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(江蘇專用)2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章第3課時 圓的方程隨堂檢測(含解析)

上傳人:lisu****2020 文檔編號:147618193 上傳時間:2022-09-02 格式:DOC 頁數(shù):7 大?。?37.50KB
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1、(江蘇專用)2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章第3課時 圓的方程 隨堂檢測(含解析) 1.(2012·徐州質(zhì)檢)經(jīng)過原點(diǎn),圓心在x軸的負(fù)半軸上,半徑等于的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________. 答案:(x+)2+y2=3 2.已知兩點(diǎn)A(-2,0),B(0,2),點(diǎn)C是圓x2+y2-2x=0上的任意一點(diǎn),則△ABC的面積最小值為________. 解析:直線AB方程為x-y+2=0,圓的方程為(x-1)2+y2=1, 圓心為(1,0),圓心到AB距離d==. ∴C到AB距離最小值為-1.又AB=2, ∴△ABC面積最小值為×2×=3-. 答案:3- 3.已知點(diǎn)Q(2,0),圓

2、C:x2+y2=1,若動點(diǎn)M到圓C的切線長與MQ的比等于2.求點(diǎn)M的軌跡方程. 解:設(shè)M(x,y),則M到圓C的切線長為,又MQ=, ∴=2,化簡為x2+y2-x+=0. 4.已知平面區(qū)域被圓C及其內(nèi)部所覆蓋. (1)當(dāng)圓C的面積最小時,求圓C的方程; (2)若斜率為1的直線l與(1)中的圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且滿足CA⊥CB,求直線l的方程. 解:(1)由題意知此平面區(qū)域表示的是以O(shè)(0,0),P(4,0),Q(0,2)構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部,且△OPQ是直角三角形, ∵覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓, ∴圓心是(2,1),半徑是, ∴圓C的方程是(x-2)2+(y-1

3、)2=5. (2)設(shè)直線l的方程是:y=x+b. ∵CA⊥CB,∴圓心C到直線l的距離是, 即=. 解之得,b=-1±. ∴直線l的方程是:y=x-1±. 5.如果實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2-4x+1=0,求: (1)的最大值; (2)y-x的最小值; (3)x2+y2的最值. 解: (1)設(shè)=k,得y=kx,所以k為過原點(diǎn)的直線的斜率, 又x2+y2-4x+1=0表示以(2,0)為圓心,為半徑的圓,如圖所示. 當(dāng)直線y=kx與已知圓相切且切點(diǎn)在第一象限時k最大.此時:|CP|=,|OC|=2. ∴Rt△POC中,∠POC=60°,k=tan60°=. ∴的最大

4、值為. (2)設(shè)y-x=b,即為直線y=x+b,b為直線在y軸上的截距,當(dāng)直線y=x+b與圓有公共點(diǎn)時,當(dāng)且僅當(dāng)直線與圓相切,且切點(diǎn)在第四象限,b最?。藭r,圓心(2,0)到直線的距離為,即=, 解得b=--2或b=-2(舍). ∴y-x最小值為--. (3)法一: 表示圓上一點(diǎn)到原點(diǎn)距離,其最大值為2+,最小值為2-. ∴(x2+y2)max=(2+)2=7+4,(x2+y2)min=(2-)2=7-4. 法二: 由x2+y2-4x+1=0得(x-2)2+y2=3, 設(shè)(θ為參數(shù)), 則x2+y2=(2+cosθ)2+(sinθ)2=7+4cosθ. ∴當(dāng)cosθ=-1時,

5、(x2+y2)min=7-4. ∴當(dāng)cosθ=1時,(x2+y2)max=7+4. [A級 雙基鞏固] 一、填空題 1.過點(diǎn)A(1,-1),B(-1,1),且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程是________. 解析:設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a,b),半徑為r. ∵圓心C在直線x+y-2=0上,∴b=2-a. ∵2=2,∴(a-1)2+(2-a+1)2=(a+1)2+(2-a-1)2,∴a=1,b=1,∴r=2,∴圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=4. 答案:(x-1)2+(y-1)2=4 2.已知點(diǎn)A(1,-1),B(-1,1),則以線段AB為直徑的圓的方程是

6、________. 解析:圓心坐標(biāo)為(0,0), 半徑r==, ∴圓的方程為x2+y2=2. 答案:x2+y2=2 3.若不同四點(diǎn)A(5,0),B(-1,0),C(-3,3),D(a,3)在同一圓上,則實(shí)數(shù)a的值為________. 解析:設(shè)經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),由題意可得 解得 ∴A,B,C三點(diǎn)確定的圓的方程為x2+y2-4x-y-5=0. ∵D(a,3)也在此圓上,∴a2+9-4a-25-5=0. ∴a=7或a=-3(舍去). 答案:7 4.已知圓C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圓C2與圓C1

