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1、 （福建專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章第5課時 曲線與方程課時闖關(guān)（含解析） 一、選擇題 1．已知兩點(diǎn)M(－2,0)，N(2,0)，點(diǎn)P滿足·＝12，則點(diǎn)P的軌跡方程為(　　) A.＋y2＝1 B．x2＋y2＝16 C．y2－x2＝8 D．x2＋y2＝8 解析：選B.設(shè)P(x，y)，由·＝12可得x2＋y2＝16. 2．方程x＋＝0的圖形是橢圓的(　　) A．上半部分 B．下半部分 C．左半部分 D．右半部分 解析：選C.方程x＋＝0變形得＝－x， ∴－x≥0即x≤0，方程變形為x2＋2y2＝1. 3．動圓M經(jīng)過點(diǎn) A(3,0)且與直線l

2、：x＝－3相切，則動圓圓心M的軌跡方程是(　　) A．y2＝3 B．y2＝6x C．y2＝12x D．y2＝24x 解析：選C.設(shè)點(diǎn)M到直線l的距離為d，則d＝MA，故點(diǎn)M軌跡為以直線l為準(zhǔn)線，A(3,0)為焦點(diǎn)的拋物線．選C. 4．動點(diǎn)A在圓x2＋y2＝1上移動時，它與定點(diǎn)B(3,0)連線中點(diǎn)的軌跡方程是(　　) A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1 C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(x＋)2＋y2＝ 解析：選C.設(shè)中點(diǎn)M(x，y)，則動點(diǎn)A(2x－3,2y)，∵A在圓x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，即(2x－3)2＋4

3、y2＝1.選C. 5．(2012·南平調(diào)研)已知定點(diǎn)F1、F2和動點(diǎn)P滿足|P1－P2|＝2，|P1＋P2|＝4，則點(diǎn)P的軌跡為(　　) A．橢圓 B．圓 C．直線 D．線段 解析：選B.由|＋|2＋|－|2＝20，整理得 ||2＋||2＝10. 以F1F2所在直線為x軸，以F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系． ∵|－|＝||＝2， ∴F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，設(shè)P(x，y)， 則＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)， 由||2＋||2＝10，得x2＋y2＝4. ∴點(diǎn)P的軌跡是圓． 二、填空題 6．已知△ABC的周長為6，A(－1,0)，B

4、(1,0)，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為________． 解析：∵A(－1,0)，B(1,0)，∴|AB|＝2， 又∵△ABC的周長為6，∴|CA|＋|CB|＝4>2， ∴C點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓(去掉左、右頂點(diǎn))． ∵2a＝4，c＝1，∴b＝＝. ∴軌跡方程為＋＝1(x≠±2)． 答案：＋＝1(x≠±2) 7．直線＋＝1與x，y軸交點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是 ________. 解析：設(shè)直線＋＝1與x、y軸交點(diǎn)為A(a,0)，B(0,2－a)，A、B中點(diǎn)為M(x，y)，則x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1，∵a≠0，a≠2，∴x≠0，x≠1. 答案：x＋y＝1(x≠0，x

5、≠1) 8．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0.由動點(diǎn)P向⊙O和⊙O′所引的切線長相等，則動點(diǎn)P的軌跡方程是________． 解析：如圖，設(shè)P(x，y)，由圓O′的方程為(x－4)2＋y2＝6，及已知|AP|＝|BP|，故|OP|2－|AO|2＝|O′P|2－|O′B|2，則|OP|2－2＝|O′P|2－6. ∴x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6. ∴x＝，故動點(diǎn)P的軌跡方程是x＝. 答案：x＝ 三、解答題 9．已知點(diǎn)H(－3,0)，點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，且滿足H·P＝0，P＝－M.當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動時，試求點(diǎn)M的

6、軌跡C的方程． 解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則由P＝－M， 得P(0，－)，Q(，0)． 由H·P＝0，得(3，－)·(x，)＝0， ∴y2＝4x. 又∵Q在x軸正半軸上，∴x>0. ∴點(diǎn)M的軌跡C的方程為y2＝4x(x>0)． 10．已知橢圓C ：＋＝1和點(diǎn)P(1,2)，直線l經(jīng)過點(diǎn)P并與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，求當(dāng)l的傾斜角變化時，弦中點(diǎn)的軌跡方程． 解：設(shè)弦中點(diǎn)為M(x，y)，交點(diǎn)A為(x1，y1)，B為(x2，y2)． 當(dāng)M與P不重合時，A、B、M、P四點(diǎn)共線． ∴(y2－y1)(x－1)＝(x2－x1)(y－2)① 由＋＝1，＋ ＝1兩式相減得 ＋＝0.

