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(江蘇專用)2013年高考數(shù)學總復習 第八章第8課時 圓錐曲線的綜合應用隨堂檢測(含解析)

上傳人:lisu****2020 文檔編號:147629631 上傳時間:2022-09-02 格式:DOC 頁數(shù):7 大?。?68.50KB
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1、(江蘇專用)2013年高考數(shù)學總復習 第八章第8課時 圓錐曲線的綜合應用 隨堂檢測(含解析) 1.拋物線y2=4x上的點到直線l:x+y+2=0的距離最小,求P點坐標. 解:設P(x0,y0)則y=4x0, P到l的距離d===. ∴當y0=-2時,d取最小值,此時x0==1,故P點坐標為P(1,-2). 2.若點P(x,y)是橢圓+=1上的動點,求x+y的最大值. 解:由已知2+2=1,可設x=5cosα,y=4sinα,其中α∈[0,2π), ∴x+y=5cosα+4sinα=sin(α+φ),其中tanφ=. ∴x+y的最大值為. 3.若直線y=kx交橢圓+y2=1

2、于A、B兩點,且AB≥,求k取值范圍. 解:由得x2=.不妨設 由兩點間距離公式得AB2=≥10,解得k2≤. ∴-≤k≤. 4.在雙曲線-=-1的上支上有三點A(x1,y1)、B(x2,4)、C(x3,y3).它們與點F(0,3)的距離成等差數(shù)列. (1)求:y1+y3的值; (2)證明:線段AC的垂直平分線經過某一定點,并求此點坐標. 解:(1)∵c==3.∴F(0,3)為雙曲線的上焦點,設上準線為l1,分別過A、B、C作x軸的垂線.它們分別與x軸交于A1、B1、C1,與l1交于A2、B2、C2,令e為離心率,則有 e|AA2|=|AF|、e|BB2|=|BF|、e|C

3、C2|=|CF|. 于是有 2e|BB2|=2|BF|=|AF|+|CF|=e|AA2|+e|CC2|, 即2|BB2|=|AA2|+|CC2|. 從而2|BB1|=2|B1B2|+2|BB2| =|A1A2|+|C1C2|+|AA2|+|CC2|=y(tǒng)1+y3, 即y1+y3=2y2=8. (2)AC的中垂線方程為 y-(y1+y3)=-, 即y-4=-x+.① 由于A、C均在雙曲線上,所以有 -=-1,-=-1, 兩式相減得(x-x)=(y-y), 從而有=(y1+y3)=·8=10. 代入①得y-4=-x+5, 易見此直線過定點D(0,9). [A級 雙

4、基鞏固] 1. 橢圓M:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,P為橢圓M上任一點,且||·||的最大值的取值范圍是[2c2,3c2],其中c=.求橢圓離心率的取值范圍. 解:||·||≤2=a2, 則2c2≤a2≤3c2,2e2≤1≤3e2,∴≤e≤. ∴橢圓M離心率的取值范圍是. 2.已知橢圓長軸、短軸及焦距之和為8,求長半軸長的最小值. 解:法一:∵a+b+c=4,∴b+c=4-a. 又b2+c2=a2,∴b2+c2≥?a2≥, 解得a≥4(-1). 法二:由a2=b2+c2,設b=acosθ,c=asinθ,則a(cosθ+si

5、nθ+1)=4,a=≥=4(-1). ∴此橢圓長半軸長的最小值為4(-1). 3. 如圖所示,曲線G的方程為y2=2x(y≥0).以原點為圓心,以t(t>0)為半徑的圓分別與曲線G和y軸的正半軸相交于點A與點B.直線AB與x軸相交于點C. (1)求點A的橫坐標a與點C的橫坐標c的關系式; (2)設曲線G上點D的橫坐標為a+2,求證:直線CD的斜率為定值. 解:(1)由題意知,A(a,). 因為|OA|=t,所以a2+2a=t2. 由于t>0,故有 t=,① 由點B(0,t),C(c,0)的坐標知,直線BC的方程為+=1. 又因點A在直線BC上,故有+=1, 將①

