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1、追本溯源：探索幾何學(xué)設(shè)計(jì) 幾何學(xué)是一門研究形的科學(xué)，以人的視覺思維為主導(dǎo)，培養(yǎng)人的觀察能力、空間 想象能力和洞察力。它本是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)分支，與設(shè)計(jì)看似沒有什么交集。本 文將會(huì)從理性的角度，剖析設(shè)計(jì)背后的幾何原理，用平實(shí)的語言表達(dá)晦澀難懂的 數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)闡釋設(shè)計(jì)。 蜜蜂被譽(yù)為動(dòng)物界最勤勞的物種，殊不知，它們也是這世上最懂得“偷懶”的 動(dòng)物。四世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家佩波斯提出，人們所見到的、截面呈六邊形的蜂窩， 是蜜蜂采用最少量的蜂蠟建造成的。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)發(fā)展還很落后，這一猜想1600 年以來，無人能證明。 直到20世紀(jì)末，美國數(shù)學(xué)家哈勒斯在考慮了每一個(gè)蜂窩周邊是曲線時(shí)，無論 是曲線向外突，還是向

2、內(nèi)凹，都證明了由許多正六邊形組成的圖形周長(zhǎng)最小。周 長(zhǎng)最小，意味著筑巢時(shí)采用的蜂蠟也最少。這個(gè)證明被他放在了互聯(lián)網(wǎng)上，證明 過程有19頁之長(zhǎng)，直到2022年，他對(duì)證明又進(jìn)行了補(bǔ)充使之完善。 此后，蜂窩猜想變成了蜂窩定理：以同等面積的圖形對(duì)一個(gè)平面進(jìn)行分隔，周 長(zhǎng)為最小的幾何形狀是蜂窩狀的正六邊形。而蜜蜂筑巢的這一行為，也被譽(yù)為“最 有效勞動(dòng)的代表”。 藝術(shù)細(xì)菌一一粘液菌 我們都知道，兩點(diǎn)之間，線段最短，但如果很多點(diǎn)呢？怎樣連接才是最有效率 的做法？這就引出了我們第二位主角一一粘液菌。這里稱它為細(xì)菌不是很嚴(yán)謹(jǐn)， 它是一種有機(jī)生命體，一些特征與真菌類似，其他特征與原生生物類似。它們沒 有大腦

3、，在腐爛的木頭、濕地上蔓延，攝取細(xì)菌和腐爛的蔬菜。（敲黑板！）沒 有大腦意味著什么，意味著它們不能思考，所有行為僅受本能支配，科研者卻對(duì) 這種無腦生物產(chǎn)生了濃厚的興趣。 研究者拿粘液菌做了一個(gè)實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)中，他們將粘液菌最喜歡的食物一一燕麥 片放置于瓊脂板上，并標(biāo)明東京周圍各個(gè)城市節(jié)點(diǎn)，在東京這個(gè)節(jié)點(diǎn)上注入粘液 菌。然后觀察它們的擴(kuò)散方式。 可以看到，實(shí)驗(yàn)開始后，群菌開始向四周蔓延開來，8小時(shí)后，形成了許許多 多的脈絡(luò)，這是它們輸送營(yíng)養(yǎng)的管道。隨著實(shí)驗(yàn)的進(jìn)行，大部分的脈絡(luò)開始退化 消失，只留下幾條清晰的管道。最后，它們連接了所有節(jié)點(diǎn)，只留下最清晰有效 的線路。 實(shí)驗(yàn)結(jié)果人們發(fā)現(xiàn)，這些脈絡(luò)和

4、東京現(xiàn)今的城市交通規(guī)劃有很多相似之處，有 些甚至要更合理。 這些菌群沒有大腦，但它們?yōu)榱松?，只能尋找路途最短的管道為母體輸送營(yíng) 養(yǎng)。正是這種求生的本能，給我們的交通規(guī)劃者們帶來了巨大靈感。在設(shè)計(jì)城市 公路時(shí)，優(yōu)先需要考慮的是主干道的效率，這個(gè)道路越短意味著效率也最高。在 這一方面，人類和細(xì)菌達(dá)成了共識(shí)，我們都在尋找效率最高的設(shè)計(jì)方案。如果我 們?cè)谠O(shè)計(jì)之初，考慮了讓粘液菌也參與進(jìn)來，會(huì)不會(huì)比現(xiàn)在的設(shè)計(jì)規(guī)劃更便捷、 更有效率。 說起黑膠，很多人并不感到陌生。熱衷于模擬錄音的音樂發(fā)燒友，收藏黑膠是 他們表達(dá)對(duì)音樂熱愛的一種“奢侈”的方式。黑膠相比于現(xiàn)代的CD，有著不可 替代的優(yōu)勢(shì)一一漂亮的唱盤

