《內蒙古伊圖里河高級中學高三數(shù)學復習 函數(shù)與方程、函數(shù)的應用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《內蒙古伊圖里河高級中學高三數(shù)學復習 函數(shù)與方程、函數(shù)的應用（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、內蒙古伊圖里河高級中學高三數(shù)學復習：函數(shù)與方程、函數(shù)的應用 主干知識整合 1．函數(shù)的零點 方程的根與函數(shù)的零點的關系：由函數(shù)的零點的定義可知，函數(shù)y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的實數(shù)根，也就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標．所以，方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點． 2．二分法 用二分法求函數(shù)零點的一般步驟： 第一步：確定區(qū)間[a，b]，驗證f(a)·f(b)<0，給定精確度ε； 第二步：求區(qū)間[a，b]的中點c； 第三步：計算f(c)： (1)若f(c)＝0，則c就是函數(shù)的零點； (2)若f(a)·f(

2、c)<0，則令b＝c(此時零點x0∈(a，c))； (3)若f(c)·f(b)<0，則令a＝c(此時零點x0∈(c，b))； (4)判斷是否達到精確度ε：即若|a－b|<ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復(2)～(4)． 3．函數(shù)模型 解決函數(shù)模型的實際應用題，首先考慮題目考查的函數(shù)模型，并要注意定義域．其解題步驟是：(1)閱讀理解，審清題意：分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應的數(shù)學問題；(2)數(shù)學建模：弄清題目中的已知條件和數(shù)量關系，建立函數(shù)關系式；(3)解函數(shù)模型：利用數(shù)學方法得出函數(shù)模型的數(shù)學結果；(4)實際問題作答：將數(shù)學問題的結果轉譯成實際問題作出解答． 要點

3、熱點探究 探究點一　函數(shù)的零點和方程根的分布 例1 (1)[2011·天津卷] 對實數(shù)a和b，定義運算“?”：a?b＝設函數(shù)f(x)＝(x2－2)?(x－x2)，x∈R，若函數(shù)y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則實數(shù)c的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2]∪ B．(－∞，－2]∪ C.∪ D.∪ (2)[2011·山東卷] 已知函數(shù)f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．當2＜a＜3＜b＜4時，函數(shù)f(x)的零點x0∈(n，n＋1)，n∈N*，則n＝________. (1)B　(2)2 【解析】 (1)f(x)＝ ＝ 則f(x)的圖象如

4、圖． ∵y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個公共點， ∴y＝f(x)與y＝c的圖象恰有兩個公共點， 由圖象知c≤－2，或－11>loga2，b－3<1

5、決函數(shù)零點問題時，既要注意利用函數(shù)的圖象，也要注意根據(jù)函數(shù)的零點存在定理、函數(shù)的性質等進行相關的計算，把數(shù)與形緊密結合起來． 變式題：已知函數(shù)f(x)＝x2－alnx(a∈R)． (1)若函數(shù)f(x)在x＝2處的切線方程為y＝x＋b，求a，b的值； (2)討論方程f(x)＝0解的個數(shù)，并說明理由． 【解答】 (1)因為f′(x)＝x－(x>0)， 又f(x)在x＝2處的切線方程為y＝x＋b， 所以解得a＝2，b＝－2ln2. (2)當a＝0時，f(x)在定義域(0，＋∞)上恒大于0，此時方程無解． 當a<0時，f′(x)＝x－>0在(0，＋∞)上恒成立， 所以f(x)在定義域

6、(0，＋∞)上為增函數(shù)． 因為f(1)＝>0，f＝e－1<0，所以方程有唯一解． 當a>0時，f′(x)＝x－＝＝， 因為當x∈(0，)時，f′(x)<0，f(x)在(0，)內為減函數(shù)； 當x∈(，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)在(，＋∞)內為增函數(shù)． 所以當x＝時，有極小值，即最小值f()＝a－aln＝a(1－lna)， 當a∈(0，e)時，f()＝a (1－lna)>0，此方程無解； 當a＝e時，f()＝a(1－lna)＝0.此方程有唯一解x＝， 當a∈(e，＋∞)時，f()＝a(1－lna)<0， 因為f(1)＝>0且1<，所以方程f(x)＝0在區(qū)間(0，)上有唯一

