2、間不同的直線或平面,對下列四種情形,使“X⊥Z且Y⊥Z?X∥Y”為真命題的是 ( )
①X,Y,Z是直線;②X,Y是直線,Z是平面;③Z是直線,X,Y是平面;④X,Y,Z是平面.
(A)①② (B)①③ (C)②③ (D)③④
4.如圖,設(shè)P是正方形ABCD外一點(diǎn),且PA⊥平面ABCD,則平面PAB與平面PBC、平面PAD的位置關(guān)系是 ( )
(A)平面PAB與平面PBC、平面PAD都垂直
(B)它們兩兩都垂直
(C)平面PAB與平面PBC垂直、與平面PAD不垂直
(D)平面PAB與平面PBC、平面PAD都不垂直
5.(2013·南昌模擬)如圖,在四邊
3、形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD
=90°,將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,構(gòu)成三棱錐A-BCD,則在三棱錐A-BCD中,下列命題正確的是 ( )
(A)平面ABD⊥平面ABC
(B)平面ADC⊥平面BDC
(C)平面ABC⊥平面BDC
(D)平面ABC⊥平面ADC
6.已知點(diǎn)O為正方體ABCD -A1B1C1D1底面ABCD的中心,則下列結(jié)論正確的是 ( )
(A)直線OA1⊥平面AB1C1
(B)直線OA1∥直線BD1
(C)直線OA1⊥直線AD
(D)直線OA1∥平面CB1D1
二、填空題
7.設(shè)α,β,γ是
4、三個(gè)不重合的平面,l是直線,給出下列四個(gè)命題:
①若α⊥β,l⊥β,則l∥α;
②若l⊥α,l∥β,則α⊥β;
③若l上有兩點(diǎn)到α的距離相等,則l∥α;
④若α⊥β,α∥γ,則γ⊥β.
其中正確命題的序號是 .
8.如圖,在三棱柱ABC -A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,底面是以
∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點(diǎn),點(diǎn)F在線段AA1上,當(dāng)AF= 時(shí),CF⊥平面B1DF.
9.如圖,A,B,C,D為空間中的四個(gè)不同點(diǎn).在△ABC中,AB=2, AC=BC=.等邊三角形ADB以AB為軸運(yùn)動.當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí),
5、CD= .
三、解答題
10.(2013·合肥模擬)如圖,三棱錐P-ABC中,PB⊥底面ABC,∠BCA=90°,
PB=BC=CA=4,E為PC的中點(diǎn),M為AB的中點(diǎn),點(diǎn)F在PA上,且AF=2FP.
(1)求證:BE⊥平面PAC.
(2)求證:CM∥平面BEF.
(3)求三棱錐F-ABE的體積.
11.如圖,沿等腰直角三角形ABC的中位線DE,將平面ADE折起,使得平面ADE⊥平面BCDE得到四棱錐A -BCDE.
(1)求證:平面ABC⊥平面ACD.
(2)過CD的中點(diǎn)M的平面α與平面ABC平行,試求平面α與四棱錐A -BCDE各個(gè)面的交線所圍成的多邊形
6、的面積與△ABC的面積之比.
12.如圖,在平行六面體ABCD -A1B1C1D1中,四邊形ABCD與四邊形CC1D1D均是邊長為1的正方形,∠ADD1=120°,點(diǎn)E為A1B1的中點(diǎn),點(diǎn)P,Q分別為BD,CD1上的動點(diǎn),且==λ.
(1)當(dāng)平面PQE∥平面ADD1A1時(shí),求λ的值.
(2)在(1)的條件下,設(shè)N為DD1的中點(diǎn),求多面體ABCD -A1B1C1N的體積.
答案解析
1.【解析】選C.當(dāng)bα?xí)r,若α⊥β,b不一定垂直于β.故C錯(cuò)誤.
2.【解析】選C.連接CM,∵M(jìn)為AB的中點(diǎn),△ACB為直角三角形,
∴BM=AM=CM.又PM⊥平面ABC,
7、∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC,故PA=PB=PC.
【誤區(qū)警示】本題易由于作圖不準(zhǔn)確,憑借直觀感覺認(rèn)為PC最長,從而誤選B.