7、又x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y， ∴＝－② 由①②可得：9x2＋16y2－9x－32y＝0③ 當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P重合時，點(diǎn)M坐標(biāo)為(1,2)適合方程③， ∴弦中點(diǎn)的軌跡方程為：9x2＋16y2－9x－32y＝0. 一、選擇題 1．(2012·泉州質(zhì)檢)已知圓(x＋2)2＋y2＝36的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點(diǎn)，N(2，0)，線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P，則動點(diǎn)P的軌跡是(　　) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 解析：選B.∵|PA|＝|PN|， ∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|MA|＝6＞|MN|. 故動點(diǎn)P的軌跡是橢圓．選B. 2

8、．一動圓M與已知圓 O1：(x＋3)2＋y2＝1 外切，與圓O2：(x－3)2＋y2＝81內(nèi)切，動圓圓心M的軌跡方程是(　　) A.＋＝1 B.－＝1 C.＋＝1 D.－＝1 解析：選A.兩定圓的圓心和半徑分別為O1(－3,0)，r1＝1； O2(3,0)，r2＝9.設(shè)動圓圓心為M(x，y)，半徑為 R， 則由題設(shè)條件可得|MO1|＝1＋R，|MO2|＝9－R. ∴|MO1|＋|MO2|＝10. 由橢圓的定義知：M在以 O1、O2為焦點(diǎn)的橢圓上， 且a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16，選A. 二、填空題 3．(2012·福州質(zhì)檢)長為3的線段AB的端

9、點(diǎn)A，B分別在x，y軸上移動，動點(diǎn)C(x，y)滿足＝2，則動點(diǎn)C的軌跡方程是________． 解析：動點(diǎn)C(x，y)滿足＝2，則B(0，y)，A(3x,0)，根據(jù)題意得9x2＋y2＝9，即x2＋y2＝1. 答案：x2＋＝1 4．已知雙曲線－y2＝1的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是雙曲線上不同的兩個動點(diǎn)．則直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程是________． 解析：由A1、A2為雙曲線的左、右頂點(diǎn)知， A1(－，0)，A2(，0)． A1P：y＝(x＋2)，A2Q：y＝(x－)， 兩式相乘得y2＝(x2－2)，而點(diǎn)P(x1，y1)在雙曲線

10、上， ∴－y＝1，即＝－，故y2＝－(x2－2)，即軌跡E的方程為＋y2＝1. 答案：＋y2＝1 三、解答題 5．已知F(1,0)，直線l：x＝－1，P為平面上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且·＝·.求動點(diǎn)P的軌跡C的方程． 解：法一：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則Q(－1，y)， 由·＝·，得(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化簡得C：y2＝4x. 法二：由·＝·，得·(＋)＝0， ∴(－)·(＋)＝0. ∴2－2＝0.∴||＝||. ∴點(diǎn)P的軌跡C是拋物線，由題意，軌跡C的方程為y2＝4x. 6. (2012·福州高三質(zhì)檢)如圖，ADB為

11、半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且OD⊥AB，Q為線段OD的中點(diǎn)，已知|AB|＝4，曲線C過Q點(diǎn)，動點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動且保持|PA|＋|PB|的值不變． (1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程； (2)過點(diǎn)B的直線l與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，與OD所在直線交于E點(diǎn)，若＝λ1，＝λ2，求證：λ1＋λ2為定值． 解：(1)以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸， O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系， ∵動點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動且保持|PA|＋|PB|的值不變．且點(diǎn)Q在曲線C上， ∴|PA|＋|PB|＝|QA|＋|QB|＝2＝2＞|AB|＝4. ∴曲線C是為以原點(diǎn)為中心，A、B為焦點(diǎn)的橢圓

12、． 設(shè)其長半軸為a，短半軸為b，半焦距為c，則2a＝2， ∴a＝，c＝2，b＝1. ∴曲線C的方程為＋y2＝1 (2)證明：設(shè)M，N，E點(diǎn)的坐標(biāo)分別為M(x1，y1)，N(x2，y2)，E(0，y0)，又易知B點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)． 且點(diǎn)B在橢圓C內(nèi)，故過點(diǎn)B的直線l必與橢圓C相交． 顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程是y＝k(x－2)． 將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得 (1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0. ∴x1＋x2＝，x1x2＝. 又∵＝λ1， 則(x1，y1－y0)＝λ1(2－x1，－y1)． ∴λ1＝，同理，由＝λ2，∴λ2＝. λ1＋λ2＝＋ ＝ ＝ ＝－10. ∴λ1＋λ2為定值．