5、、高貴的唱片機(jī)以及所傳達(dá)出的獨(dú)特的情感。 想要了解黑膠藝術(shù)，僅靠聽是不夠的，它背后的發(fā)聲原理同樣值得我們?nèi)ヒ惶?究竟。 唱片表面有著一圈圈細(xì)致的拉絲工藝，這可不僅僅是為了美觀。放大看，其實(shí) 是呈螺旋線狀的聲槽，音頻信號(hào)就記錄在這里。聲槽由外到內(nèi)有四個(gè)部分組成， 順序?yàn)椋簩?dǎo)入槽、聲槽、過度槽、導(dǎo)出槽和終止槽。唱針由導(dǎo)入槽引入聲槽，樂 段之間有若干秒的無聲的過度槽，過度槽螺距也較寬，用肉眼可以分辯。聲槽的 末端與導(dǎo)出槽相接，樂曲結(jié)束后唱針由導(dǎo)出槽引至終止槽。最后終止槽是一個(gè)閉 環(huán)設(shè)計(jì)，它可以讓唱針停留原地。 這一過程過程中，聲音依靠唱針讀?。茨ゲ粒┏P的溝痕兩側(cè)，通過磨擦所 產(chǎn)生的震動(dòng)借由

6、針桿傳回唱頭，繼而產(chǎn)生磁電轉(zhuǎn)換輸出電流；再將這些電流轉(zhuǎn)換 成電壓形式，輸入到前級(jí)，再經(jīng)過等化線路還原，繼續(xù)進(jìn)入信號(hào)放大部分，最后 經(jīng)由喇叭播放出音樂。 這里我們可以思考一個(gè)簡(jiǎn)單的問題，為什么傳統(tǒng)意義上的黑膠唱片通常采用圓 盤的設(shè)計(jì)？ 相同運(yùn)動(dòng)軌跡直徑內(nèi)，圓的面積最大，存儲(chǔ)信息量最大 圓在靜止和工作時(shí)面積相同，不占空間 同心圓設(shè)計(jì)，便于旋轉(zhuǎn)和拿取 永不松動(dòng)的螺母 中國的高鐵取得了令世界刮目相看的成績(jī)，然而，小小的螺母卻不得不采用進(jìn) 口的。因?yàn)楦哞F運(yùn)營(yíng)時(shí)，高速行駛的列車和鐵軌不斷接觸，形成的震動(dòng)非常大， 一般的螺絲在這種震動(dòng)中會(huì)被震松震飛，導(dǎo)致嚴(yán)重的交通事故。不想被震飛，就 需要螺絲和

7、螺母嚴(yán)絲合縫、永不松動(dòng)才行。 這個(gè)要求看起來很簡(jiǎn)單，但是要滿足它并不容易。大家想，世界上做螺絲螺母 的企業(yè)可以說是多如牛毛，但是能生產(chǎn)這種永不松動(dòng)螺母的企業(yè)有幾家呢？只有 一家，來自日本的哈德洛克工業(yè)株式會(huì)社。 讓我們挖掘一下它的設(shè)計(jì)思路。原理很簡(jiǎn)單，在螺絲和螺母之間，打入一個(gè)梯 形的楔子，可以起到牢固的效果。如果將螺母一分為二，再把其中一個(gè)螺母當(dāng)作 楔子使用，就可以起到加固作用。 順著思路，繼續(xù)往下。左邊是一分為二的螺母，上方我們叫凹螺母，采用了一 個(gè)同心圓的設(shè)計(jì)，對(duì)應(yīng)左圖藍(lán)色的部分。而下方我們叫它凸螺母，它采用了偏心 圓的設(shè)計(jì)，對(duì)應(yīng)左圖紅色的部分?？梢钥吹?，紅色圓環(huán)的內(nèi)外圓心并不在一