7、關(guān)于直線x-y-1=0對稱,則圓C2的方程為________. 解析:圓C1:(x+1)2+(y-1)2=1的圓心為(-1,1). 圓C2的圓心設(shè)為(a,b),∵圓C1與圓C2關(guān)于直線x-y-1=0對稱, ∴解得又圓C2的半徑為1, ∴圓C2的方程為(x-2)2+(y+2)2=1. 答案:(x-2)2+(y+2)2=1 5.(2012·南京質(zhì)檢)已知點(diǎn)M(1,0)是圓C:x2+y2-4x-2y=0內(nèi)的一點(diǎn)那么過點(diǎn)M的最短弦所在直線的方程是________. 解析:過點(diǎn)M的最短的弦與CM垂直,圓C:x2+y2-4x-2y=0的圓心為C(2,1),∵kCM==1,∴最短弦所在直線的方

8、程為y-0=-1(x-1),即x+y-1=0. 答案:x+y-1=0 6.圓x2+y2-4x-4y-10=0上的點(diǎn)到直線x+y-14=0的最大距離與最小距離的差是________. 解析:所給圓的圓心坐標(biāo)為(2,2),半徑r=3, 圓心到直線x+y-14=0的距離d==5. ∴所求的最大距離與最小距離的差(d+r)-(d-r)=2r=6. 答案:6 7.點(diǎn)P(0,2)到圓C:(x+1)2+y2=1的圓心的距離為________,如果A是圓C上一個動點(diǎn),=3,那么點(diǎn)B的軌跡方程為________. 解析:P(0,2)到圓C:(x+1)2+y2=1的圓心的距離d=,設(shè)B(x,y),

9、A(x0,y0), ∴=(x-x0,y-y0),=(-x0,2-y0). ∵=3,∴∴ ∴2+2=1, 即(x-2)2+(y-6)2=4. 答案: (x-2)2+(y-6)2=4 8.若圓x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三個不同點(diǎn)到直線l:ax+by=0的距離為2,則直線l的傾斜角的取值范圍是________. 解析:圓方程即(x-2)2+(y-2)2=18,它的圓心為(2,2),半徑r=3. 由條件得圓心到直線l的距離d=≤3-2, 得 2-≤-≤2+. ∵tan=2-,tan=2+, ∴直線l傾斜角的取值范圍是. 答案: 二、解答題 9.已知方程x2+y

10、2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0(t∈R)的圖形是圓. (1)求t的取值范圍; (2)求其中面積最大的圓的半徑; (3)若點(diǎn)P(3,4t2)恒在所給圓內(nèi),求t的取值范圍. 解:(1)方程即(x-t-3)2+(y+1-4t2)2=(t+3)2+(1-4t2)2-16t4-9, ∴r2=-7t2+6t+1>0, ∴-<t<1. 故t的取值范圍是. (2)∵r== , ∴當(dāng)t=∈時,rmax=. (3)當(dāng)且僅當(dāng)32+(4t2)2-2(t+3)×3+2(1-4t2)×4t2+16t4+9<0時,點(diǎn)P在圓內(nèi), ∴8t2-6t<0,即0<t<. 故t的取值范

11、圍是. 10.設(shè)平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+2x+b(x∈R)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個交點(diǎn),經(jīng)過這三個交點(diǎn)的圓記為C. (1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍; (2)求圓C的方程; (3)問圓C是否經(jīng)過某定點(diǎn)(其坐標(biāo)與b無關(guān))?請證明你的結(jié)論. 解:(1)令x=0,得拋物線與y軸的交點(diǎn)是(0,b), 令f(x)=0,得x2+2x+b=0,由題意b≠0且Δ>0, 解得b<1且b≠0.故b的取值范圍為(-∞,0)∪(0,1). (2)設(shè)所求圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0, 令y=0,得x2+Dx+F=0,這與x2+2x+b=0是同一個方程,故D=2,F(xiàn)=b,