3.【解析】選C.由垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行,垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行,可知②③正確.
4.【解析】選A.∵P是正方形ABCD外一點(diǎn),且PA⊥平面ABCD,
∴AB⊥BC,PA⊥BC,∴BC⊥平面PAB,
∵BC平面PBC,
∴平面PAB⊥平面PBC;
∵P是正方形ABCD外一點(diǎn),且PA⊥平面ABCD,
∴AD⊥AB,PA⊥AD,
∴AD⊥平面PAB,
∵AD平面PAD,∴平面PAB⊥平面PAD.
故選A.
5.【解析】
8、選D.在平面圖形中CD⊥BD,折起后仍有CD⊥BD,由于平面ABD⊥平面BCD,故CD⊥平面ABD,CD⊥AB,又AB⊥AD,故AB⊥平面ADC,所以平面ABC⊥平面ADC.
6.【解析】選D.設(shè)E為D1B1中點(diǎn),根據(jù)正方體的性質(zhì)可知A1E=OC,A1E∥OC,
∴四邊形A1ECO為平行四邊形,
則A1O∥EC,
而A1O?平面CB1D1,EC平面CB1D1,
∴直線OA1∥平面CB1D1,
故選D.
7.【解析】①錯(cuò)誤,l可能在平面α內(nèi);②正確;③錯(cuò)誤,直線可能與平面相交;
④正確.故填②④.
答案:②④
8.【解析】由題意易知,B1D⊥平面ACC1A1,所以B1D⊥CF
9、.要使CF⊥平面B1DF,只需CF⊥DF即可.
令CF⊥DF,設(shè)AF=x,則A1F=3a-x.
由Rt△CAF∽Rt△FA1D,
得=,即=,
整理得x2-3ax+2a2=0,
解得x=a或x=2a.
答案:a或2a
9.【解析】取AB的中點(diǎn)E,連接DE,CE.
因?yàn)椤鰽DB是等邊三角形,
所以DE⊥AB.
當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí),
因?yàn)槠矫鍭DB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC,
可知DE⊥CE.
由已知可得DE=,EC=1,
在Rt△DEC中,CD==2.
答案:2
10.【解析】(1)∵PB⊥底面ABC,且AC底面ABC,
∴AC⊥PB.
10、由∠BCA=90°,可得AC⊥CB.
又∵PB∩CB=B,∴AC⊥平面PBC,
∵BE平面PBC,∴AC⊥BE.
又PB=BC,E為PC的中點(diǎn),∴BE⊥PC.
∵PC∩AC=C,∴BE⊥平面PAC.
(2)取AF的中點(diǎn)G,連接CG,GM,
∵FA=2FP且G為AF的中點(diǎn),
∴F為PG的中點(diǎn).
又∵E為PC的中點(diǎn),∴EF∥CG.
∵CG?平面BEF,EF平面BEF,
∴CG∥平面BEF.
同理可證:GM∥平面BEF.
又CG∩GM=G,∴平面CMG∥平面BEF.
∵CM平面CMG,
∴CM∥平面BEF.
(3)由(1)可知BE⊥平面PAC,
又由已知可得BE=2,
11、S△AEF=S△PAC=×AC·PC=,
∴VF-ABE=VB-AEF=S△AEF·BE=,
∴三棱錐F-ABE的體積為.
【變式備選】(2013·岳陽模擬)如圖所示的多面體中,AD⊥平面PDC,ABCD為平行四邊形,E,F分別為AD,BP的中點(diǎn),AD=3,AP=5,PC=2.
(1)求證:EF∥平面PDC.
(2)若∠CDP=90°,求證BE⊥DP.
(3)若∠CDP=120°,求該多面體的體積.
【解析】(1)取PC的中點(diǎn)為O,連接FO,DO,
∵F,O分別為BP,PC的中點(diǎn),
∴FO∥BC,且FO=BC.又四邊形ABCD為平行四邊形,∴ED∥BC,
∵E為AD中點(diǎn),∴
12、ED=BC,
∴FO∥ED,且FO=ED,
∴四邊形EFOD是平行四邊形,
即EF∥DO.又EF?平面PDC,DO平面PDC,
∴EF∥平面PDC.