8、條直 線上。當(dāng)我們把兩個(gè)螺母擰到一起，也就是兩個(gè)圓環(huán)重疊時(shí)，勢(shì)必會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)位。 而螺母想要擰緊，就必須克服這種錯(cuò)位帶來的巨大阻力。這種阻力，就是它永不 松動(dòng)的原因。 可能這樣說還不夠直觀，我們把它們的關(guān)系想象成紅酒瓶和軟木塞，尺寸匹配 的軟木塞可以剛好打進(jìn)瓶口里，并且輕松地拔出來。如果換成更大尺寸的軟木塞 （相當(dāng)于錯(cuò)位的螺母），就需要用更大的力氣才能打進(jìn)去，一旦打進(jìn)去，再想拔 出來也同樣需要很大的力量。這種阻力帶來的自緊力讓它們彼此間很難松動(dòng)，這 就是幾何的力量。 有的人可能會(huì)有疑惑，人家把這種螺母的原理和結(jié)構(gòu)都明白地告訴你了，為什 么還說能夠生產(chǎn)這種螺母的只此一家。因?yàn)閷?shí)際的生產(chǎn)還需要特殊

9、的經(jīng)驗(yàn)和技 術(shù)。沒有千萬次試錯(cuò)的精神，就是琢磨透了原理，也無法仿制出同樣的螺母。日 本的很多企業(yè)都有這種怎樣學(xué)也學(xué)不會(huì)的獨(dú)一無二的技術(shù)。 斐波那契與兔子數(shù)列 討論幾何學(xué)設(shè)計(jì)，一定會(huì)提到的人就是斐波那契。這位意大利數(shù)學(xué)家提出過這 樣一道有趣的數(shù)學(xué)題： 問：兔子在出生兩個(gè)月后，就具備繁殖能力，一對(duì)兔子每個(gè)月能生出一對(duì)小兔 子。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少對(duì)兔子？ 起初，我們擁有一對(duì)兔子。 過了一個(gè)月，這對(duì)兔子還不具備繁殖能力，所以還是一對(duì)。 又過了一個(gè)月，這對(duì)兔子生了一對(duì)小兔子，現(xiàn)在有兩對(duì)。 再過去一個(gè)月，老兔子繼續(xù)生小兔子，而小兔子還不具備繁殖能力，所以有3 對(duì)。

10、 以此類推。 一年后，我們一共有了 233對(duì)兔子 我們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)數(shù)列有一個(gè)共同的規(guī)律，兩項(xiàng)之和可以得到后一項(xiàng)，這對(duì)任何 一項(xiàng)都是成立的。最后，在數(shù)列最前面補(bǔ)一個(gè)0。 我們就得到了這樣的一個(gè)數(shù)列，這個(gè)數(shù)列被稱作斐波那契數(shù)列也叫黃金數(shù)列。 大家可能都想到了黃金分割比、黃金螺旋線。那他們是如何產(chǎn)生聯(lián)系的？讓我們 繼續(xù)往下看。 取數(shù)列的末兩位，求144和233的比值，我們得到的結(jié)果是0.618025751 隨著斐波那契數(shù)列項(xiàng)數(shù)的增加，前一項(xiàng)與后一項(xiàng)之比將越來越逼近黃金分割比 (6)，這也是為什么這個(gè)數(shù)列被稱為黃金數(shù)列的原因。 在數(shù)學(xué)中，黃金分割比（6）^0.6180339887498948

11、48204586834 它是一個(gè)小數(shù)點(diǎn)后無限不循環(huán)的無理數(shù) 如果我們把這一個(gè)個(gè)數(shù)，用正方形代替，會(huì)得到這樣一個(gè)幾何圖形。當(dāng)我們以 正方形的邊長(zhǎng)為半徑畫圓，便會(huì)得出這條著名的黃金螺旋線。 這條線不是玄學(xué)，大家可能都知道，自然界很多生物上都能找到這根螺旋線， 比如鸚鵡螺、向日葵等等，但未必很了解它們?yōu)槭裁磿?huì)長(zhǎng)成這樣。 斐波那契與向日葵 植物懂得斐波那契嗎？應(yīng)該并非如此，它們只是按照自然的規(guī)律才進(jìn)化成這 樣。人們發(fā)現(xiàn)向日葵會(huì)按照斐波那契弧線去排列種子。這似乎是植物排列種子的 “最優(yōu)化方式”。它能使所有種子具有差不多的大小卻又疏密得當(dāng)，不至于在圓 心處擠了太多的種子而在圓周處卻又稀稀拉拉。但