7、解， 因為當x>1時，(x－lnx)′>0，所以x－lnx>1， 所以x>lnx，f(x)＝x2－alnx>x2－ax. 因為2a>>1，所以f(2a)>(2a)2－2a2＝0， 所以方程f(x)＝0在區(qū)間(，＋∞)上有唯一解． 所以方程f(x)＝0在區(qū)間(0，＋∞)上有兩解． 綜上所述：當a∈[0，e)時，方程無解；當a<0或a＝e時，方程有唯一解；當a>e時方程有兩解． 【點評】 含有參數(shù)的方程根的個數(shù)問題，需要重點研究三個方面的問題：一是函數(shù)的單調性；二是函數(shù)極值點的值的正負；三是區(qū)間端點的值的正負． 探究點二　二分法求方程的近似解 例2 用二分法求方程lnx＝在[1,

8、2]上的近似解，取中點c＝1.5，則下一個有根區(qū)間是________． 【分析】 只要計算三個點x＝1,1.5,2的函數(shù)值，然后根據(jù)函數(shù)零點的存在定理進行判斷即可． [1.5,2]　【解析】 令f(x)＝lnx－， f(1)＝－1<0，f(2)＝ln2－＝ln>ln1＝0，f(1.5)＝ln1.5－＝(ln1.53－2)； 因為1.53＝3.375，e2>4>1.53，故f(1.5)＝(ln1.53－2)<(lne2－2)＝0，f(1.5)·f(2)<0，所以下一個有根區(qū)間是[1.5,2]． 【點評】 用二分法求方程近似解時，每一次取中點后，下一個有根區(qū)間的判斷原則是：若中點函數(shù)

9、值為零，則這個中點就是方程的解，若中點函數(shù)值不等于零，則下一個有根區(qū)間是和這個中點函數(shù)值異號的區(qū)間．在用二分法求方程的近似解時，有時需要根據(jù)精確度確定近似解，如下面的變式． 變式題： 若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－2x－2的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法計算，其參考數(shù)據(jù)如下： f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260 f(1.4375)＝0.162 f(1.40625)＝－0.054 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一個近似根(精確到0.1)為(　　) A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5

10、 C　【解析】 由于f(1.40625)＝－0.054<0，f(1.4375)＝0.162>0，精確到0.1，所以函數(shù)的正數(shù)零點為x＝1.40625≈1.4，故選C. 探究點三　函數(shù)模型及其應用（含導數(shù)解決實際問題） 例3 [2011·湖南卷] 如圖3－1，長方體物體E在雨中沿面P(面積為S)的垂直方向作勻速移動，速度為v(v>0)，雨速沿E移動方向的分速度為c(c∈R)．E移動時單位時間內的淋雨量包括兩部分：(1)P或P的平行面(只有一個面淋雨)的淋雨量，假設其值與|v－c|×S成正比，比例系數(shù)為；(2)其他面的淋雨量之和，其值為.記y為E移動過程中的總淋雨量，當移動距離d＝1

11、00，面積S＝時， (1)寫出y的表達式； (2)設0

12、＝. 【點評】 本題考查函數(shù)建模、分段函數(shù)模擬的應用．解決函數(shù)建模問題，首要的問題是弄清楚實際問題的意義，其中變量是什么，求解目標是什么，為了表達求解目標需要解決什么問題，這些問題清楚了就可以把求解目標使用一個變量表達出來．在函數(shù)模型中，含有絕對值的函數(shù)本質上是分段函數(shù)，解決分段函數(shù)問題時，要先解決函數(shù)在各個段上的性質，然后把各段上的性質整合為函數(shù)在其整個定義域上的性質． 例4 [2011·山東卷] 某企業(yè)擬建造如圖3－2所示的容器(不計厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的容積為立方米，且l≥2r.假設該容器的建造費用僅與其表面積有關

13、．已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為c(c＞3)千元．設該容器的建造費用為y千元． (1)寫出y關于r的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域； (2)求該容器的建造費用最小時的r. 圖3－2 【解答】 (1)設容器的容積為V， 由題意知V＝πr2l＋πr3，又V＝， 故l＝＝－r＝. 由于l≥2r， 因此03，所以c－2>0，當r3－＝0時，r＝.

14、 令＝m，則m>0，所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)． ① 當0時，當r＝m時，y′＝0； 當r∈(0，m)時，y′<0；當r∈(m,2]時，y′>0. 所以r＝m是函數(shù)y的極小值點，也是最小值點． ②當m≥2即3時，建造費用最小時r＝. 規(guī)律技巧提煉 1．根據(jù)方程的解和函數(shù)零點的關系，可以把方程和函數(shù)聯(lián)系起來，通過函數(shù)的零點研究方程根的分布以及采用逐步縮小方程根所在區(qū)間的方法求方程的近似解(二分法)，但在實際中我

