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1、1第 11 講 反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)一、一、知識(shí)清單梳理知識(shí)清單梳理知識(shí)點(diǎn)一:反比例函數(shù)的概念及其圖象、性質(zhì) 關(guān)鍵點(diǎn)撥與對(duì)應(yīng)舉例1.反比例函數(shù)的概念(1)定義:形如 y(k0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù),k 叫做比例系數(shù),kx自變量的取值范圍是非零的一切實(shí)數(shù)(2)形式:反比例函數(shù)有以下三種基本形式:y;y=kx-1;xy=k.(其中 k 為常數(shù),且 k0)kx例:函數(shù) y=3xm+1,當(dāng) m=2 時(shí),則該函數(shù)是反比例函數(shù)k 的符號(hào)圖象經(jīng)過象限y 隨 x 變化的情況k0圖象經(jīng)過第一、三象限(x、y 同號(hào))每個(gè)象限內(nèi),函數(shù) y 的值隨 x 的增大而減小.2.反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)k0圖象經(jīng)過第二、四象

2、限(x、y 異號(hào))每個(gè)象限內(nèi),函數(shù) y 的值隨 x 的增大而增大.(1)判斷點(diǎn)是否在反比例函數(shù)圖象上的方法:把點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)代入看是否滿足其解析式;把點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相乘,判斷其乘積是否等于 k.失分點(diǎn)警示(2)反比例函數(shù)值大小的比較時(shí),首先要判斷自變量的取值是否同號(hào),即是否在同一個(gè)象限內(nèi),若不在則不能運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行比較,可以畫出草圖,直觀地判斷.3.反比例函數(shù)的圖象特征(1)由兩條曲線組成,叫做雙曲線;(2)圖象的兩個(gè)分支都無限接近 x 軸和 y 軸,但都不會(huì)與 x 軸和 y 軸相交;(3)圖象是中心對(duì)稱圖形,原點(diǎn)為對(duì)稱中心;也是軸對(duì)稱圖形,2 條對(duì)稱軸分別是平面直角坐標(biāo)系一、三象限和二、四象限

3、的角平分線例:若(a,b)在反比例函數(shù)kyx的圖象上,則(a,b)在該函數(shù)圖象上.(填“在、不在)4.待定系數(shù)法只需要知道雙曲線上任意一點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)函數(shù)解析式,代入求出反比例函數(shù)系數(shù) k 即可.例:已知反比例函數(shù)圖象過點(diǎn)(3,1),則它的解析式是y=3/x.知識(shí)點(diǎn)二 :反比例系數(shù)的幾何意義及與一次函數(shù)的綜合5.系數(shù) k 的幾何意義(1)意義:從反比例函數(shù) y(k0)圖象上任意一點(diǎn)向 x 軸和 y 軸作kx垂線,垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為|k|,以該點(diǎn)、一個(gè)垂足和原點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為 1/2|k|.(2)常見的面積類型:圖見學(xué)練優(yōu) RJ 九數(shù)上前面四頁“方法、易錯(cuò)”的此內(nèi)容下的圖片失分點(diǎn)

4、警示已知相關(guān)面積,求反比例函數(shù)的表達(dá)式,注意若函數(shù)圖象在第二、四象限,則 k0.例:已知反比例函數(shù)圖象上任一點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線所圍成矩形為3,則該反比例函數(shù)解析式為:3yx或3yx.26.與一次函數(shù)的綜合(1)確定交點(diǎn)坐標(biāo):【方法一】已知一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b),則根據(jù)中心對(duì)稱性,可得另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(-a,-b).【方法二】聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式,利用方程思想求解.(2)確定函數(shù)解析式:利用待定系數(shù)法,先確定交點(diǎn)坐標(biāo),再分別代入兩個(gè)函數(shù)解析式中求解(3)在同一坐標(biāo)系中判斷函數(shù)圖象:充分利用函數(shù)圖象與各字母系數(shù)的關(guān)系,可采用假設(shè)法,分 k0 和 k0 兩種情況討論,看哪個(gè)選項(xiàng)符合要求即可.也可逐一選項(xiàng)判斷、排除.(4)比較函數(shù)值的大小:主要通過觀察圖象,圖象在上方的值大,圖象在下方的值小,結(jié)合交點(diǎn)坐標(biāo),確定出解集的范圍.涉及與面積有關(guān)的問題時(shí),要善于把點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為圖形的邊長,對(duì)于不好直接求的面積往往可分割轉(zhuǎn)化為較好求的三角形面積;也要注意系數(shù) k的幾何意義.例:如圖所示,三個(gè)陰影部分的面積按從小到大的順序排列為:SAOC=SOPESBOD.知識(shí)點(diǎn)三:反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用7.一般步驟(1 題意找出自變量與因變量之間的乘積關(guān)系;(2 設(shè)出函數(shù)表達(dá)式;(3)依題意求解函數(shù)表達(dá)式;(4)根據(jù)反比例函數(shù)的表達(dá)式或性質(zhì)解決相關(guān)問題.