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1、晨鳥教育 第 8 單元 數(shù)學廣角——找次品 本單元以“找次品”這一探索性操作活動為載體，讓學生通過觀察、猜測、試驗等方式 探索解決問題的策略。同時，進一步理解隨機事件，感受解決問題策略的多樣性和優(yōu)化思想， 培養(yǎng)觀察、分析、邏輯推理的能力，并學習如何用直觀的方式清晰、簡潔、有條理地表示邏 輯推理過程。首先，教科書從最簡單的問題（3 瓶鈣片）入手，讓學生討論找次品的方法， 通過用天平直觀演示，說明基本推理過程：如果天平平衡……如果天平不平衡……，引導學 生用直觀方式記錄找次品的思維過程，了解找次品的基本思路。 在此基礎上，從 8 個零件中找出 1 個次品（重一些），探索找次品

2、的一般方法。教科書 通過“直觀圖”示例引導，啟發(fā)學生將推理的過程用直觀、簡潔的方式表示出來，并通過問 題給出探索的線索，幫助學生找出稱的次數(shù)最少的方法，進行歸納、驗證，概括出找次品的 最優(yōu)方法。 本單元的教學重難點是理解并解決簡單的“找次品”問題，充分經(jīng)歷“比較——猜測 ——驗證”的過程，歸納出“找次品”的最優(yōu)策略，感知邏輯推理的數(shù)學思想方法。需要說 明的是，用天平找次品，并不是一定要通過天平稱，而是利用天平平衡原理，通過邏輯推理 確定次品。 學生在本單元學習之前很少接觸“找次品”問題，沒有相關的學習與生活經(jīng)驗，而教科 書中的“次品”與日常生活中提到的“次品”有所不同。本單元的次品

3、是指從外表看完全相 同的物品，其中重一些或輕一些的那一個就是“次品”。所以首先要讓學生理解什么是“次 品”。 從知識層面上看，學生已經(jīng)會進行初步的分析推理，能在觀察、實驗、猜想、驗證等活 動中，進行有條理的思考，能比較清楚地表達自己的思考過程與結(jié)果。但是學生是第一次接 觸用“直觀圖”表示推理的過程，學起來還是有難度。 1.讓學生認真讀題，充分理解“找次品”的意思，了解“正品”“次品”的含義。說理 時，引導學生盡量用規(guī)范的語言“如果天平平衡……如果天平不平衡……”來表述，并理解 這是兩種情況。在此基礎上，讓學生把推導的過程用直觀圖或流程圖輔以文字說明記錄下來， 這一點尤其重要。 2

4、.讓學生充分經(jīng)歷“比較——猜測——驗證”的探究過程，理解找次品的最優(yōu)策略。 “至少稱幾次能保證找出次品”是理解的難點，這里要讓學生理解“能保證”是指每一種可 能的情況都要考慮，“至少”就是指在保證一定能找出次品的各種方法中稱量次數(shù)最少的那 種方案。在找次品的過程中，允許學生借助直觀學具推理；用直觀圖或流程圖直接推理；口 頭敘述。讓學生多“說過程”，通過說體會到“盡可能將待測物品平均分成三份”的最優(yōu)策 Earlybird 晨鳥教育 略，培養(yǎng)邏輯推理能力。 第 1 課時 找次品（1） ?教學內(nèi)容 教科書 P111~112 例 1、例 2 及“做一做”，完成教科書 P

5、113“練習二十七”中第 1 題。 ?教學目標 1.初步理解找次品的含義，明確找次品的基本思路，探索找次品的一般方法。 2.經(jīng)歷觀察、猜測、試驗、推理等活動，探索解決問題的策略，滲透優(yōu)化思想，感受解 決問題策略的多樣性，培養(yǎng)觀察、分析、推理的能力。 3.經(jīng)歷解決簡單問題的過程，初步培養(yǎng)學生的應用意識和解決實際問題的能力。 ?教學重點 尋找用天平原理找次品的最優(yōu)方案。 ?教學難點 經(jīng)歷找次品的過程，掌握找次品的方法，體驗最優(yōu)方案的原理。 ?教學準備 課件，3 瓶未拆封的鈣片，每名學生 5 張撲克牌，記錄單。 ?教學過程 一、創(chuàng)設現(xiàn)實情境，生成問題 教師出示 3 瓶外觀一樣

