《考研輔導班第三講多元微積分學.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《考研輔導班第三講多元微積分學.ppt（67頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,多元微分學,第三講,一、 歷年試題分類統(tǒng)計及考點分布,二、考點綜述及主要解題方法與技巧,三、真題解析,一、 歷年試題分類統(tǒng)計及考點分布,(1)偏導數(shù)與全微分定義,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,(2)偏導數(shù)與全微分計算,二、考點綜述與主要解題方法與技巧,(3)極值與最值,(4)方向導數(shù)與梯度,()偏導數(shù)與全微分定義問題,(a)偏導數(shù)定義,(b)偏導數(shù)定義推廣,,,(c)全微分定義,全微分,可微,,是曲線,在點 M0 處的切線,對 x 軸的斜率.,在點M0 處的切線,斜率.,是曲線,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,對 y 軸的,(d)偏導數(shù)幾何

2、意義,連續(xù),可微,,(d)偏導數(shù),可微與連續(xù)的關系,,偏導數(shù)存在,,在點 (0,0) 可微 .,例1,在點 (0,0) 連續(xù)且偏導數(shù)存在,,續(xù),,,證: 1),因,故函數(shù)在點 (0, 0) 連續(xù) ;,但偏導數(shù)在點 (0,0) 不連,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,證明函數(shù),所以,,,,同理,,極限不存在 ,,在點(0,0)不連續(xù) ;,同理 ,,在點(0,0)也不連續(xù).,2),3),題目 目錄 上頁 下頁 返回 結束,,,4) 下面證明,可微 :,,說明: 此題表明, 偏導數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件.,令,則,題目 目錄 上頁 下頁 返回 結束,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,()偏導數(shù)與

3、全微分計算問題,復合函數(shù)求導,設函數(shù),例,函數(shù)f 具有二階,,連續(xù)偏導數(shù)，求,，其中,復合函數(shù)求導,設函數(shù),(11年考研真題9分),，其中函數(shù)f 具有二階,,連續(xù)偏導數(shù)，函數(shù)g(x)可導且在x=1處取得極值g(1)=1,求,復合函數(shù)求導,設函數(shù),(11年考研真題4分),,隱函數(shù)求導,設函數(shù),(10年考研真題4分),,由方程,確定，其中F為可微函數(shù)，且,隱函數(shù)求導,設函數(shù),練習,,由方程,確定，其中F有連續(xù)偏導數(shù)，,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,函數(shù)極值問題,、多元函數(shù)極值問題,,無條件極值,有條件極值,,顯函數(shù),隱函數(shù),,閉區(qū)域邊界上,閉區(qū)域上,,必要條件,充分條件,..無條件極值-顯函

4、數(shù),求函數(shù),(12年考研真題10分),的極值,思路解析：,() 典型的無條件極值顯函數(shù)問題先求駐點,時, 具有極值,(2)令,則: 1) 當,A<0 時取極大值;,A0 時取極小值.,2) 當,3) 當,時, 沒有極值.,時, 不能確定 , 需另行討論.,,,.2.無條件極值-隱函數(shù),設函數(shù),(年考研真題1分),是由,思路解析：,() 典型的無條件極值（隱函數(shù)）先用必要條件 求駐點,確定的函數(shù)，求,的極值點和極值,,(2) 用充分條件判別可疑點,已知曲線,(08年考研真題11分),求C上距離xoy面最,,思路解析：,() 典型的兩條件極值問題閉區(qū)域邊界上的最值，,近和最遠的點,用拉格朗日乘數(shù)法

5、,3..條件極值-閉區(qū)域邊界上的最值,為中心在原點的橢圓,求它的面積,思路解析：,分別是半長軸與半短軸,它們分別是橢圓上點到中,心的距離的最大值與最小值,練習. 已知平面曲線,,,用拉格朗日乘數(shù)法,的面積為S，三邊長分別為a,b,c,,思路解析：,從其內部的點P向三邊作三條垂線，，求使此三條垂線 乘積為最大的點P的位置.,條件：面積為S,練習. 已知,,用拉格朗日乘數(shù)法,.4.條件極值-閉區(qū)域上的最值,求函數(shù),(0年考研真題11分),在區(qū)域,思路解析：,() 典型的條件極值問題閉區(qū)域邊界內的最值，,上的最大最小值,內部點為駐點,邊界點用拉格朗日乘數(shù)法,,.方向導數(shù)與梯度問題,(a)方向導數(shù)定義