12、 令x=0,得y2+Ey+b=0,此方程有一個根為b,代入E=-b-1, 所以圓C的方程為x2+y2+2x-(b+1)y+b=0. (3)圓C必過定點(diǎn)(0,1),(-2,1). 證明如下:將(0,1)代入圓C的方程,得左邊=02+12+2×0-(b+1)×1+b=0,右邊=0,所以圓C必過定點(diǎn)(0,1);同理可證圓C必過定點(diǎn)(-2,1). [B級 能力提升] 一、填空題 1.已知在函數(shù)f(x)=sin圖象上,相鄰的一個最大值點(diǎn)與一個最小值點(diǎn)恰好在x2+y2=R2上,則f(x)的最小正周期為________. 解析:∵x2+y2=R2,∴x∈[-R,R]. ∵函數(shù)f(x)的最小

13、正周期為2R, ∴最大值點(diǎn)為,相鄰的最小值點(diǎn)為,代入圓方程,得R=2,∴T=4. 答案:4 2.如果點(diǎn)P在平面區(qū)域 上,點(diǎn)Q在曲線x2+(y+2)2=1,那么|PQ|的最小值為________. 解析: 由圖可知不等式組確定的區(qū)域為陰影部分包括邊界,點(diǎn)P到Q的距離最小為到(0,-2)的最小值減去圓的半徑1,由圖可知|PQ|min=-1=-1. 答案:-1 3.已知AC,BD為圓O:x2+y2=4的兩條互相垂直的弦,垂足為M(1,),則四邊形ABCD的面積的最大值為________. 解析: 如圖,取AC中點(diǎn)F,BD中點(diǎn)E, 則OE⊥BD,OF⊥AC,又AC⊥BD,

14、設(shè)|OF|=d1,|OE|=d2, ∴四邊形OEMF為矩形, ∴d+d=OM2=3. 又|AC|=2, |BD|=2, ∴S四邊形ABCD=|AC||BD|=2·=2 =2  又0≤d≤3,∴當(dāng)d=時,S四邊形ABCD有最大值5 答案:5 4.點(diǎn)P是圓x2+y2-8x-2y+13=0上的動點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),則線段OP的中點(diǎn)Q的軌跡方程是________. 解析:圓的方程可化為(x-4)2+(y-1)2=4, 設(shè)P(x0,y0),Q(x,y),則x=,y=,∴x0=2x,y0=2y. ∵(x0,y0)是圓上的動點(diǎn),∴(x0-4)2+(y0-1)2=4, ∴(2x-4)2

15、+(2y-1)2=4,即(x-2)2+2=1. 答案:(x-2)2+2=1 二、解答題 5. (2011·高考陜西卷)如圖,設(shè)P是圓x2+y2=25上的動點(diǎn),點(diǎn)D是P在x軸上的正投影,M為PD上一點(diǎn),且|MD|=|PD|. (1)當(dāng)P在圓上運(yùn)動時,求點(diǎn)M的軌跡C的方程; (2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的長度. 解:(1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),P的坐標(biāo)為(x0,y0), 由已知得,又點(diǎn)P在圓上,∴x2+2=25. 即軌跡C的方程為+=1. (2)經(jīng)過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線方程為y=(x-3), 由得x2-3x-8=0, 解之得x1=,x2=.

16、 ∴線段AB長度為|AB|===. 6.已知橢圓E:+=1的左焦點(diǎn)為F,左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)是圓C的圓心,圓C恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,設(shè)G是圓C上任意一點(diǎn). (1)求圓C的方程; (2)若直線FG與直線l交于點(diǎn)T,且G為線段FT的中點(diǎn),求直線FG被圓C所截得的弦長; (3)在平面上是否存在一點(diǎn)P,使得=?若存在,求出點(diǎn)P坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 解:(1)由橢圓E:+=1, 得l:x=-4,C(-4,0),F(xiàn)(-2,0). 又圓C過原點(diǎn),所以圓C的方程為(x+4)2+y2=16. (2)由題意,得G(-3,yG),代入(x+4)2+y2=16,得yG=±,所以FG的斜率為k=±,F(xiàn)G的方程為y=±(x+2), 所以C(-4,0)到FG的距離為d=,直線FG被圓C截得弦長為2=7. 故直線FG被圓C截得的弦長為7. (3)設(shè)P(s,t),G(x0,y0),則由=, 得=, 整理得3(x+y)+(16+2s)x0+2ty0+16-s2-t2=0,① 又G(x0,y0)在圓C:(x+4)2+y2=16上,所以x+y+8x0=0,② ②代入①得(2s-8)x0+2ty0+16-s2-t2=0. 又由G(x0,y0)為圓C上任意一點(diǎn)可知 解得 所以在平面上存在一點(diǎn)P,其坐標(biāo)為(4,0).

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