6、的鈣片。 師：同學們，看看我手上有什么？它們是一樣的嗎？ 【學情預設】從外觀看，有的學生初步確定是一樣的;也有的學生可能想到，僅僅從外 觀看，還不能確定是否一樣。 師：看來同學們不僅會觀察，還有批判性思維，真棒！ 師：我手中這 3 瓶鈣片，看起來是一樣的，但其實是有一瓶少了一些。生活中常常有一 些看似完全相同的物品中混著一個質(zhì)量不同的物品（重一點或輕一點），需要想辦法把它找 出來，我們把這類問題稱為找次品問題。[板書課題：找次品（1）] 【設計意圖】利用學生熟悉的物品，通過外觀一樣而里面不一樣，激發(fā)學生的思維，引 導學生用數(shù)學的眼光看問題。 二、經(jīng)歷探究過程，領會找次品的基本思路

7、 1.認識天平。 教師出示實物天平，認識天平。 師：同學們，認識這個工具嗎？你們會使用天平嗎？如果天平平衡說明什么？  ◎教學筆記 【教學提示】 可以讓學生用 雙手演示天平，表演 重的一端向下。教師 【學情預設】在此之前，學生已經(jīng)接觸過天平，認識了天平的組成部分。在這里教師應 喊“右邊重”“左 重點引導學生理解，天平兩邊平衡說明兩邊的物體同樣重，哪邊的托盤向下，就說明那邊的 邊重”“一樣重” 物體稍重，反之則稍輕。 2.從 3 瓶鈣片中找次品，感悟找次品的基本思路。 課件出示教科書 P111 例 1。 等口令，學生演示。 Earlybird

8、 晨鳥教育 ◎教學筆記 師：運用天平，怎樣才能很快地找出哪一瓶是次品呢？誰來說說你的想法？ 師：大家覺得這種方法怎么樣？還有別的方法嗎？ 師：那要怎么稱？稱幾次就能找出這瓶次品呢？ 師：誰明白他的意思？能上來再演示一下嗎？ 學生上講臺邊說邊演示。 師：你們的想法真好，因為天平有兩個托盤，次品的位置只有兩個托盤上和天平外三個 地方，用天平稱一次就能確定次品在什么位置，所以從三瓶鈣片中找次品時平均分成三份， 不僅天平左右兩邊的兩瓶參與了比較，天平外的那瓶也參與了比較。 【學情預設】此時學生可能會想到用手掂一掂、倒出來數(shù)一數(shù)等方法。面對這些方法， 學生也可能會提出

9、用手掂的話并不準確，而倒出來數(shù)又不衛(wèi)生，如果學生未能想到這些，教 師要引導學生分析這些方法的不合理性。 師：你們還有別的方法嗎？ 【學情預設】有的學生可能會說用有砝碼的天平一個一個去稱，2 次可找到，也有的學 生可能會說用沒砝碼的天平來稱，1 次可找到。 【設計意圖】讓學生借助已有的生活經(jīng)驗去尋找找次品的方法，進而引出用天平稱的方 法，這樣的設計既順應了學生的思維，又調(diào)動了學生的積極性。 （2）用直觀的方式表達推理過程。 師：同學們的推理過程很清晰，我們可以用直觀圖將這個過程表示出來。 師：為了能清楚地表述，我們分別用數(shù)字卡片 1、2、3 代表這 3 瓶鈣片。 師：先把 1

10、、2 放在天平的兩邊，會有幾種情況呢？ 【學情預設】學生會說有兩種情況，平衡或不平衡；也有學生可能會說，有三種情況： 第一種平衡，第二種左邊輕一些，第三種右邊輕一些，此時教師引導學生歸納，不管哪邊輕 一些，都是不平衡。 師：這兩種情況，我們可以這樣表示。[板書： ] 【教學提示】 師：如果平衡，能得到什么結(jié)論？如果不平衡，又能得到什么結(jié)論？ 學生小組內(nèi)交流后派代表發(fā)言。 結(jié)合學生的發(fā)言，教師完善板書： 師：同桌之間互相說說這個推理過程。 （3）梳理過程。 課件邊呈現(xiàn)推理過程，學生邊跟著一起說。 師：需要稱幾次才能找出次品？（稱 1 次就可以找到次品。）

