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1、課時作業(yè)(二十二) [第22講 正弦定理和余弦定理]
(時間：45分鐘 分值：100分)
1．[2012·上海卷] 在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，則△ABC的形狀是( )
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．不能確定
2．[2012·廣東卷] 在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，則AC＝( )
A．4 B．2 C. D.
3．在△ABC中，下列關(guān)系式：①asinB＝bsinA；②a＝bcosC＋ccosB；③a2＋b2－c2＝2abcosC；④b＝csinA＋asinC，一定成立的有( )
A．1個
2、B．2個
C．3個 D．4個
4．△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若c＝2b，sin2A－sin2B＝sinBsinC，則A＝________．
5．判斷下列說法，其中正確的是( )
A．a(chǎn)＝7，b＝14，A＝30°有兩解
B．a(chǎn)＝30，b＝25，A＝150°只有一解
C．a(chǎn)＝6，b＝9，A＝45°有兩解
D．b＝9，c＝10， B＝60°無解
6．[2012·丹東模擬] 已知△ABC內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝3，b＝2，A＝60°，則cosB＝( )
A. B．±
C. D．±
7．[2012·湖北卷] 設(shè)△AB
3、C的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若三邊的長為連續(xù)的三個正整數(shù)，且A＞B＞C，3b＝20acosA，則sinA∶sinB∶sinC為( )
A．4∶3∶2 B．5∶6∶7
C．5∶4∶3 D．6∶5∶4
8．△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，則△ABC的面積等于( )
A. B.
C.或 D.或
9．在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c.若C＝120°，c＝a，則( )
A．a(chǎn)>b
B．a(chǎn)
4、A＋C＝3B，則sinC＝________．
11．[2012·商丘模擬] 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若a＝4，A＝，則該三角形面積的最大值是________．
12．△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對邊長分別是a，b，c，設(shè)向量m＝(a＋b，sinC)，n＝(a＋c，sinB－sinA)，若m∥n，則角B的大小為________．
13．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosB－bcosA＝c，當(dāng)tan(A－B)取最大值時，角C的值為________．
14．(10分)[2012·遼寧卷] 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，
5、b，c，角A，B，C成等差數(shù)列．
(1)求cosB的值；
(2)邊a，b，c成等比數(shù)列，求sinAsinC的值．
15．(13分)[2012·衡水質(zhì)檢] 設(shè)△ABC是銳角三角形，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，并且cos2A＝cos2B－sin＋Bcos＋B.
(1)求角A的值；
(2)若△ABC的面積為6，求邊a的最小值．
16．(12分)[2012·吉林一中二模] 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若＝且sinC＝cosA.
(1)求角A， B，C的大??；
(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(2x＋A)
6、＋cos2x－，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，并指出它相鄰兩對稱軸間的距離．
課時作業(yè)(二十二)
【基礎(chǔ)熱身】
1．C [解析] 由正弦定理可把不等式轉(zhuǎn)化為a2＋b2
7、sinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，∴sinC＝2sinB，
∵sin2A－sin2B＝sinBsinC＝6sin2B，∴sin2A＝7sin2B，sinA＝sinB，
所以，a＝b，由余弦定理得cosA＝＝＝＝，所以A＝.
【能力提升】
5．B [解析] A中，由正弦定理得sinB＝＝＝1，所以B＝90°，故只有一解，A錯誤；B中，由正弦定理得sinB＝＝<1，又A為鈍角，故只有一解，B正確；C中，由正弦定理得sinB＝＝>1，所以角B不存在，故無解，C錯誤；D中，由正弦定理得sinC＝＝<1，因為b
8、
6．C [解析] 由正弦定理得sinB＝＝＝，又b＜a，∴cosB＞0，∴cosB＝＝＝.
7．D [解析] 因為a，b，c為連續(xù)的三個正整數(shù)，且A>B>C，可得a＝c＋2，b＝c＋1①.又因為3b＝20acosA，由余弦定理可知cosA＝，則3b＝20a·②，聯(lián)立①②，化簡可得7c2－13c－60＝0，解得c＝4或c＝－(舍去)，則a＝6，b＝5.又由正弦定理可得，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝6∶5∶4.故選D.
8．D [解析] ∵＝，∴sinC＝.
∵0°＜C＜180°，∴C＝60°或120°.
當(dāng)C＝60°時，A＝90°，∴BC＝2，此時，S△ABC＝；
當(dāng)C
9、＝120°時，A＝30°，S△ABC＝××1×sin30°＝.
9．A [解析] 方法一：由余弦定理得2a2＝a2＋b2－2abcos120°，
b2＋ab－a2＝0，
即＋－1＝0，＝<1，故b0，∴a>b.
方法三：由c＝a，∴sinC＝sinA，∴sin120°＝sinA.
∴sinA＝>.又A＋B＝60°，∴A>30°，∴A>B，∴a>b.
10. [解析] ∵A＋C＝3B且A＋C＋B＝180°，∴B＝45°，由正弦定理得＝，∴sinC＝.
1
10、1．4 [解析] a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，∴bc≤16，
∴S＝bcsinA≤×16×sin＝4.
12．150° [解析] 由m∥n，∴(a＋b)(sinB－sinA)－sinC(a＋c)＝0，由正弦定理有(a＋b)(b－a)＝c(a＋c)，即a2＋c2－b2＝－ac，再由余弦定理得cosB＝－，∴B＝150°.
13. [解析] 由正弦定理有＝＝，
而已知acosB－bcosA＝c，那么sinAcosB－sinBcosA＝sinC，
即sin(A－B)＝sinC，
則可知0
11、－B≤或≤A－B<π，
所以當(dāng)A－B＝，即sin(A－B)＝sinC＝時，tan(A－B)有最大值為.
此時sin(A－B)＝sinC＝，即sinC＝1，解得C＝.
14．解：(1)由已知2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，
所以cosB＝.
(2)方法一：由已知b2＝ac，及cosB＝，
根據(jù)正弦定理得sin2B＝sinAsinC，
所以sinAsinC＝1－cos2B＝.
解法二：由已知b2＝ac，及cosB＝，
根據(jù)余弦定理得cosB＝，解得a＝c，
所以B＝A＝C＝60°，
故sinAsinC＝.
15．解：(1)由cos2A＝cos2B－sin
12、＋Bcos＋B得
cos2A＝cos2B－sincosB＋cossinB·coscosB－sinsinB
＝cos2B－cosB＋sinB
＝cos2B－cos2B－sin2B＝cos2B＋sin2B＝，
得cosA＝±.
又A為銳角，所以A＝.
(2)由△ABC的面積為6得bcsinA＝6.
由(1)知A＝，所以bc＝24，
由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－24，
由基本不等式得b2＋c2≥2bc，所以a2≥48－24＝24，
所以a≥2(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時取等號)，即a的最小值為2.
【難點突破】
16．解：(1)由＝結(jié)合正弦定理得＝，則sin2A＝sin2B，則在三角形中有A＝B或A＋B＝，
當(dāng)A＝B時，由sinC＝cosA得cosA＝sin2A＝2sinAcosA得sinA＝或cosA＝0(舍)，∴A＝B＝，C＝，
當(dāng)A＋B＝時，由sinC＝cosA得cosA＝1(舍)．
綜上，A＝B＝，C＝，
(2)由(1)知f(x)＝sin2x＋＋cos2x－＝sin2x＋＋cos－＋2x＋
＝2sin2x＋.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ－，kπ＋(k∈Z)，相鄰兩對稱軸間的距離為.
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