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1、1,有限元與數(shù)值方法第四講微分方程的等價(jià)積分形式,授課教師：劉書田,Tel：84706149； Email： 教室：綜合教學(xué)樓 351 時(shí)間：2013年4月07日：8：0010：20,2,基于積分方程的數(shù)值方法的基本思想,微分提法：真實(shí)解在任意點(diǎn)均滿足微分方程 積分提法：對于所有可能的解（u(x))中，真實(shí)的解應(yīng)滿足下式 積分形式的近似解法： 在有限個(gè)可能的解中，真實(shí)解的近似解為使下式取極小的解。,3,微分方程的算子形式 在域內(nèi)： 邊界上： 其中，A，B1，B2為微分算子,微分方程的等價(jià)積分形式,對于滿足微分方程及其邊界條件的解 u ,上式顯然是成立的； 如果對任意的函數(shù)v(x)，上式成立，則

2、可以證明u是微分方程的解。,4,顯然，如果在區(qū)域上， 幾乎處處為零，則對任意的有,引理:如果對任意的 ，恒有 則,,如果F(X)=0代表了微分方程，則上面定理和引理建立了微分方程和其積分形式之間的聯(lián)系,(一) 預(yù)備知識,微分方程的等價(jià)積分形式,5,等價(jià)積分形式,若對任意函數(shù)列向量 有,則該積分表達(dá)式與微分表達(dá)式 完全等效。,同理，若對任意函數(shù)列向量 有,則該積分表達(dá)式與微分表達(dá)式 完全等效。,故稱 為原微分方程,的等價(jià)積分形式。,6,等價(jià)積分形式可積的條件：,1. 單值且在域內(nèi)和邊界上可積分,若 A 的最高階導(dǎo)數(shù)為n，則u 的n-1 階導(dǎo)數(shù) 必

3、須連續(xù)，即u 具有 連續(xù)性,等價(jià)積分方程對函數(shù)連續(xù)性的要求：函數(shù)是可積的。 被積函數(shù)在區(qū)域上有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則可積,右圖函數(shù)是 C0 連續(xù)的，其二階導(dǎo)數(shù)不可積,等價(jià)積分形式,7,?。?上式可得到簡化,對于滿足微分方程及其邊界條件的解 u ,上式顯然是成立的； 如果對任意的函數(shù)v(x)，上式成立，則可以證明u是微分方程的解。,8,積分弱形式,在很多情況下，可以通過分部積分方法將前述積分方程轉(zhuǎn)化為另外一個(gè)等價(jià)形式：,其中，D 和 F 通常包括相對 A 和 B 較低階的導(dǎo)數(shù)。 這一形式稱為微分方程的“弱形式”。,解函數(shù)的連續(xù)性降低，其代價(jià)是試函數(shù)連續(xù)性要求提高了。 弱形式經(jīng)常是描述物理現(xiàn)象更為合

4、理的形式，因?yàn)槲⒎址匠掏鶎馓岢隽诉^于光滑的要求。 對弱形式進(jìn)行積分，是有限元方法的重要基礎(chǔ),9,一維問題的弱形式例子,例：受軸向分布載荷 和端部集中力 P 的均勻桿,微分方程表達(dá)形式為,該方程積分后可得,一維問題可以通過分部積分將等價(jià)積分形式轉(zhuǎn)化為弱形式,顯然，真實(shí)解是三次多項(xiàng)式,10,一維問題的弱形式例子,微分方程的積分等價(jià)形式為,分部積分得到弱形式：,設(shè)解和試函數(shù)的形式各為,Galerkin方法,注意解已經(jīng)滿足強(qiáng)制邊界條件,邊界條件的等效積分形似：,11,自然邊界條件的概念,對于微分方程的等價(jià)積分形式及其弱形式，,如果能通過選擇試函數(shù)消去邊界積分項(xiàng)，將給積分帶來方便。能夠?qū)崿F(xiàn)這一點(diǎn)

