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1、不 等 式 的 證 明,松北高級中學 吳宏亮,【例1】已知a0，b0，求證：a3+b3a2b+ab2.(課本P12例3),,即a3+b3a2b+ab2.,證明一：比較法（作差）,（a3+b3）-（a2b+ab2）=（a3- a2b）+（b3-ab2）,=a2(a-b)+b2(b-a),a0，b0，,( a-b)2(a+b)0.,故（a3+b3）-（a2b+ab2）0,,a+b0，而( a-b)20.,=( a-b)2(a+b).,=(a-b)( a2-b2),故a3+b3a2b+ab2.,證明二：比較法（作商）,a2+b22ab，,,又a0，b0，所以ab0，,所以有a3+b3a2b+ab2.

2、,證明三：分析法,欲證a3+b3a2b+ab2，,只需證明(a+b)(a2+b2-ab)ab(a+b).,由于a0，b0，,所以a+b0，,故只要證明a2+b2-abab即可。,即證明a2+b22ab.,而a2+b22ab 顯然是成立的,即a3+b3a2b+ab2.,證明四：綜合法,a2+b22ab，,a2+b2-abab.,又a0，b0，,a+b0，,故(a+b)(a2+b2-ab)ab(a+b).,【例2】已知a0，b0，求證：,證明一：比較法（作差）,證明二：比較法（作商）,而a0，b0，所以a+b0.,證明四:綜合法,a1a2a3an,b1b2b3bn,,a1bn+a2bn-1++ a

3、n-1b2+anb1.,a1b2+a2b3++ an-1bn+anb1,則a1b1+a2b2+a3b3++anbn,【例3】求證:(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2).,證明一：(比較法),(ac+bd)2-(a2+b2)(c2+d2), (ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2).,=2abcd- a2d2-b2c2,=(a2c2+b2d2+2abcd)-(a2c2+b2d2+a2d2+b2c2),=-(ad-bc)2,0.,證明二：(分析法),證明三：(綜合法),一般地,對任意實數(shù)ai,bi(i=1,2,3, ,n),都有: (a12+a22++an2)(b12+b22++bn2

4、) (a1b1+a2b2++anbn) 2.(柯西不等式),【例4】設(shè)-1

5、5】設(shè)a0,b0,且a+b=1,求證：,證明一(分析法),(4a+1)(4b+1) 9,16ab+4a+4b+19,證明二(綜合法),因為a0,b0,且a+b=1,所以,從而 + .,【例6】已知m0,求證:m+ 3.,,證明一(比較法),m+ -3 =, m+,3,證明二(綜合法),m+ =,,證明三(函數(shù)思想),設(shè)f(x)=x+ ,則f (x)=1- ,令f(x)=0,得: x=2.,當02時, f (x)0.,所以當x=2時, f(x)取到最大值3,,故當m0時,有 m+ 3.,=3,已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,方 程f(x)-x=0的兩根為x1,x2,且0