11、 【設計意圖】由簡單的數(shù)據(jù)開始，讓學生經(jīng)歷分析推理的過程，并掌握基本的思路和表 達方法。 3.自主探索從 5 瓶鈣片中找出次品，理解“至少”“保證”的含義。 （1）學生自主嘗試。 師：如果 5 瓶鈣片中有一瓶是次品(次品輕一些)，用天平至少稱幾次能保證找到次品？ 從 3 瓶鈣片中 找出一瓶次品，相對 比較簡單，但其中的 推理和表示方法很 重要。所以一定要讓 每位同學都說清楚 推理過程，掌握一定 的表達方法。 Earlybird 晨鳥教育 請同學們獨立思考，用手中的撲克牌擺一擺，并將找次品的過程清楚地表示出來。完成 的同學同桌間交流一下找的方法。 師：能邊說邊將你

12、找次品的過程在黑板上表示出來嗎？ 【學情預設】有了前面從 3 瓶中找次品的經(jīng)驗，學生會用天平的形式來表示。學生會想 出多種找出次品的方法，并將從 5 瓶鈣片中找次品的過程展示出來：5(1,1,1,1,1)； 5(1,1,1,2)；5(2,2,1)；5(1,1,3)。但是由于要考慮到多種可能，有的學生可能會考慮不全 面。 預設 1：分成 3 份。（2，2，1） 稱 2 次 預設 2：分成 3 份。（1，1，3）  ◎教學筆記 稱 2 次 預設 3：分成 5 份再稱。（1，1，1，1，1） 預設 4：分成 4 份再稱。（1，1，1，2） （2）理解“至

13、少”“保證”。 師：這里有的時候 1 次就能找出次品，為什么至少要稱 2 次呢？ 【學情預設】學生會說，1 次是運氣比較好，不能保證找出次品。 師：同學們用不同的方法找出了 5 瓶鈣片中的次品，我看見這些方法的不同主要是因為 一開始分的份數(shù)不同。如果每次畫天平，都很麻煩，我們可以這樣簡潔表示。 教師邊說邊板書：5(1,1,1,1,1)2 次；5(1,1,1,2)2 次；5(2,2,1)2 次；5(1,1,3)2 次。 師：整體觀察，應該怎么分保證能找到次品稱的次數(shù)最少？至少應稱幾次？ 師：分的份數(shù)不同，但都是至少稱 2 次就能保證找到次品，誰能解釋這其中的道理？ 【學情預設】面對這樣

14、的問題，可能有的學生在理解上會有些困難，教師要讓學生說出 自己的想法，如果學生實在無法解釋，教師要引導學生繼續(xù)去感受和理解：當天平左右兩邊 各放 1 瓶鈣片時，無論分成 5 份還是 4 份，天平外都是 3 瓶鈣片，和 5(1,1,3)這種情況是 一樣的，次品的位置同樣只有兩個托盤和天平外三個地方。 【設計意圖】呈現(xiàn)不同的解決策略，在多樣的方法中找到共同的規(guī)律。加深對“至 少”“保證”的理解。通過不同方法的交流、對比，讓學生感受到解決問題的方法的多樣性， 初步感悟分成的份數(shù)與稱的次數(shù)之間的關系。 4.探索從 8 瓶鈣片中找次品，掌握找次品的最優(yōu)策略。 師：如果 8 瓶中有一瓶是次品(次品

