2、ogx81≤-4,所以答案為C.
3.(2012·廣州檢測)已知x>1,y>1,且lnx,,lny成等比數(shù)列,則xy( )
A.有最大值e B.有最大值
C.有最小值e D.有最小值
解析:選C.∵x>1,y>1,且lnx,,lny成等比數(shù)列,
∴l(xiāng)nx·lny=≤2,
∴l(xiāng)nx+lny≥1?xy≥e.
4.(2011·高考陜西卷)設(shè)0<a<b,則下列不等式中正確的是( )
A.a(chǎn)<b<< B.a(chǎn)<<<b
C.a(chǎn)<<b< D.<a<<b
解析:選B.∵0<a<b,∴a<<b,A、C錯(cuò)誤;-a=(-)>0,即>a,故選B.
5.(2012·北京海淀區(qū)質(zhì)檢
3、)設(shè)x,y∈R,則“x2+y2≤1”是“|x|+|y|≤ ”成立的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析:選A.∵2|x||y|≤|x|2+|y|2=x2+y2≤1,
∴(|x|+|y|)2=x2+2|x||y|+y2≤2.
∴|x|+|y|≤ .
取x=0,y=,不滿足x2+y2≤1,故是充分不必要條件.
二、填空題
6.若x>0,y>0且xy=4,則x2+y2的最小值為________,x+y的最小值為________.
解析:x2+y2≥2xy=8;x+y≥2=4.
答案:8 4
7.已知a、b∈(0,
4、+∞),且a+b=1,則+≥m,恒成立的實(shí)數(shù)m的最大值是________.
解析:+=(a+b)=2++≥4.
所以+的最小值為4, m≤+恒成立,m的最大值是4.
答案:4
8.(2011·高考浙江卷)若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2+xy=1,則x+y的最大值是________.
解析:由x2+y2+xy=1,得1=(x+y)2-xy,
∴(x+y)2=1+xy≤1+,解得-≤x+y≤,
∴x+y的最大值為.
答案:
三、解答題
9.(1)當(dāng)x<1,求函數(shù)f(x)=的最大值;
(2)當(dāng)點(diǎn)(x,y)在直線x+3y-4=0上移動時(shí),求表達(dá)式3x+27y+2的最小值;
(3)已
5、知x,y都是正實(shí)數(shù),且x+y-3xy+5=0,求xy的最小值.
解:(1)∵ x<1,∴設(shè)t=1-x>0.
∴f(t)===
=-+3.
∵t+≥2,
∴f(t)≤-2+3.
當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí)取等號,即t=,x=1-,
∴函數(shù)f(x)=的最大值為-2+3.
(2)由x+3y-4=0得x+3y=4,
∴3x+27y+2=3x+33y+2
≥2·+2=2·+2
=2·+2=20,
當(dāng)且僅當(dāng)3x=33y且x+3y-4=0,即x=2,y=時(shí)取“=”.
(3)由x+y-3xy+5=0得x+y+5=3xy.
∴2+5≤x+y+5=3xy.
∴3xy-2-5≥0,∴(+1)(3-
6、5)≥0,
∴≥,即xy≥,等號成立的條件是x=y(tǒng).
此時(shí)x=y(tǒng)=,故xy的最小值是.
10.已知:a,b是正常數(shù),x, y∈(0,+∞),且a+b=10,+=1,x+ y的最小值為18,求a、b的值.
解:∵x+y =(x+y)
=a+b++≥a+b+2,
當(dāng)且僅當(dāng)bx2=ay2時(shí)等號成立.
∴x+y的最小值為a+b+2=18.
又a+b=10.① ∴2=8,
∴ab=16.②
由①②可得a=2,b=8或a=8,b=2.
一、選擇題
1.(2010·高考四川卷)設(shè)a>b>0,則a2++的最小值是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
7、
解析:選D.a2++=a2-ab+ab++
=a(a-b)++ab+≥2+2=4,
當(dāng)且僅當(dāng)a(a-b)=1且ab=1,即a=,b=時(shí)取等號.
2.(2012·三明市三校聯(lián)考)已知M是△ABC內(nèi)的一點(diǎn),且·=2,∠BAC=60°,若△MBC,△MCA,△MAB的面積分別為,x,y,則+的最小值為( )
A.20 B.18
C.16 D.9
解析:選B.由·=2,∠BAC=60°,則△ABC的面積為1.則+x+y=1,即x+y=,+=(2x+2y)=10++≥18.
當(dāng)且僅當(dāng)=,即y=2x時(shí),即x=,y=時(shí)取等號.
二、填空題
3.當(dāng)a>0,a≠ 1時(shí),函數(shù)f(
8、x)=loga(x-1)+1的圖象恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線mx-y+n=0上,則4m+2n的最小值是________.
解析:A(2,1),故2m+n=1.
∴4m+2n≥2=2=2.
當(dāng)且僅當(dāng)4m=2n,即2m=n,
即n=,m=時(shí)取等號.
∴4m+2n的最小值為2.
答案:2
4.若a,b是正常數(shù),a≠b,x,y∈(0,+∞),則+≥,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取等號.利用以上結(jié)論,可以得到函數(shù)f(x)=+的最小值為________,取最小值時(shí)x的值為________.
解析:f(x)=+≥=25.
當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=時(shí)上式取最小值,即f(x)min=25.
答案:25
三、解答
9、題
5.是否存在常數(shù)c,使得不等式+≤c≤+對任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立?證明你的結(jié)論.
解:存在常數(shù)c=.
證明:令?
故有+=+=-≤-=,
同理可證+≥.
故存在常數(shù)c=.
6.學(xué)校食堂定期從某糧店以每噸1500元的價(jià)格購買大米,每次購進(jìn)大米需支付運(yùn)輸勞務(wù)費(fèi)100元,已知食堂每天需要大米1噸,貯存大米的費(fèi)用為每噸每天2元,假定食堂每次均在用完大米的當(dāng)天購買.
(1)該食堂每多少天購買一次大米,能使平均每天所支付的費(fèi)用最少?
(2)糧店提出價(jià)格優(yōu)惠條件:一次購買量不少于20噸時(shí),大米價(jià)格可享受九五折優(yōu)惠(即是原價(jià)的95%),問食堂可否接受此優(yōu)惠條件?請說明理由.
解:(1)設(shè)該食堂每x天購買一次大米,則每次購買x噸,設(shè)平均每天所支付的費(fèi)用為y元,則
y=[1500x+100+2(1+2+…+x)]
=x++1501≥1521,
當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=10時(shí)取等號,
故該食堂每10天購買一次大米,能使平均每天所支付的費(fèi)用最少.
(2)y=[1500x·0.95+100+2(1+2+…+x)]
=x++1426(x≥20).
函數(shù)y在[20,+∞)上為增函數(shù),所以y≥20++1426=1451.
而1451<1521,故食堂可接受糧店的優(yōu)惠條件.