12、這個(gè)猜測(cè)，數(shù)學(xué)不能證明。 當(dāng)然，數(shù)學(xué)無法解開的問題，交給計(jì)算機(jī)去做就好啦。 這是計(jì)算機(jī)模擬向日葵的仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)中，我們把發(fā)散角設(shè)置為圓的黃金分 割比（6）,使它的排列方式呈現(xiàn)斐波那契螺旋線。而這里的每一個(gè)點(diǎn)代表了向 日葵等大的果實(shí)（瓜子）。 大家可以看到，這里的每一個(gè)點(diǎn)代表了向日葵等大的果實(shí)，我們從這種排列方 式中，很容易找出一條條的螺旋線。有心的同學(xué)可以數(shù)一下，紅色順時(shí)針的螺旋 線，一共出現(xiàn)了21條，逆時(shí)針的螺旋線，一共出現(xiàn)了34條。完美契合了斐波那 契數(shù)列的第九位和第十位。 當(dāng)我們把發(fā)散角放大或是縮小一點(diǎn)點(diǎn)，圓點(diǎn)間都會(huì)出現(xiàn)間隙，從而導(dǎo)致不能最 大程度利用空間。這個(gè)實(shí)驗(yàn)向我們證明了

13、，以斐波那契弧線排列的向日葵種子， 是它們最有效利用空間的方式。 自然界懂得運(yùn)用螺旋線的植物還有很多，向日葵只是其中之一，這里不再 列舉。 黃金分割騙局 黃金分割比（6）的價(jià)值在許多地方得到了證實(shí)，他像神話一樣屹立在美學(xué)神 壇上。但它真的適用于所有的場(chǎng)合嗎，我們說也不完全是的。 早在03年，索尼就已經(jīng)推出了 16:9的顯像管電視，當(dāng)時(shí)售價(jià)達(dá)到一萬元。隨 后市場(chǎng)上涌現(xiàn)出一批16:9, 16:10的顯示屏，與此同時(shí)，商家打著更符合黃金比 例、更符合人體工程學(xué)設(shè)計(jì)的廣告，大肆宣傳寬屏的好處，逐漸淘汰了 4:3的屏 幕。 問題來了，既然16:10比16:9更接近黃金分割比（6），為什么沒有成

14、為主 流？ 想要解釋這個(gè)問題，需要我們先解一道數(shù)學(xué)題。 這里有兩塊同樣15英寸的屏幕，一塊16:9, 一塊16:10,這兩塊屏幕等大嗎? 是否等大我說了不算，得數(shù)據(jù)說了算。 我們可以通過測(cè)量或是勾股定理，得出他們的長(zhǎng)寬。左邊的屏幕長(zhǎng)13英寸， 寬7.3英寸。而右邊的屏幕長(zhǎng)12.7英寸，寬7.9英寸。知道了長(zhǎng)寬，就可以求 他們的面積。左邊藍(lán)色的屏幕我們得到的面積是96平方英寸，右邊紅色的屏幕 我們得到的面積是101平方英寸。 大家可以看到，同樣“尺寸”的電視，16:9比16:10足足少了 5%的有效面積， 對(duì)于液晶電視剛起步時(shí)，這5%的成本節(jié)省讓商家嘗到了甜頭。越來越多的商家 愿意推出