15、輕一些)，用天平至少稱幾次就能保證找到次品？ 師：同桌之間研究一下，看能不能也用剛才的符號或方法來研究，將探索情況填在記錄 單上，如果實在有困難的話也可以擺一擺。 【學情預設】有了前面找次品的經(jīng)驗方法，學生會很自然地將之前的方法遷移過來，但 不排除還有部分學生存在困難，所以教師提醒學生實在有困難的話也可以擺一擺，盡可能讓 每一位學生都能掌握基本的方法。  【教學提示】 學生的方法有 很多，教學時要照顧 到不同的方法，特別 是錯誤的方法，要引 導學生分析，錯在哪 里，為什么錯，該如 何更正。 Earlybird 晨鳥教育 學生獨立完成， 交流反饋。 ◎教學筆記

16、 師：哪個組來說說你們研究的情況？ 學生匯報，教師完善表格。 師：現(xiàn)在我們靜下心來，靜靜地觀察表格并回顧剛才的研究過程，你能發(fā)現(xiàn)什么？ 師：從 8 瓶中找一瓶次品時很多同學都分成了三份，但只有分成 3 瓶、3 瓶和 2 瓶時才 能保證找出次品稱的次數(shù)最少，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)，誰能分析一下？ 學生交流反饋。 教師根據(jù)學生反饋板書：8（1,1,1,1,1,1,1,1）4 次；8（2,2,2,2,）3 次；8（3,3,2） 2 次；8（4,4）3 次。 師：如果 9 瓶鈣片中有一瓶是次品(次品輕一些)，至少稱幾次能保證找到次品？是怎么 稱的？ 學生思考，小組交流。 【學情預設

17、】學生會發(fā)現(xiàn)將 8 瓶鈣片分成 3 份，每份分別為 3 瓶、3 瓶和 2 瓶時，保證 找出次品稱的次數(shù)最少。同樣是分成三份，為什么這種分法保證找出次品稱的次數(shù)最少呢？ 【設計意圖】本環(huán)節(jié)是在學生動手操作的基礎上，將學習的主動權繼續(xù)交給學生，讓學 生將自己的研究成果展示在同伴面前。在學生匯報的過程中，可能又會有不同的意見出現(xiàn)： 對于從 8 瓶中找一瓶次品時很多同學都分成了三份，但只有分成 3 瓶、3 瓶和 2 瓶時，保證 找出次品稱的次數(shù)最少。這將會再次引發(fā)學生的二次研究，促使學生對研究成果不斷進行修 正。 5.驗證發(fā)現(xiàn)。 師：用你發(fā)現(xiàn)的方法算一算，要找出 10 瓶、11 瓶、12 瓶鈣片

18、中的一瓶次品(次品輕一 些)，看看是不是保證找出次品稱的次數(shù)也是最少的。 學生獨立驗證并交流。 師小結(jié)：經(jīng)過研究、驗證，我們發(fā)現(xiàn)，平均分成3 份找次品，保證找到次品稱的次數(shù)最 少，不能平均分成 3 份的，要把余下的平均分到各組。 師：回頭想想，我們是用了哪些方法得出了這樣的結(jié)論？ 【設計意圖】學生只有在經(jīng)歷知識形成的過程中所掌握的知識和方法才是鮮活的、可遷 移的，學生的數(shù)學素質(zhì)才能得到質(zhì)的飛躍。所以在本環(huán)節(jié)教師需要引導學生進行了數(shù)學學習 方法的小結(jié)，讓學生感受到結(jié)論的得出依托于數(shù)學學習方法，將這些學習方法滲透到學生今 后的數(shù)學學習中。 三、實踐應用，加深理解 1.課件出示教科書 P

19、113“練習二十七”第 1 題。 學生獨立解答后小組內(nèi)交流。 2.課件出示習題。 【教學提示】在 教學時，教師要設計 問題，引導學生進行 Earlybird 晨鳥教育 推理。 ◎教學筆記 【學情預設】在學生掌握了基本方法后，很多學生直接運用規(guī)律，不進行推理。 四、課堂小結(jié) 師：同學們，這節(jié)課就要結(jié)束了。你今天學了些什么？ 師：學了今天的知識能幫我們解決什么問題呢？ ?板書設計 5（1，1，1，1，1，） 2 次 8（1，1，1，1，1，1，1，1） 4 次 5（1，1，1，2） 2 次 8（2，2，2，2） 3 次 5（2，2

