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八年級數學競賽講座 第二十七講 圖形的折疊、剪拼與分割 人教新課標版

上傳人:a**** 文檔編號:151383330 上傳時間:2022-09-13 格式:DOC 頁數:8 大?。?93KB
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1、 第二十七講 圖形的折疊、剪拼與分割 一頁普通的紙,童年時我們用稚氣的雙手把它折成有趣的動物,民間藝人可以把它剪成美麗的圖案.折紙與剪紙是最富于自然情趣而又形象生動的實驗,是豐富想象力與心靈手巧的結合. 對圖形進行折疊與剪拼,是學習幾何不可或缺的重要一環(huán),通過折疊與剪拼圖形,我們可以發(fā)現一些幾何結論并知曉這些結論是怎樣被證明的. 把圖形或部分沿某直線翻折叫圖形的折疊,對圖形通過有限次的剪裁再重新拼接成新的圖形叫圖形的剪拼. 解與圖形折疊或剪拼相關的問題,利用不變量解題是關鍵,在折疊過程中,線段的長度、角的度數保持不變;在剪拼過程中,新圖形與原圖形的面積一般

2、保持不變. 例題求解 【例1】 如圖,有一塊直角三角形紙片,兩直角邊AC=6㎝,BC=8㎝,現將直角邊AC沿直線AD折疊,使它落在斜邊AB上,且與AE重合,則CD等于 . (南通市中考題) 思路點撥 設CD=x,由折疊的性質實現等量轉換,將條件集中到Rt△BDE中,建立x的方程. 注 圖形折疊與剪拼問題可考壹我們的動手操作能力和分析推理能力,解題時需要把計算、推理與合情想象結合起來. 折疊問題可以對稱觀點認識: (1)折痕兩邊是全等的; (2)對應點連線被折痕垂直平分. 解折疊問題常用到勾股定理、相似形

3、、方程思想等知識與方法. 【例2】 如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,將矩形沿AC折疊,則重疊部分△AFC的面積為( ) A.12 D10 C.8 D.6 (2004年武漢市選拔賽試題) 思路點撥 只需求出AF長即可. 【例3】 取一張矩形的紙進行折疊,具體操作過程如下: 第一步:先把矩形ABCD對折,折痕為MN,如圖1; 第二步:再把B點疊在折痕線MN上,折痕為AE,點B在MN上的對應點為B′,得Rt△AB'E,如圖2; 第三步:沿EB'線折疊得折痕EF,如圖3

4、. 利用展開圖4探究: (1)△AEF是什么三角形?證明你的結論. (2)對于任一矩形,按照上述方法是否都能折出這種三角形?請說明理由. (山西省中考題) 思路點撥 本例沒有現成的結論,需經歷實驗、觀察、猜想、證明等數學活動,從而探究得到結論. 【例4】如圖,是從邊長為40cm、寬為30cm的矩形鋼板的左上角截取一塊長為20cm、寬為10cm的矩形后,剩下的一塊下腳料.工人師傅要將它作適當地切割,重新拼接后焊成一個面積與原下腳料的面積相等,接縫盡可能短的正方形工件. (1)請根據上述要求,設計出將這塊下腳料適當分割成三

5、塊或三塊以上的兩種不同的拼接方案(在圖2和圖3中分別畫出切割時所沿的虛線,以及拼接后所得到的正方形,保留拼接的痕跡); (2)比較(1)中的兩種方案,哪種更好一些?說說你的看法和理由. (山東省中考題) 思路點撥 拼接后正方形的邊長為㎝,它恰是以30cm和10cm為兩直角邊的直角三角形的斜邊的長,為此可考慮設法在原鋼板上構造兩直角邊長分別為30㎝和l0cm的直角三角形,這是解本例的關鍵. 注 有效的數學學習過程不能單純地依賴模仿與記憶,應該通過觀察、實驗、操作、猜測、驗證、推理等數學活動,形成自己對數學知識的理解和有效的學習策略,從而使知識得到