(2)若∠CDP=90°,則DP⊥DC.又AD⊥平面PDC,
∴AD⊥DP,∵AD∩DC=D,
∴DP⊥平面ABCD.
∵BE平面ABCD,∴BE⊥DP.
(3)連接AC,由四邊形ABCD為平行四邊形可知△ABC與△ADC面積相等,
∴三棱錐P -ADC與三棱錐P -ABC體積相等,
即五面體的體積為三棱錐P -ADC體積的二倍.
∵AD⊥平面PDC,∴AD⊥DP.由AD=3,AP=5,
可得DP=4.
又∠CDP=1
13、20°,PC=2,
由余弦定理并整理得DC2+4DC-12=0,解得DC=2,
∴三棱錐P -ADC的體積V=××2×4×sin120°×3=2,
∴該五面體的體積為4.
11.【解析】(1)由題設(shè)知AD⊥DE.
因?yàn)槠矫鍭DE⊥平面BCDE,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得AD⊥平面BCDE,所以AD⊥BC,由CD⊥BC,AD∩CD=D,根據(jù)線面垂直的判定定理得BC⊥平面ACD.
又因?yàn)锽C平面ABC,
所以平面ABC⊥平面ACD.
(2)如圖,設(shè)平面α與平面ACD、平面ADE、平面ABE、平面BCDE的交線分別為QM,QP,PN,MN,由于平面α∥平面ABC,
故MQ∥AC.
14、
因?yàn)镸是CD的中點(diǎn),故Q是AD的中點(diǎn),同理MN∥BC,N為BE的中點(diǎn),NP∥AB,P為AE的中點(diǎn),故平面α與四棱錐A -BCDE各個(gè)面的交線所圍成的多邊形是四邊形MNPQ.
由于點(diǎn)P,Q分別為AE,AD的中點(diǎn),所以PQ∥DE.又DE∥BC,BC∥MN,故PQ∥MN.由(1)知BC⊥AC,又MN∥BC,MQ∥AC,所以MQ⊥MN,所以四邊形MNPQ是直角梯形.
設(shè)CM=a,則MQ=a,MN=3a,PQ=a,BC=4a,AC=2a,
故四邊形MNPQ的面積是×a=2a2,
△ABC的面積是×4a×2a=4a2,
所以平面α與四棱錐A -BCDE各個(gè)面的交線所圍成的多邊形的面積與△AB
15、C的面積之比為=.
12.【解析】(1)由平面PQE∥平面ADD1A1,得點(diǎn)P到平面ADD1A1的距離等于點(diǎn)E到平面ADD1A1的距離.而四邊形ABCD與四邊形CC1D1D均是邊長為1的正方形,
∴DC⊥AD,DC⊥DD1,又AD∩DD1=D,
∴DC⊥平面ADD1A1,∴A1B1⊥平面ADD1A1.
又∵E是A1B1的中點(diǎn),∴點(diǎn)E到平面ADD1A1的距離等于,∴點(diǎn)P到平面ADD1A1的距離等于,即點(diǎn)P為BD的中點(diǎn),∴λ==1.
(2)連接B1D1,由(1)知DC⊥平面ADD1A1,可知A1B1⊥平面ADD1A1,
∴=·A1B1=×(×1×sin60°)×1=.
由CC1∥平面BB1D1D,得點(diǎn)C1到平面BB1D1D的距離等于點(diǎn)C到平面BB1D1D的距離,由平行六面體ABCD -A1B1C1D1的對稱性,知點(diǎn)C1到平面BB1D1D的距離等于點(diǎn)A1到平面BB1D1D的距離,
∴==,即=2=.
由(1)得DC⊥平面ADD1A1,而DC=1,
菱形ADD1A1的面積S=AD·DD1·sin∠ADD1=1×1×sin120°=,
∴平行六面體ABCD -A1B1C1D1的體積V=S·AB=×1=,
∴多面體ABCD -A1B1C1N的體積V′=-=.
2014屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時(shí)提升作業(yè)(四十四) 第七章 第五節(jié) 文