20、，1） 2 次 8（3，3，2） 2 次 5（1，1，3） 2 次 8（4，4） 3 次 ?教學反思 教學設計中，考慮到學生通過思考總結(jié)出方法比較困難，而從 3 瓶中找次品，只有一種 方法，從 8 瓶中找次品數(shù)據(jù)相對又比較大，所以增加了找 5 瓶中的次品這個環(huán)節(jié)，分解難點， 在較小數(shù)據(jù)中理解思路，掌握方法。所以到后來找 8 瓶中的次品時，直接填表格，學生相對 比較容易接受。 另外，從 3 瓶中找出一瓶次品，對于學生來說，得到這個結(jié)論不是很難。但是在表述時， 因為出現(xiàn)了“如果……”，這個跟以前的單一性結(jié)論和過程有很大的區(qū)別的說法，所以學生 在理解上還是有一定難度，特別是后面的從 5 瓶鈣

21、片中找出一瓶次品時，學生很難表述清楚， 之后還需要加強學生的語言表達能力，幫他們理順思路。 ?作業(yè)設計 一、有 3 個零件，其中 1 個是次品，比其他零件略重，請你用天平稱量的方法找到次品， 并記錄下來。 三、有 4 瓶同樣的降壓藥。 1. 用天平稱一稱，找出已經(jīng)吃了的那一瓶，用 ②、③、④代表這 4 瓶降壓藥）  表示稱的過程。（可以用①、 Earlybird 晨鳥教育 2.至少稱幾次可以保證找出吃了的那一瓶？ 參考答案 一、③① 1 三、2.至少稱兩次可以保證找出吃了的那一瓶。  ◎教學筆記 第 2 課時

22、 找次品（2） ?教學內(nèi)容 完成教科書 P113~114“練習二 十七”中第 2~6 題。 ?教學目標 1.通過練習，進 一步掌握找次品的 基本方法，了解稍復 雜的找次品問題的 解題策略。 2.運用數(shù)學的 方法解決生活中的 簡單問題，培養(yǎng)觀 察、分析、概括和推 理能力。 3.體會解決問 題策略的多樣性，初 步培養(yǎng)學生的應用 意識和解決實際問 題的能力，滲透優(yōu)化 思想。 ?教學重點 進一步掌握找 次品的方法，運用數(shù) 學的方法解決生活 中的簡單問題。 ?教學難點 靈活運用找次 品的方法解決類似 問題。 ?教學準備 課件。 ?教學過程 一、復習找次品 的方法 1

23、.鞏固練習。 Earlybird 晨鳥教育 課件出示教科書 P114 第 5 題問題。 師：猜一猜，至少稱幾次能保證找出質(zhì)量較輕的這袋糖果，并用圖來表示出找次品的過 程。 學生猜測后，課件繼續(xù)出示。  【教學提示】 學生完成填寫 前，引導學生理解圖 示的意思，再填。 師：請你們把找的過程在教科書 P114“練習二十七”第 5 題中寫出來。 （1）學生獨立在教科書上解答。 （2）全班展示交流。 【學情預設】學生可能能正確地推理，但是不一定能清晰地表達。只要思路正確，都可 以，教師適當?shù)匾?guī)范學生的語言。 【設計意圖】再次經(jīng)歷推理的過程，熟悉找

24、次品的最優(yōu)方法。 2.歸納找次品的方法。 師：從上節(jié)課到這節(jié)課，我們學會了用天平找次品，它的方法是怎樣的？ ◎教學筆記 Earlybird 晨鳥教育 【學情預設】找次品的方法：我們可以把這些物體分成3 份，能平均分的就平均分，不 能平均分的就盡量使最多的一份與最少的一份相差 1。 師：你在找次品的過程中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律呢？ 學生同桌討論。 【學情預設】學生可能會發(fā)現(xiàn)找次品時，從2~3 個物品中找次品，只需要 1 次，從 4~9 個物品中找次品，都需要 2 次…… 師：請同學們看教科書 P114“你知道嗎？”，你又可以知道什么？  ◎教學筆記