6、內化,形成能力. 近年中考中涌現的設計新穎、富有創(chuàng)意的折疊、剪拼與分割等問題,注重對動手實踐操作、應用意識、學習潛能的考查. 【例5】 用10個邊長分別為3,5,6,11,17,19,22,23,24,25的正方形,可以拼接成一個矩形. (1)求這個矩形的長和寬; (2)請畫出拼接圖. 思路點撥 利用拼接前后圖形面積不變求矩形的長和寬;運用矩形對邊相等這一性質畫拼接圖. 【例6】 如圖,已知△ABC中,∠B=∠C=30°,請設計三種不同的分法,將△ABC分割成四個三角形,使得其中兩個是全等三角形,而另外兩個是相似但不全等的直角三

7、角形.請畫出分割線段,標出能夠說明分法的所得三角形的頂點和內角度數(或記號).(畫圖工具不限,不要求證明,不要求寫出畫法) (溫州市中考題) 思路點撥 充分運用幾何計算、推理和作圖,綜合運用動手操作、空間想象、解決問題. 學力訓練 1. 將一張長方形的紙對折,如圖所示可得到一條折痕(圖中虛線),繼續(xù)對折,對折時每次折痕與上次的折痕保持平行,連續(xù)對折三次后,可以得到7條折痕,那么對折四次可以得到 條折痕,如果對折n次,可以得到 條折痕.(2002年南寧市中考題) 2.一張直角三角形的紙片,像圖中那樣折疊

8、,使兩個銳角頂點A、B重合,若∠B=30°,AC=,則折痕DE的長等于 . (三明市中考題) 3.如圖,將一塊長為12的正方形紙片ABCD的頂點A折至DC邊上的點E,使DE=5,折痕為PQ,則線段PM= . 4.在△ABC中,已知AB=20,∠A=30°,CD是AB邊的中線,若將△ABC沿CD對折起來,折疊后兩個小三角形ACD與三角形BCD重疊部分的面積恰好等于折疊前△ABC的面積的,有如下結論:①AC邊的長可以等于a;②折疊前的△ABC的面積可以等于;③折疊后,以A、B為端點的線段AB與中線CD平行且相等,其中,正確結論有 個.

9、 (天津市中考題) 5.將四個相同的矩形(長是寬的3倍),用不同的方式拼成一個大矩形,設拼得大矩形的面積是四個小矩形的面積和,則大矩形周長的值只可能有( ) A.1種 B.2種 C.3種 D.4種 (2003年南昌市中考題) 6.如圖,把△ABC紙片沿DE折疊,當點A落在四邊形BCDE內部時,則∠A與∠1+∠2之間有一種數量關系始終保持不變,請試著找一找這個規(guī)律,你發(fā)現的規(guī)律是( ) A.∠A=∠1+∠2 B.2∠A=∠1+∠2 C.3∠A=2∠1+∠2 D.3∠A=2(∠l+∠2) (北京市海淀區(qū)中考題)

10、7.將一張矩形紙對折再對折(如圖),然后沿著圖中的虛線剪下,得到①、②兩部分.將①展開后得到的平面圖形是( ) A.矩形 B.三角形 C.梯形 D.菱形 (陜西省中考題) 8.如圖1,小強拿一張正方形的紙,沿虛線對折一次得圖2,再對折一次得圖3,然后用剪刀沿圖3中的虛線剪去一個角,再打開后的形狀是( ) (濟南市中考題) 9.如圖,東風汽車公司沖壓廠沖壓汽車零件的廢料都是等腰三角形的小鋼板,其中AB=AC,該沖壓廠為了降低汽車零件成本,變廢為寶,把這些廢料再加工成紅星農業(yè)機械廠粉碎機上的零件,銷售

