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2020版高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.1.1 橢圓及其標準方程課件 新人教B版選修1 -1.ppt

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1、2.1.1橢圓及其標準方程,第二章 2.1橢圓,,,學習目標,XUEXIMUBIAO,1.了解橢圓的實際背景,經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程、橢圓標準方程的推導與化簡過程. 2.掌握橢圓的定義、標準方程及幾何圖形.,,NEIRONGSUOYIN,內(nèi)容索引,自主學習,題型探究,達標檢測,1,自主學習,PART ONE,知識點一橢圓的定義 平面內(nèi)與兩個定點F1,F(xiàn)2的距離之和等于 的點的軌跡叫做橢圓,這兩個 F1,F(xiàn)2叫做橢圓的焦點, |F1F2|叫做橢圓的焦距.,定長(大于|F1F2|),定點,兩焦點的距離,知識點二橢圓的標準方程,F1(c,0),F(xiàn)2(c,0),

2、F1(0,c),F(xiàn)2(0,c),c2a2b2,1.平面內(nèi)與兩定點F1,F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓.() 2.橢圓上一點P與兩焦點F1,F(xiàn)2構(gòu)成PF1F2的周長為定值.() 3.已知長、短軸長,橢圓的標準方程有兩個,因為焦點在不同的坐標軸上,其標準方程不同.(),,思考辨析 判斷正誤,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,,,,2,題型探究,PART TWO,,題型一橢圓定義的應(yīng)用,例1點P(3,0)是圓C:x2y26x550內(nèi)一定點,動圓M與已知圓相內(nèi)切且過P點,判斷圓心M的軌跡.,解方程x2y26x550化成標準形式為(x3)2y264,圓心為(3,0),半徑r8.

3、因為動圓M與已知圓相內(nèi)切且過P點,所以|MC||MP|r8,根據(jù)橢圓的定義,動點M到兩定點C,P的距離之和為定值86|CP|, 所以動點M的軌跡是橢圓.,反思感悟橢圓是在平面內(nèi)定義的,所以“平面內(nèi)”這一條件不能忽視. 定義中到兩定點的距離之和是常數(shù),而不能是變量. 常數(shù)(2a)必須大于兩定點間的距離,否則軌跡不是橢圓,這是判斷曲線是否為橢圓的限制條件.,解析 <2,故點P的軌跡不存在; 因為|PF1||PF2||F1F2|4,所以點P的軌跡是線段F1F2; 到定點F1(3,0),F(xiàn)2(3,0)的距離相等的點的軌跡是線段F1F2的垂直平分線(y軸).,跟蹤訓練1下列命題是真命題的是___.(將所

4、有真命題的序號都填上) 已知定點F1(1,0),F(xiàn)2(1,0),則滿足|PF1||PF2| 的點P的軌跡為橢圓; 已知定點F1(2,0),F(xiàn)2(2,0),則滿足|PF1||PF2|4的點P的軌跡為線段; 到定點F1(3,0),F(xiàn)2(3,0)的距離相等的點的軌跡為橢圓.,,,題型二求橢圓的標準方程,例2求適合下列條件的橢圓的標準方程. (1)焦點在y軸上,且經(jīng)過兩個點(0,2)和(1,0);,解因為橢圓的焦點在y軸上,,又橢圓經(jīng)過點(0,2)和(1,0),,(2)兩個焦點的坐標分別是(0,2),(0,2),并且橢圓經(jīng)過點;,解因為橢圓的焦點在y軸上,,又c2,所以b2a2c26,,由ab0,知

5、不合題意,故舍去;,方法二設(shè)橢圓的方程為mx2ny21(m0,n0,mn).,所以所求橢圓的方程為5x24y21,,反思感悟求橢圓標準方程的方法 (1)定義法:根據(jù)橢圓定義,確定a2,b2的值,結(jié)合焦點位置寫出橢圓方程. (2)待定系數(shù)法:先判斷焦點位置,設(shè)出標準方程形式,最后由條件確定待定系數(shù)即可.即“先定位,后定量”. 當所求橢圓的焦點位置不能確定時,應(yīng)按焦點在x軸上和焦點在y軸上進行分類討論,但要注意ab0這一條件. (3)當已知橢圓經(jīng)過兩點,求橢圓的標準方程時,把橢圓的方程設(shè)成mx2ny21(m0,n0且mn)的形式有兩個優(yōu)點:列出的方程組中分母不含字母;不用討論焦點所在的位置,從而簡

