《（廣東專用）2014高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)用書 第70課 圓錐曲線綜合問題 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（廣東專用）2014高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)用書 第70課 圓錐曲線綜合問題 文（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第70課 圓錐曲線綜合問題 1．（2012廣州調(diào)研）設(shè)橢圓的右焦點為，直線：與軸交于點，若（其中為坐標(biāo)原點）． （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)是橢圓上的任意一點，為圓：的任意一條直徑（、為直徑的兩個端點），求的最大值． 本資料由《七彩教育網(wǎng)》 提供！ 【解析】（1）由題設(shè)知，，， ∵，∴ ∴，解得． ∴橢圓的方程為． （2）設(shè)圓：的圓心為， 則 ． 從而求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值． ∵是橢圓上的任意一點，設(shè)， ∴，即． ∵點，

2、 ∴． ∵， ∴當(dāng)時，取得最大值． ∴的最大值為． 2．（2012東城二模）已知橢圓的左焦點，長軸長與短軸長的比是． （1）求橢圓的方程； （2）過作兩直線，交橢圓于，，，四點，若，求證：為定值． 【解析】（1）由已知得，解得 ． 故所求橢圓方程為． 證明：（2）由（1）知， 當(dāng)直線斜率不存在時，此時，． 當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為 ：． 由 ，得 ． 由于，設(shè)，則有 ，， ． 同理． ∴． 綜上，為定值．

3、 3．（2012汕頭一模）如圖，已知橢圓（）的上頂點為，右焦點為，直線與圓：相切． （1）求橢圓的方程； （2）若不過點的動直線與橢圓相交于、兩點，且， 求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)． 【解析】（1）∵圓： ∴圓， ∴圓的圓心為，半徑為． ∴，，， ∴直線的方程為， 即， ∵直線與圓相切， ∴，∴， ∴橢圓的方程為． （2）由，知， ∴直線與坐標(biāo)軸不垂直，由， 可設(shè)直線的方程為， 則直線的方程為， 由，整理得：， 解得或， ∴的坐標(biāo)為， 即． 將上式中的換成，得． ∴直線的方程為， 化簡得直線的方程為， 因此直線

4、過定點． 4．（2012廣東高考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率，且橢圓上的點到的距離的最大值為． （1）求橢圓的方程； （2）在橢圓上，是否存在點使得直線：與圓：相交于不同的兩點，且的面積最大？若存在，求出點的坐標(biāo)及相對應(yīng)的的面積；若不存在，請說明理由． 【解答】（1）∵，∴，∴， 設(shè)是橢圓上任意一點，則， ∴， ∴ ， 當(dāng)時，當(dāng)時，有最大值， ∴，∴， 當(dāng)時，，不合題意， ∴橢圓的方程為． （2）在中，， ∴， 當(dāng)且僅當(dāng)時，有最大值， ∵當(dāng)時，點到直線的距離為， ∴，即，① ∵點在橢圓上

5、，∴，② 由①②解得，，此時點． 5．（2012韶關(guān)質(zhì)檢）已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，且截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長為，傾斜角為的直線過點． （1）求該橢圓的方程； （2）設(shè)橢圓的另一個焦點為，問拋物線上是否存在一點，使得與關(guān)于直線對稱，若存在，求出點的坐標(biāo)，若不存在，說明理由． 【解析】（1）拋物線的焦點為， 準(zhǔn)線方程為， ∵ 橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合， ∴，．∴ ① ∵橢圓截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長為， ∴拋物線的準(zhǔn)線與橢圓的交點為，∴ ， ② 由①、②解得或（舍去

6、），從而． ∴橢圓的方程為． （2）∵ 傾斜角為的直線過點， ∴ 直線的方程為， 由（1）知橢圓的另一個焦點為， 設(shè)與關(guān)于直線對稱， 則得 ， 解得，即． 又滿足，故點在拋物線上． ∴拋物線上存在一點，使得與關(guān)于直線對稱． 6．（2012廣州二模）已知對稱中心為坐標(biāo)原點的橢圓與拋物線：有一個相同的焦點，直線：與拋物線只有一個公共點． (1)求直線的方程； (2)若橢圓經(jīng)過直線上的點，當(dāng)橢圓的長軸長取得最小值時，求橢圓的方程及點的坐標(biāo)． 【解析】(1)由，得． ∵直線與拋物線只有一個公共點， ∴，解得． ∴直線的方程為． (2)∵拋物線的焦點為， ∴橢圓的兩個焦點為． 設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為， 則 解得 ∴點． ∴直線與直線：的交點為． 由橢圓的定義及平面幾何知識得：橢圓的長軸長 ， 其中當(dāng)點與點重合時，上面不等式取等號． ∴當(dāng)時，橢圓的長軸長取得最小值，其值為4． 此時橢圓的方程為， 點的坐標(biāo)為．