6、,,.方向導數(shù)與梯度問題,(a)方向導數(shù)定義（1）,,為平面直線,(a)方向導數(shù)定義式（2）,,為空間直線,(b)方向導數(shù)計算式（1）,對于二元函數(shù),為, ，的方向導數(shù)為,特別:, 當 l 與 x 軸同向, 當 l 與 x 軸反向,,向角,(b)方向導數(shù)計算式（2）,對于三元函數(shù),為, ,特別:, 當 l 與 x 軸同向, 當 l 與 x 軸反向,向角,的方向導數(shù)為,例1. 求函數(shù),在點 P(1, 1, 1) 沿向量,3) 的方向導數(shù) .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,,,例2. 求函數(shù),在點P(2, 3)沿曲線,朝 x 增大方向的方向導數(shù).,解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為,它在點 P

7、的切向量為,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,,例3. 設,是曲面,在點 P(1, 1, 1 )處,指向外側的法向量,,解:,方向余弦為,而,同理得,方向,的方向導數(shù).,在點P 處沿,求函數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,,,,,,方向導數(shù)公式,梯度,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,,(c)梯度定義,,梯度定義式,三元函數(shù) f (P) 在點 P 處的梯度,(gradient),,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,說明:,函數(shù)的方向導數(shù)為梯度在該方向上的投影.,二元函數(shù),在點,處的梯度,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,稱為函數(shù) f 的等值線 .,,,,,,（d)梯度的幾

8、何意義,,,,,,,,,,,,旋轉曲面,,,,結論1: 任意點梯度向量垂直于該點等值線（的切線）,為了更形象地理解梯度的特征,,不妨將函數(shù),z = f (x, y)的圖形想象為一座山,,如果你向梯度方向爬山,,總是沿著梯度垂直的方向走,,那么你一定上不了山,,因為在這種情況下你總是在一,(如圖).,如果你,最陡, 最費力;,,條等高線上走.,,,,討論規(guī)劃最優(yōu)解問題,,,梯度方向與函數(shù)值變化的關系.,最優(yōu)解（1，4）,（梯度方向是函數(shù)值增大最快的方向.）,,,,,,,,,,,,,,,,方向導數(shù),驗證：,梯度方向是函數(shù)值增大最快的方向.,,,,,,,方向,,驗證：,這說明,.,,梯度方向是函數(shù)值

9、增大最快的方向.,,f 變化率最大即梯度方向是函數(shù)值增大最快的方向.,l與梯度方向重合時,,,,2.,,f 變化率為零即沿等值線方向，函數(shù)值不變,l與梯度方向垂直時,,,,.,f 變化率最小即沿梯度相反方向，是函數(shù)值減少最快.,l與梯度方向相反時,,,,,,討論函數(shù)變化率的最值問題,,,,梯度與方向導數(shù)的關系,例：,（）問在點(1, )處，沿什么方向電壓升高最快?其速率為多少?,,設一金屬板上電壓的分布函數(shù)為,（）問在點(1, )處，沿什么方向電壓下降最快?其速率為多少?,（）問在點(1, )處，沿什么方向電壓變化最慢？,f. 關系,方向導數(shù)存在,,偏導數(shù)存在,, 可微,,求,(年考研真題分)

10、,,思路解析：,() 考察梯度定義與計算,求,(年考研真題分),,思路解析：,() 考察梯度定義與計算,在點（，）的梯度,設函數(shù),(年考研真題分),,思路解析：,() 考察方向導數(shù)定義與計算,單位向量,則,（）,指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向導數(shù)是 .,在點A( 1 , 0 , 1) 處沿點A,函數(shù),提示:,則,,,(96考研真題),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,,,函數(shù),在點,處的梯度,,解:,則,注意 x , y , z 具有輪換對稱性,,(92年考研真題),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,,設有一小山，取它的底面為xoy坐標面，其底部所占,(年考研真題分),的區(qū)域為,小山的高度函數(shù)為,（）設,為區(qū)域D上的一個點，問,在該點沿平面上什么方向的方向導數(shù)最大？,若記此方向導數(shù)的最大值為,試寫出,的表達式,（）現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動，為此需要在山腳,一上山坡度最大的點作為攀登的起點，也就是,在D的邊界曲線上尋找出（）中,達到最大,值的點，試確定攀登起點的位置,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,積分對稱性,、積分對稱性問題,,定積分,曲線積分,二重函數(shù),,三重積分,曲面積分,,對弧長,對坐標,對面積,對坐標,