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1、,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,一元微積學,第二講,一、 歷年試題分類統(tǒng)計及考點分布,二、考點綜述及主要解題方法與技巧,三、真題解析,一、 歷年試題分類統(tǒng)計及考點分布,(1)導數(shù)與微分定義,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(2)微分定理,二、考點綜述與主要解題方法與技巧,,羅爾定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒定理,,,證明等式,證明不等式,證明根的存在性 與唯一性,求極限,(1)導數(shù)與微分定義,(a)導數(shù)定義,(b)導數(shù)定義推廣,(c)微分定義,(d)微分幾何意義,微分,可微,線性增量代替復雜增量,切線代替曲線,例1. 2012年真題（分）,其中n為正整數(shù)，則,設(shè)函數(shù),（

2、）,析.（）判定類型：用導數(shù)定義,（） 技巧：,,例. 1989年真題（分）,則,已知,（）,析.（）判定類型：用導數(shù)定義,（） 技巧：,,例. 2006年真題（4分）,具有二階導數(shù)，且,設(shè)函數(shù),（A）,析.（）判定類型：用導數(shù)與微分幾何意義,則在,處有,,的連續(xù)性及導函數(shù),例. 填空題（年考研真題）,(1) 設(shè)函數(shù),其導數(shù)圖形如圖所示,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,單調(diào)減區(qū)間為 ;,極小值點為 ;,極大值點為 .,提示:,的正負作 f (x) 的示意圖.,單調(diào)增區(qū)間為 ;,, 微分中值定理及其應(yīng)用,(a ) 微分中值定理及其相互關(guān)系

3、,羅爾定理,,,,柯西中值定理,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,b. 微分中值定理的主要應(yīng)用,(1) 研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài),(2) 證明恒等式或不等式,(3) 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,原則：欲證結(jié)論中的中值屬于閉區(qū)間，,優(yōu)先考慮介值定理,原則：欲證結(jié)論中的中值屬于開區(qū)間，,優(yōu)先考慮中值定理,c. 有關(guān)中值問題的解題方法,利用逆向思維 , 設(shè)輔助函數(shù) .,一般解題方法:,證明含一個中值的等式或根的存在 ,,(2) 若結(jié)論中涉及到含中值的兩個不同函數(shù) ,,(3) 若結(jié)論中含兩個或兩個以上的中值 ,,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù) .,多用羅爾定理,,可考慮用,

4、柯西中值定理 .,必須多次應(yīng)用,中值定理 .,(4) 若已知條件中含高階導數(shù) , 多考慮用泰勒公式 ,,(5) 若結(jié)論為不等式 , 要注意適當放大或縮小的技巧.,有時也可考慮對導數(shù)用中值定理 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,d. 輔助函數(shù)的構(gòu)造方法,將欲證結(jié)論中的中值 改寫為x,通過整理使得等式一端為零,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,，另一端記為,（2）令,(3) 驗證F(x) 是否滿足零點定理，,若滿足，命題成立，若不滿足，則,()令,(5)驗證F(x) 是否滿足羅爾定理，,若滿足，命題成立，若不滿足，則,()改令,（7）將大區(qū)間分成若干小區(qū)間，在各個小區(qū)間用中值定理,結(jié)論簡

5、單一般用羅爾定理，結(jié)論復雜一般用拉格朗日中值定理,應(yīng)用一：證明等式,例1. 證明存在一點,使得,,將欲證結(jié)論中的中值 改寫為x,通過整理使得等式一端為零,，另一端記為,(3) 驗證F(x) 是否滿足零點定理，,若滿足，命題成立,（2）令,思路解析：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(練習題：年考研真題),,思路解析：,()第一問用零點定理,已知函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導，且f(0)=0, f(1)=1，證明：,（）存在,（）存在兩個不同的點,()第二問利用第一問結(jié)論與拉格朗日中值定理,例. 設(shè)實數(shù),滿足下述等式,證明方程,在 ( 0 , 1) 內(nèi)至少有一,個實根 .,