6、代入上式,得+=1 解得c=a+2+. (2)因為D(a+2,),所以直線CD的斜率為kCD== ==-1. 所以直線CD的斜率為定值. 4. 如圖:A、B是定拋物線y2=2px(p>0是定值)的兩個定點,O是坐標原點且·=0.求證直線AB必過定點,并求出這個定點. 解:顯然OA,OB必有斜率且斜率均不為零. 設OA的斜率為k,則OA:y=kx. 當k≠±1時,由得A, 同理B(2pk2,-2pk). ∴kAB==. AB的方程為:y+2pk=(x-2pk2),整理得: -yk2+(2p-x)k+y=0.(*) 令即則(*)對于一切實數(shù)k均成立,故直線AB過定點

7、(2p,0). 當k=±1時,AB⊥x軸,其方程為x=2p.它也經過點(2p,0),故直線AB必過定點(2p,0). 5.在平面直角坐標系xOy中,已知圓心在第二象限、半徑為2的圓C與直線y=x相切于坐標原點O.橢圓+=1與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10. (1)求圓C的方程; (2)試探究圓C上是否存在異于原點的點Q,使Q到橢圓右焦點F的距離等于線段OF的長.若存在,請求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由. 解:(1)設圓心坐標為(m,n)(m<0,n>0), 則該圓的方程為(x-m)2+(y-n)2=8已知該圓與直線y=x相切, 那么圓心到該直線的距離等于圓的半徑

8、,則=2,即|m-n|=4.① 又圓與直線切于原點,將點(0,0)代入得m2+n2=8.② 聯(lián)立方程①和②組成方程組解得 故圓的方程為(x+2)2+(y-2)2=8. (2)|a|=5,∴a2=25,則橢圓的方程為+=1,其焦距c==4,右焦點為(4,0),那么OF=4.要探求是否存在異于原點的點Q,使得該點到右焦點F的距離等于|OF|的長度4,我們可以轉化為探求以右焦點F為圓心,半徑為4的圓(x-4)2+y2=16與(1)所求的圓的交點數(shù).通過聯(lián)立兩圓的方程解得x=,y=,即存在異于原點的點Q,使得該點到右焦點F的距離等于OF的長. 6.已知中心在原點,焦點在坐標軸上的橢圓過M,N

9、兩點. (1)求橢圓的方程; (2)在橢圓上是否存在點P(x,y),使P到定點A(a,0)(其中00,n>0,且m≠n), ∵橢圓過M,N兩點, ∴? ∴橢圓方程為+=1. (2)設存在點P(x,y)滿足題設條件, ∴|AP|2=(x-a)2+y2,又+=1, ∴y2=4. ∴|AP|2=(x-a)2+4=2+4-a2(|x|≤3), 若≤3,即03,即

10、<3時,當x=3時,|AP|2的最小值為(3-a)2,依題意(3-a)2=1. ∴a=2,此時點P的坐標是(3,0). 故當a=2時,存在這樣的點P滿足條件,P點的坐標是(3,0). 7.(2012·鹽城質檢)已知在△ABC中,點A、B的坐標分別為(-2,0)和(2,0),點C在x軸上方. (1)若點C的坐標為(2,3),求以A、B為焦點且經過點C的橢圓的方程; (2)若∠ACB=45°,求△ABC的外接圓的方程; (3)若在給定直線y=x+t上任取一點P,從點P向(2)中圓引一條切線,切點為Q,問是否存在一個定點M,恒有PM=PQ?請說明理由. 解:(1)因為AC=5,BC=3

11、,所以橢圓的長軸長2a=AC+BC=8. 又c=2,所以b=2,故所求橢圓的方程為+=1. (2)∵=2R,∴2R=4,∴R=2. 又圓心在AB的垂直平分線上,故可知圓心為(0,s)(s>0), 則由4+s2=8.∴s=2,故△ABC的外接圓的方程為x2+(y-2)2=8. (3)假設存在這樣的點M(m,n),設點P(x,x+t), 因為恒有PM=PQ,所以(x-m)2+(x+t-n)2=x2+(x+t-2)2-8, 即(2m+2n-4)x-(m2+n2-2nt+4t+4)=0對x∈R恒成立. 從而消去m,得n2-(t+2)n+(2t+4)=0 (*), 因為方程(*)的判別

