2a-1+=2-3. ∵a∈,∴a+1>0,故w-u2≥2·2 -3=4-3=1.當(dāng)a+1=,即a=0時(shí),w-u2取得最小值1.

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