5、的邊界條件成為自然邊界條件。 指定函數(shù)值本身的邊界條件不是自然邊界條件，成為強(qiáng)制邊界條件。,12,自然邊界條件的概念,例如，考慮問題：,如果近似解 滿足x=0處的邊界條件，但不滿足x=1處的邊界條件，則加權(quán)殘數(shù)列式應(yīng)反映域內(nèi)的微分方程和x=1處的邊界條件，即,13,自然邊界條件的概念,第一項(xiàng)分部積分給出,為消去邊界上未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，選取試函數(shù)之間滿足如下關(guān)系：,這樣，弱形式成為,以上弱形式中，不再出現(xiàn)未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的邊界條件，即該邊界條件在上式中自動滿足，稱為自然邊界條件。,14,歸納：強(qiáng)式和弱式的對比,強(qiáng)式 可直接求得系統(tǒng)方程的精確解 困難：復(fù)雜問題難以獲得精確解； 數(shù)值求解時(shí)，近似函

6、數(shù)要求有與微分方程同階的可導(dǎo)性。 有限差分法屬于基于強(qiáng)式的數(shù)值方法。,弱式 降低了對近似函數(shù)的連續(xù)性要求，使得選取試函數(shù)更容易； 基于弱式的方程通常是一組穩(wěn)定性良好的離散方程，易于求解,15,,二維、三維問題的積分形式,16,預(yù)備知識,Green公式,或,為推導(dǎo)二維或三維問題的弱形式，需要掌握以下積分公式,Gauss定理（散度定理）,17,由格林公式可推導(dǎo)出：,,所以,類比于高等數(shù)學(xué)中單變量函數(shù)的分部積分公式,預(yù)備知識,而,同理,18,同理，三維空間中，由此前公式可推導(dǎo)出：,,所以,預(yù)備知識,而,同理,19,微分方程的等價(jià)積分形式,2D穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題的弱形式,微分方程（強(qiáng)形式）,,強(qiáng)制邊界條件

7、,自然邊界條件,,20,利用格林公式,2D熱傳導(dǎo)問題的弱形式,同理，,21,,弱形式,2D熱傳導(dǎo)問題的弱形式,考慮到 ，并令 ， 上式成為,,目的是消去自然邊界上的函數(shù)導(dǎo)數(shù),22,討論,2D熱傳導(dǎo)問題的弱形式,自然邊界條件 自動滿足 如果選擇場函數(shù)時(shí)已經(jīng)滿足強(qiáng)制邊界條件，則可通過選擇 v 使得 而略去,23,有限元與數(shù)值方法第四講加權(quán)殘數(shù)法,授課教師：劉書田,Tel：84706149； Email： 教室：綜合教學(xué)樓 351 時(shí)間：2013年4月07日：8：0010：20,24,加權(quán)殘數(shù)法（Weighted Residual Me

8、thod）,加權(quán)殘數(shù)法的基本思想是：構(gòu)造包含參數(shù)的微分方程的近似解，將近似解代入微分方程和相應(yīng)的邊條件中，令得到的殘差在適當(dāng)加權(quán)后在微分方程定義域上的平均值為零，從而得到確定待求參數(shù)的代數(shù)方程式。,,25,,,殘數(shù)（內(nèi)部）,,殘數(shù)（邊界）,考慮微分方程和邊界條件,加權(quán)殘數(shù)法（Weighted Residual Method）,近似解,,26,,,,,此處，一個(gè)方程，n個(gè)未知數(shù)（C1Cn）,加權(quán)殘數(shù)法（Weighted Residual Method）,27,選 n 個(gè)權(quán)函數(shù) Wj （j=1n）,j=1n n 個(gè)方程,求得C1Cn,,加權(quán)殘數(shù)法（Weighted Residual Method