15、16:9的電視，市場(chǎng)也接納了這種“性價(jià)比”更高的比例。隨著越來越 多的電影、節(jié)目源采用16:9的比例，直到最后國際組織統(tǒng)一了節(jié)目源，讓16:10 的屏幕慢慢被推向了市場(chǎng)的邊緣。但仍然存在一些良心商家在堅(jiān)持這個(gè)完美比 例，比方說蘋果推出的macbook，它的屏幕是標(biāo)準(zhǔn)的16:10。 到這里，大家可以理解了，幾何和我們身邊的設(shè)計(jì)息息相關(guān)，幾何的應(yīng)用不僅 在于自然界和工業(yè)社會(huì)，在我們平面領(lǐng)域，也有很多經(jīng)典的用例。 那些LOGO中你不知道的小秘密 百事可樂的標(biāo)識(shí)經(jīng)常被拿來當(dāng)作幾何學(xué)設(shè)計(jì)的經(jīng)典案例，與之類似的還有被神 話的蘋果logo，豐田的車標(biāo)，它們都“嚴(yán)格”遵循了尺規(guī)或幾何的邏輯去設(shè)計(jì)， 但事

16、實(shí)是否真的如此。 LOGO中的每一筆線條看似都有了合理的解釋，但我們?nèi)匀话l(fā)現(xiàn)有這樣紅色的 一筆在它的VI體系中沒有做出過任何說明。 這是一條曲率奇特的曲線，有可能經(jīng)過復(fù)雜的測(cè)量，也可能只是設(shè)計(jì)師“任性” 的一筆。它到底為什么會(huì)長(zhǎng)成這樣我們無從知曉，但這一筆，造就了這個(gè)LOGO 與眾不同。 這是保羅?蘭德為喬布斯設(shè)計(jì)的NeXT。當(dāng)時(shí)喬布斯告訴他，其下一臺(tái)電腦將 會(huì)是一個(gè)完美至極的“四方體”。因此，保羅依他的要求打造了這樣一個(gè)完美的 “四方體”。 乍一看好像沒毛病，的確是一個(gè)四四方方的立方體。然而通常情況下，一個(gè)完 美的正方體在這種傾斜的視角下，正方形表面受到拉伸，直角勢(shì)必會(huì)變成鈍角和

17、銳角。 然而保羅設(shè)計(jì)的NeXT立方體，上方的面竟然是成90°的正方形。事實(shí)上保羅 設(shè)計(jì)的立方體并不是一個(gè)完美的“正立方體”。當(dāng)然，這并沒有影響喬布斯為保 羅的設(shè)計(jì)買單。 與之類似的還有Google圖標(biāo)G中隱藏的小秘密。我們以為眼睛已經(jīng)看透了， 其實(shí)仍然存在我們不知道的小細(xì)節(jié)?？梢钥吹剑瑘D中藍(lán)色部分和紅色部分的收尾 處，都違背了原本的幾何走勢(shì)。這可能是為了平衡G字右側(cè)的拐點(diǎn)易造成視覺“偏 斜”的缺陷，也可能是其他的原因打破了平衡。但恰恰是這靈動(dòng)的一筆，鑄造了 優(yōu)秀的設(shè)計(jì)。 設(shè)計(jì)需要理性，但終歸是感性的。 設(shè)計(jì)不是數(shù)學(xué)，不是所有的作品都可以用尺規(guī)去創(chuàng)作。正是這些無法解釋的點(diǎn) 睛之筆，讓設(shè)計(jì)

18、這件事充滿了神秘的色彩和魅力，給作品賦予了獨(dú)一無二的價(jià)值。 但即使如此，我們還是樂意用一些幾何圖形去輔助創(chuàng)作，這也是人的一種本能。 人生來尋找意義，設(shè)計(jì)也是如此 我們會(huì)給自己的作品加上圓圈和虛線、用一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)概念去解釋我們的設(shè) 計(jì)，即使我們對(duì)數(shù)學(xué)還不夠了解。 對(duì)于身邊很多約定俗成的幾何體，我們可能從沒有在意過。類似蜂窩、雪花晶 體、六邊形螺母這些在意識(shí)中習(xí)以為常的物體，我們不會(huì)去探究它為什么會(huì)是這 樣。但當(dāng)我們?nèi)ネ诰驇缀伪澈蟮囊饬x，會(huì)發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)不僅僅是我們看的外表。在優(yōu) 秀的設(shè)計(jì)背后，還有很多我們不曾注意的原理和邏輯。 以上這些是我以一個(gè)理科生的視角，看到的設(shè)計(jì)的原貌，以及一些自以為是的 理解，分享給大家，謝謝大家。