6、化求解過程.,跟蹤訓練2求適合下列條件的橢圓的標準方程. (1)橢圓的兩個焦點坐標分別為F1(4,0),F(xiàn)2(4,0),橢圓上一點P到兩焦點的距離之和等于10;,則2a10,c4,故b2a2c29,,(2)橢圓過點(3,2),(5,1);,解設(shè)橢圓的一般方程為Ax2By21(A0,B0,AB),,(3)橢圓的焦點在x軸上,且經(jīng)過點(2,0)和點(0,1).,,題型三橢圓中焦點三角形問題,例3(1)已知P是橢圓 上的一點,F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點,且F1PF230,求F1PF2的面積;,解由橢圓的標準方程,知a ,b2,,在F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2

7、|22|PF1||PF2|cosF1PF2, 即4(|PF1||PF2|)22|PF1||PF2|2|PF1||PF2|cos 30,,(2)已知橢圓 的焦點為F1,F(xiàn)2,點P在橢圓上.若|PF1|4,求F1PF2的大小.,|PF2|2a|PF1|2,,又0F1PF2180, F1PF2120.,反思感悟在橢圓中,當橢圓上的點不是橢圓與焦點所在軸的交點時,這個點與橢圓的兩個焦點可以構(gòu)成一個三角形,這個三角形就是焦點三角形.這個三角形中一條邊長等于焦距,另兩條邊長之和等于橢圓定義中的常數(shù). 在處理橢圓中的焦點三角形問題時,可結(jié)合橢圓的定義|MF1||MF2|2a及三角形中的有關(guān)定理和公式(

8、如正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等)來求解.,,跟蹤訓練3已知兩定點F1(1,0),F(xiàn)2(1,0),動點P滿足|PF1||PF2|2|F1F2|. (1)求點P的軌跡方程;,解依題意知|F1F2|2, |PF1||PF2|2|F1F2|42|F1F2|, 點P的軌跡是以F1,F(xiàn)2為焦點的橢圓,,(2)若F1PF260,求PF1F2的面積.,解設(shè)m|PF1|,n|PF2|,則mn2a4. 在PF1F2中,由余弦定理,得 |F1F2|2m2n22mncosF1PF2, 4(mn)22mn(1cos 60),解得mn4.,,核心素養(yǎng)之數(shù)學運算,HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUA

9、N,待定系數(shù)法求橢圓的標準方程,則a2b0矛盾,舍去.,方法二設(shè)橢圓的一般方程為Ax2By21(A0,B0,AB).,素養(yǎng)評析通過兩種解法的對比,采用第二種設(shè)橢圓方程的方法能優(yōu)化解題過程,減少數(shù)學運算,提高解題效率.這也正是數(shù)學運算策略升級的有力佐證.,3,達標檢測,PART THREE,,1.已知F1,F(xiàn)2是定點,|F1F2|8,動點M滿足|MF1||MF2|8,則動點M的軌跡是 A.橢圓 B.直線 C.圓 D.線段,,1,2,3,4,5,解析|MF1||MF2|8|F1F2|, 點M的軌跡是線段F1F2.,,1,2,3,4,5,2.橢圓4x29y21的焦點坐標是,,,1,2,3,4,5,解析焦點在y軸上,cos sin ,,,,1,2,3,4,5,25,解析由橢圓的定義知,372a,得a5,則ma225.,,解設(shè)橢圓的標準方程為mx2ny21(m0,n0且mn),,1,2,3,4,5,,課堂小結(jié),KETANGXIAOJIE,1.平面內(nèi)到兩定點F1,F(xiàn)2的距離之和為常數(shù),即|MF1||MF2|2a,當2a|F1F2|時,軌跡是橢圓;當2a|F1F2|時,軌跡是線段F1F2;當2a0,B0,AB)求解,避免了分類討論,達到了簡化運算的目的.,

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