6、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,將欲證結(jié)論中的中值 改寫為x,通過整理使得等式一端為零,，另一端記為,(3) 驗證F(x) 是否滿足零點定理，,若滿足，命題成立，若不滿足，則,()令,(5)驗證F(x) 是否滿足羅爾定理，,若滿足，命題成立,思路解析：,（2）令,練習題：98年真題,且在,內(nèi)可導, 證明至少存,在一點,使,（）驗證,在,上滿足羅爾定理條件.,（）令,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,思路解析：,將欲證結(jié)論中的中值 改寫為x,整理使得等式一端為零,（）易得,設(shè),,（）結(jié)論簡單一般用羅爾定理，結(jié)論復雜一般用拉格朗日中值定理,思路解析：,（）將欲證結(jié)論中的中值 改寫為x

7、,通過整理使得等式一端為常,數(shù)，另一端記為,()令,()驗證F(x) 是否滿足羅爾定理，,若滿足，命題成立,練習：設(shè)函數(shù),證明，存在,使得,,（）結(jié)論簡單一般用羅爾定理，結(jié)論復雜一般用拉格朗日中值定理,思路解析：,（）將欲證結(jié)論中的中值 改寫為x,通過整理使得等式一端為常,數(shù)，另一端記為,()令,()驗證F(x) 是否滿足拉格朗日中值定理，,若滿足，命題成立,例4. 設(shè),至少存在一點,使,證明,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,思路解析：,() 若結(jié)論中涉及到含中值的兩個不同函數(shù) ,,可考慮用,柯西中值定理 .,（） 結(jié)論可變形為,例4. 設(shè),至少存在一點,使,證: 結(jié)論可變形為,設(shè),則

8、,在 0, 1 上滿足柯西中值,定理條件,,因此在 ( 0 , 1 ) 內(nèi)至少存在一點 ,,使,,,即,證明,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,例,且,試證存在,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,思路解析：,（） 結(jié)論可變形為,即,() 若結(jié)論中含兩個或兩個以上的中值 ,,必須多次應(yīng)用,中值定理 .,例,且,試證存在,證: 欲證,因 f ( x ) 在 a , b 上滿足拉氏中值定理條件,,故有,將代入 , 化簡得,故有,,,即要證,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,例6,且,試證存在,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,思路解析：,（） 注意到,() 若結(jié)論中含兩個或兩個以上的

9、中值 ,,必須多次或者在,不同區(qū)間上應(yīng)用中值定理 .,,應(yīng)用二：證明不等式,設(shè),證明對任意,有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例.（年考研真題）分,,思路解析：,() 若結(jié)論中有函數(shù)之差的形式，,(5) 若結(jié)論為不等式 , 要注意適當放大或縮小的技巧.,可考慮用中值定理 .,設(shè),證明對任意,有,證：,不妨設(shè),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例.（年考研真題）分,,例. （年考研真題）,在,上二階可導,,且,證明,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,設(shè)函數(shù),,() 若已知條件中含高階導數(shù) , 多考慮用泰勒公式 ,,(2) 若結(jié)論為不等式 , 要注意適當放大或縮小的技巧.,有時也可考慮

10、對導數(shù)用中值定理 .,思路解析：,(3):泰勒公式建立了函數(shù)及其導數(shù)的聯(lián)系。在使用中，展開點的選擇是十分關(guān)鍵的，通常可以選擇一些函數(shù)的具有一些特點的點，比如區(qū)間端點，中點，極值點等。,例. 設(shè)函數(shù),在,上二階可導,,且,證明,證:,由泰勒公式得,兩式相減得,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,應(yīng)用三：證明根的存在性與唯一性,例1：設(shè) a, b ,c為三個實數(shù)，證明：方程,的根不超過三個.,,思路解析：,()”不超過”問題多考慮用反證法 ,(),,,,應(yīng)用四：求極限,例1. 求,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,思路解析：,() 若結(jié)論中有函數(shù)之差的形式，,可考慮用中值定理 .,例1.