9、）,28,近似解構(gòu)造方法,基函數(shù)系選擇原則 連續(xù)性 線性無關(guān) 正交 完備,典型的基函數(shù)系 多項(xiàng)式 三角級數(shù) 梁振動振形 柱穩(wěn)定函數(shù) B-樣條函數(shù),通常取近似解為基函數(shù)的線性組合----基函數(shù)的選擇方法,29,域內(nèi)殘數(shù)法 選取的基函數(shù)滿足邊界條件但不滿足微分方程 邊界殘數(shù)法 選取的基函數(shù)滿足域內(nèi)微分方程但不滿足邊界條件 混合殘數(shù)法 選取的基函數(shù)域內(nèi)微分方程和邊界條件都不滿足,按基函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分類,30,1.子域法,強(qiáng)迫余量在n個(gè)子域 的積分為零,n個(gè)方程，求得 C1Cn,取,子域上近似,按權(quán)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分類,31,2.配點(diǎn)法,取 j 個(gè)方程,當(dāng)子域法中，令面積0，退化為配點(diǎn)法,32,

10、（最小二乘法的殘數(shù)方程）,(*),,,對應(yīng)每一點(diǎn)誤差的平方和最小，即接近真解。,3.最小二乘法（Least Square Method）,33,,一次矩,二次矩,n 次矩,R的 j 次矩,4.矩法,伽遼金方程,把基函數(shù)作為權(quán)函數(shù)：,5.伽遼金法（Galerkin Method）,誤差與解函數(shù)空間“正交”,34,以上方法的比較,以上方法都將原問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組的求解 Aa=c 配點(diǎn)法、子域法得到的是非對稱的系數(shù)矩陣A； 最小二乘法、Galerkin法得到的是對稱的系數(shù)矩陣A 最小二乘法易于產(chǎn)生病態(tài)矩陣A；并且不能通過分部積分法降低被積函數(shù)的微分階次，因此要求單元間函數(shù)的充分的連

11、續(xù)性,35,設(shè),n=2 時(shí),例題,即,余量為,36,1.子域法求解：,例題,解方程，得到,不對稱的系數(shù)矩陣,37,2.配點(diǎn)法：,3.最小二乘法：,解方程，得到,解方程，得到,其中,該方程顯然有對稱的系數(shù)矩陣,38,4. Galerkin法：,,,經(jīng)與精確解比較，Galerkin法結(jié)果具有較高精度,解方程，得到,39,例題：一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題,取近似解為,加權(quán)余量法格式：,40,,Galerkin法：取 ，代入上式中，得到,,即,顯然，,其中,41,結(jié)果的比較,42,WRM推導(dǎo)虛功原理,三維彈性固體的平衡方程和邊界條件：,取權(quán)函數(shù)為 ，則加權(quán)殘數(shù)方程（等效積分形式）

12、為,43,WRM推導(dǎo)虛功原理,分部積分給出,引用虛位移（微小位移）與虛應(yīng)變的關(guān)系及力的邊界條件，上式可寫為,此即虛功原理,弱形式,44,WRM推導(dǎo)虛功原理,注解： 這里假定虛位移在域內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，否則不能通過分部積分建立等效積分的弱形式 這里假定虛位移滿足位移邊界條件，否則外力虛功項(xiàng)中還應(yīng)包括位移邊界上約束反力的虛功 推導(dǎo)虛功原理的過程中，沒有涉及本構(gòu)關(guān)系，所以虛功原理可以用于非線性彈性及彈塑性等非線性問題 虛功原理表述了平衡條件 這里給出的虛功原理是基于小變形理論的，因此不能直接用于基于大變形理論的力學(xué)問題（對于大變形問題需要采用恰當(dāng)?shù)膽?yīng)力和應(yīng)變度量）,45,練習(xí),推導(dǎo)下列方程的弱形式：,解：,46,作業(yè)：平面應(yīng)力問題的解,提示：u,v 用多項(xiàng)式做近似展開,47,作業(yè)解答,