15、們一般是求方程解的個數(shù)、或者根據(jù)解的個數(shù)求方程中的字母參數(shù)的范圍，這時數(shù)形結合是基本的解題方法，即把方程分拆為一個等式，使兩端都是我們所熟悉的函數(shù)的解析式，然后構造兩個函數(shù)f(x)，g(x)，即把方程寫成f(x)＝g(x)的形式，這時方程根的個數(shù)就是兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)，可以根據(jù)圖象的變化趨勢找到方程中字母參數(shù)所滿足的各種關系． 2．二分法求方程的近似解的依據(jù)是函數(shù)的零點存在定理，當把方程的一個根鎖定在區(qū)間(a，b)上時，取區(qū)間的中點x＝，則下一個有根的區(qū)間就是根據(jù)函數(shù)的零點存在定理進行判斷的，即在f的符號與f(a)，f(b)的值異號的區(qū)間內． 3．函數(shù)模型是一種重要的數(shù)學模型，解決函數(shù)

16、建模的關鍵是找到一個影響求解目標的變量，使用這個變量把求解目標需要的量表達出來，這樣就建立起了函數(shù)模型，然后通過研究這個函數(shù)的性質(單調性、最值、特殊點的函數(shù)值)等，對實際問題作出解釋，其中研究函數(shù)的性質可以采用導數(shù)的方法．在解決實際應用問題的函數(shù)建模時，要注意根據(jù)問題的實際意義確定函數(shù)的定義域． 教師備用例題 備選理由：例1雖然難度不大，但很容易出錯，就是忽視了x＝6也是函數(shù)的零點，選此題的目的是考查學習思維的縝密性；例2考查綜合使用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖象分析問題的能力，以及綜合使用函數(shù)、不等式的知識解決問題的能力；例3是建立一個分段函數(shù)模型，這是高考中重點考查的一類函數(shù)建模，從2011

17、年高考情況看，函數(shù)的實際應用問題有成為命題熱點的趨勢，建議在二輪復習中加大函數(shù)建模和解模的訓練． 例1　[2011·山東卷] 已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當0≤x<2時，f(x)＝x3－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點的個數(shù)為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 【解析】 B　當0≤x<2時，f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以當0≤x<2時，f(x)與x軸交點的橫坐標為x1＝0，x2＝1.當2≤x<4時，0≤x－2<2，則f(x－2)＝(x－2)3－(x－2)，又周期為2，所以f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝(x－2)

18、(x－1)(x－3)，所以當2≤x<4時，f(x)與x軸交點的橫坐標為x3＝2，x4＝3；同理當4≤x≤6時，f(x)與x軸交點的橫坐標分別為x5＝4，x6＝5，x7＝6，所以共有7個交點． 例2　若a>1，設函數(shù)f(x)＝ax＋x－4的零點為m，g(x)＝logax＋x－4的零點為n，則＋的取值范圍是(　　) A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(4，＋∞) D. 【解析】 B　如圖所示，函數(shù)f(x)＝ax＋x－4的零點是函數(shù)y＝ax與函數(shù)y＝4－x圖象交點A的橫坐標，函數(shù)g(x)＝logax＋x－4的零點是函數(shù)y＝logax與函數(shù)y＝4－x圖象交點B的橫坐標，由于指數(shù)函數(shù)與

19、對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，其圖象關于直線y＝x對稱，直線y＝4－x與直線y＝x垂直，故直線y＝4－x與直線y＝x的交點為(2,2)，即是A，B的中點，所以m＋n＝4，所以＋＝(m＋n)＝≥1，當且僅當m＝n＝2時等號成立，此時只要a＝即可．故所求式子的取值范圍是[1，＋∞)． 例3　某商場預計2011年1月份起前x個月，顧客對某商品的需求總量p(x)(單位：件)與x的關系近似地滿足p(x)＝x(x＋1)·(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．該商品第x月的進貨單價q(x)(單位：元)與x的近似關系是q(x)＝ (1)寫出2011年第x月的需求量f(x)(單位：件)與x的函數(shù)關系式； (2

20、)該商品每件的售價為185元，若不計其他費用且每月都能滿足市場需求，試問商場2011年第幾月銷售該商品的月利潤最大，最大月利潤為多少元？ 【解答】 (1)當x＝1時，f(1)＝p(1)＝37，當2≤x≤12，且x∈N*時， f(x)＝p(x)－p(x－1)＝x(x＋1)(39－2x)－(x－1)x(41－2x)＝－3x2＋40x. 驗證x＝1符合，∴f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)． (2)該商場預計第x月銷售該商品的月利潤為 g(x)＝ 即g(x)＝ 當1≤x≤6，且x∈N*時，g′(x)＝18x2－370x＋1400， 令g′(x)＝0，解得x＝5或x＝(舍去)． 當1≤x<5時，g′(x)>0，當5