11、給紅星農業(yè)機械廠,這些零件的形狀都是矩形.現在要把如圖所示的等腰三角形鋼板切割后再焊接成兩種不同規(guī)格的矩形,每種矩形的面積正好等于該三角形的面積,每次切割的次數最多兩次(切割的損失可忽略不計). (1)請你設計兩種不同的切割焊接方案,并用簡要的文字加以說明; (2)若要把該三角形廢料切割后焊接成正方形零件(只切割一次),則該三角形需滿足什么條件? (十堰市中考題) 10.如圖,ABCD是矩形紙片,E是AB上一點,且BE:EA=5:3,EC=15,把△BCE沿折痕EC向上翻折,若點B恰好落在AD邊上,設這個點為F,求AB、BC的長. 11.如圖,

12、在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,現將它折疊,使點B與點C重合,則折痕的長是 . (四川省競賽題) 12.如圖,一張矩形紙片沿BC折疊,頂點A落在點A,處,第二次過A,再折疊,使折痕DE∥BC,若AB=2,AC=3,則梯形BDEC的面積為 . ( “宇振杯”上海市競賽題) 13.如圖,將矩形ABCD的四個角向內折起,恰好拼成既無縫隙又無重疊的四邊形EFGH,若EH=3,EF=4,那么線段AD與AB的比等于 . ( “希望杯”邀請賽試題) 14.要剪切如圖l(尺寸單位mm)所示的兩種直角梯形零件,且使兩種零件的數量相

13、等.有兩種面積相等的矩形鋁板,第一種長500mm,寬300mm(如圖2);第二種長600mm,寬250mm(如圖3);可供選用. (1)填空:為了充分利用材料,應選用第 種鋁板,這時一塊鋁板最多能剪甲、乙兩種零件共 個,剪出這些零件后,剩余的邊角料的面積是 mm2. (2)畫圖,從圖2或圖3中選出你要用的鋁板示意圖,在上面畫出剪切線,并把邊角余料用陰影表示出來. 15.如圖,EF為正方形ABCD的對折線,將∠A沿DK折疊使它的頂點A落在EF上的G點,則∠DKG為( ) A.15° B.30° C.55° D.75°

14、 16.某班在布置新年聯歡會會場時,需要將直角三角形彩紙裁成長度不等的矩形彩條,如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=30㎝,AB=50cm,依次裁下寬為1㎝的矩形紙條a1,a2,a3,…,若使裁得的矩形紙條的長都不小于5cm,則每張直角三角形彩紙能裁成的矩形紙條的總數是( ) A.24 B.25 C. 26 D.27 (山東省濟南市中考題) 17.如圖,若將左邊正方形剪成四塊,恰能拼成右邊的矩形,設a=1,則這個正方形的面積為( ) A. B. C. D. (2003年山東省競

15、賽題) 18.如圖,已知Rt△ABC中,∠C=90°,沿過點月的一條直線BE折疊這個三角形,使點C落在AB邊上的點為D,要使點D恰為AB的中點,問在圖中還需添加什么條件? (1)寫出兩個滿足邊的條件; (2)寫出兩個滿足角的條件; (3)寫出一個滿足除邊角以外的其他條件. (黃岡市競賽題) 19.如圖,正方形紙片ABCD中,E為BC的中點,折疊正方形,使點A與點E重合,壓平后,得折痕MN,設梯形ADMN的面積為S1,梯形BCMN的面積為S2,求的值 20.已知一個三角形紙片ABC,面積為25,BC的長為l0,∠B、∠C都為銳角,M為AB邊上的一動點(M與A、B

16、不重合),過點M作MN∥BC交AC于點N,設MN=x. (1)用x表示△AMN的面積; (2)△AMN沿MN折疊,使△AMN緊貼四邊形BCNM(邊AM、AN落在四邊形BCNM所在的平面內),設點A落在平面BCNM內的點A′,△A′MN與四邊形BCNM重疊部分的面積為y. ①用的代數式表示y,并寫出x的取值范圍. ②當x為何值時,重疊部分的面積y最大,最大為多少?

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