11、求,解法1 利用中值定理求極限,原式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,解法2 利用泰勒公式,令,則,原式,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2 求,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,思路解析：,() 若結(jié)論中有函數(shù)之差的形式，,可考慮泰勒公式 .,應(yīng)用五：極值與拐點,例1,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,思路解析：,() 利用拐點定義，與極值判定法， 及參數(shù)方程求導法則,如果一個質(zhì)點在平面內(nèi)運動，它的坐標可以表示為時間的函數(shù),證明：曲線在,t=0處有一個拐點，并且質(zhì)點運,動的速度在t=0處有一個極大值,. 歷年真題解析,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(年考研真題)

12、,,思路解析：,()導數(shù)定義,已知,則,（）,（）,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,已知 f (x) 在x=0 上連續(xù), 在(0, 3)的某,(90年考研真題),則在點x=0處，f (x),鄰域內(nèi)連續(xù)，,,思路解析：,()利用極限保號性,A.不可導,B.可導,C.取得極大值,D.取得極小值,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(年考研真題),,證明,拉格朗日中值定理：,(1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù),滿足:,(2) 在區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導,至少存在一點,使,,,,,,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,設(shè)函數(shù) f (x) 在閉區(qū)間0, 上可微,,(年考研真題),對于0

13、,1上的每個 x,,,思路解析：,()存在性用零點定理,()唯一性用反證法結(jié)合羅爾定理,證明有且僅,有一個,使得,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(年考研真題),,思路解析：,()第一問用零點定理,已知函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導，且f(0)=0, f(1)=1，證明：,（）存在,（）存在兩個不同的點,()第二問利用第一問結(jié)論與拉格朗日中值定理,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(年考研真題),,思路解析：,()先畫圖分析,()利用拉格朗日中值定理,設(shè)不恒為常數(shù)的函數(shù) f (x) 在閉區(qū)間,a,b上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導，,證明至少存在一點,使得,機動 目錄 上

14、頁 下頁 返回 結(jié)束,設(shè)函數(shù) f (x) 在0, 3 上連續(xù), 在(0, 3),(03年考研真題),試證必存在,內(nèi)可導, 且,,思路解析：,()從結(jié)論看,典型的羅爾定理,()難點是確定合適的區(qū)間,使兩端點函數(shù)值相等.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,設(shè)函數(shù) f (x) 在0, 3 上連續(xù), 在(0, 3),分析: 所給條件可寫為,(03年考研真題),試證必存在,想到找一點 c , 使,,證: 因 f (x) 在0, 3上連續(xù),,所以在0, 2上連續(xù), 且在,0, 2上有最大值 M 與最小值 m,,故,,由介值定理, 至少存在一點,,由羅爾定理知, 必存在,內(nèi)可導, 且,,補充習題. 設(shè),在

15、,內(nèi)可導, 且,證明至少存在一點,使,上連續(xù), 在,證: 問題轉(zhuǎn)化為證,設(shè)輔助函數(shù),顯然,在 0 , 1 上滿足羅爾定理條件,,故至,使,即有,少存在一點,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,費馬 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,法國數(shù)學家,Rolle年輕時家境貧困,僅受過初等教育,靠自學 精通了代數(shù)和Diophantus分析理論.1682年,他解決了數(shù)學家Ozanam 提出的一個數(shù)學難題,受到學術(shù)界的好評,從此生活有了轉(zhuǎn)機，得到 了社會上層人士的經(jīng)濟援助。 Rolle所處的時代正當微積分誕生不久，因而微積分遭受到多方 面的非議，Rolle就是反對派之一.他認為：“微積分是巧妙的謬論 的匯集.

16、”從而和一些數(shù)學家之間展開了激烈的爭論,直到1706年秋， 他才放棄自己的觀點,并于1691年了發(fā)明Rolle定理.,1.羅爾( Rolle ) (1652-1719),,. 拉格朗日Lagange (1736 1813),法國數(shù)學家.,他在方程論, 解析函數(shù)論,,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻,,近百,余年來, 數(shù)學中的許多成就都直接或間,接地溯源于他的工作,,他是對分析數(shù)學,產(chǎn)生全面影響的數(shù)學家之一.,,.柯西(Cauchy)(1789 1857),,法國數(shù)學家,,他對數(shù)學的貢獻主要集中,在微積分學,,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是為巴黎綜合學,校編寫的分析教程,,無窮小分析概論, 微積,分在幾何上的應(yīng)用 等,,有思想有創(chuàng)建,,響廣泛而深遠 .,對數(shù)學的影,他是經(jīng)典分析的奠人之一,,他為微積分,所奠定的基礎(chǔ)推動了分析的發(fā)展.,復變函數(shù)和微分方程方面 .,一生發(fā)表論文800余篇, 著書 7 本 ,,