12、式為Δ=t2-4t-12, 所以①當-2

13、為=,即y=(x-2). ∴直線l的方程是y=(x-2). (2)設所求橢圓的標準方程為+=1(a>b>0), ∵一個焦點F(2,0),∴c=2,即a2-b2=4.① ∵點P(3,)在橢圓+=1(a>b>0)上, ∴+=1.② 由①②解得a2=12,b2=8,所以所求橢圓的標準方程為 +=1. (3)由題意得方程組 解得或 ∴Q(0,-2),=(-3,-3). ∵=λ=(-3λ,-3λ), ∴=+=(3-3λ,-3λ). ∴||=  = = , ∴當λ=時,||最?。? 2. 如圖,已知⊙O′過定點A(0,p)(p>0),圓心O′在拋物線x2=2py上運動

14、,MN為圓O′在x軸上截得的弦,令AM=d1,AN=d2,∠MAN=θ. (1)當O′點運動時,MN是否有變化?請證明你的結論; (2)求+的最大值及取得最大值時的θ的值. 解:設圓心O′(x0,y0),則圓O′的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=x+(y0-p)2. 令y=0,得x2-2x0x+x=p2,解得xM=x0-p,xN=x0+p. 所以MN=xN-xM=2p,即MN是定值. (2)d=(x0-p)2+p2,d=(x0+p)2+p2,d1d2=,所以+==≤=2. 當且僅當x=2p2時,等式成立,即x0=±p(y0=p)時,+取得最大值. 此時∠MO′N=90°,

15、所以θ=45°. 3.一束光線從點F1(-1,0)出發(fā),經直線l:2x-y+3=0上一點P反射后,恰好穿過點F2(1,0). (1)求P點的坐標; (2)求以F1、F2為焦點且過點P的橢圓C的方程; (3)由(2),設點Q是橢圓C上除長軸兩端點外的任意一點,試問在x軸上是否存在兩定點A、B,使得直線QA、QB的斜率之積為定值?若存在,請求出定值,并求出所有滿足條件下的定點A、B的坐標;若不存在,請說明理由. 解:(1)設F1關于l的對稱點為F(m,n), 解得m=-,n=,即F, 故直線F2F的方程為x+7y-1=0. 由解得P. (2)因為PF1=PF,根據橢圓定義,得

16、2a=PF1+PF2=PF+PF2=FF2=?。?,所以a=. 又c=1,所以b=1. 所以橢圓C的方程為+y2=1. (3)假設存在兩定點為A(s,0),B(t,0),使得對于橢圓上任意一點Q(x,y)(除長軸兩端點)都有kQA·kQB=k(k為定值),即·=k,將y2=1-代入并整理得x2-k(s+t)x+kst-1=0…(*).由題意,(*)式對任意x∈(-,)恒成立,所以, 解之得或. 所以有且只有兩定點(,0),(-,0),使得kQA·kQB為定值-. 4.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,過右頂點A的直線l與橢圓C相交于A、B兩點,且B(-1,-3).

17、(1)求橢圓C和直線l的方程; (2)記曲線C在直線l下方部分與線段AB所圍成的平面區(qū)域(含邊界)為D.若曲線x2-2mx+y2+4y+m2-4=0與D有公共點,試求實數(shù)m的最小值. 解:(1)由離心率e=,得=, 即a2=3b2.① 又點B(-1,-3)在橢圓C:+=1上,即+=1.② 解①②得a2=12,b2=4. 故所求橢圓方程為+=1. 由A(2,0),B(-1,-3)得直線l的方程為y=x-2. (2)曲線x2-2mx+y2+4y+m2-4=0, 即圓(x-m)2+(y+2)2=8,其圓心坐標為G(m,-2), 半徑r=2,表示圓心在直線y=-2上,半徑為2的動圓. 由于要求實數(shù)m的最小值,由圖可知,只需考慮m<0的情形. 設⊙G與直線l相切于點T, 則由=2,得m=±4, 當m=-4時,過點G(-4,-2)與直線l垂直的直線l′的方程為x+y+6=0, 解方程組得T(-2,-4). 因為區(qū)域D內的點的橫坐標的最小值與最大值分別為-1,2, 所以切點T?D.由圖可知當⊙G過點B時,m取得最小值,即(-1-m)2+(-3+2)2=8, 解得mmin=--1.

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