25、 【教學提示】 發(fā)現(xiàn)規(guī)律有一 定的難度，在此充分 【學情預設】教科書沒有直接給出結(jié)論，但是根據(jù)給出的數(shù)據(jù)，學生一般能發(fā)現(xiàn)規(guī)律： 讓學生表達，在表達 小于或等于 3n 個物體中有一個次品，至少需要稱 n 次才能保證找出次品。（板書） 【設計意圖】結(jié)合具體的數(shù)據(jù)，讓學生讀一讀“你知道嗎？”發(fā)現(xiàn)找次品問題中蘊含的 規(guī)律，并通過展示、交流，自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律，理解規(guī)律并能在實際問題中應用規(guī)律。 3.運用規(guī)律，解決問題。 師：有 20 個物品，其中有一個次品（已知次品比正品重或輕。），保證能找出次品至少 需要稱幾次？ 【學情預設】學生直接運用規(guī)律，發(fā)現(xiàn)只要稱 3 次就可以了，因為 9＜20

26、＜27，即 20 ＜33。 師：要保證 6 次能測出次品，待測物品可能是多少個？ 待測物品可能是 244 個。 【學情預設】這個問題是對前面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律的逆運用，對于學生而言有難度。若學生無 法獨立完成，就讓學生小組討論。有的可能說是 243，有的可能說是 729，引導學生討論。 師：到底是多少個呢？ 【學情預設】讓學生討論、辨析，發(fā)現(xiàn)244 個到 729 個都有可能，最多是 729 個，最少 是 244 個。 【設計意圖】通過具體的問題，加深學生對規(guī)律的理解。 二、通過探索，了解稍復雜的找次品問題 課件出示問題。 中理順思路。 （1）學生嘗試解答。 （2）反

27、饋交流。 【學情預設】預設 1：隨意取出兩袋，天平平衡的話，剩下的一袋就是次品。如果天平 不平衡，托盤較高的一袋(托盤較低的一袋)就是次品。 師：我們知道次品比正品輕還是重嗎？ 師：這樣稱一次能不能找到次品？ 師小結(jié)：這樣稱一次是不能知道這袋糖是比 500 克重還是比 500 克輕的。當天平不平衡 的時候，不知道重的是次品，還是輕的是次品。 預設 2：隨意取出兩袋，如果天平平衡的話，剩下的一袋就是次品，接著用剩下的一袋 和剛才其中一袋稱一稱，就能知道剩下的一袋比 500 克重還是比 500 克輕。如果天平不平衡 的話，取輕的一袋與剩下一袋稱一稱，如果還是不平衡的話，說明輕的一袋就是次

28、品，如果 Earlybird 晨鳥教育 ◎教學筆記 平衡的話，說明第一次稱的偏重的那一袋就是次品。 師：這種方法能找到次品嗎？ 師：為什么平衡和不平衡都要將多的那一袋再稱一次？ 師小結(jié)：這樣用天平多稱一次的目的就是幫助我們找到次品是偏重的還是偏輕的。 （3）拓展延伸。 師：有 8 袋白糖，其中 7 袋每袋 500 克，另一袋不是 500 克，但不知道比 500 克重還是 輕，至少稱幾次才能保證判斷出另一袋比 500 克輕還是重呢？學生獨立思考后把答案寫在練 習本上。 【設計意圖】沒有深入的思考是不可能得出準確的答案的，所以這是本節(jié)課我第二次安 排

29、的有意培養(yǎng)學生獨立思考的能力的環(huán)節(jié)，讓學生在思考的基礎上寫出答案，但多數(shù)同學寫 出來的答案還是有問題。于是“想一想你寫對了嗎”的提示語就顯得很有必要了。 三、基礎練習 1.完成教科書 P113“練習二十七”第 2 題。 （1）學生獨立解答。 （2）在巡視過程中發(fā)現(xiàn)典型做法，指名上臺板演出稱的過程。 （3）結(jié)合學生的板演，集中評價交流。 【設計意圖】鞏固用最優(yōu)的方法“找次品”，進一步體驗隨機思想，進一步理解“至少 稱幾次保證一定能夠找出次品”的含義。 2.完成教科書 P113“練習二十七”第 3、4 題。 （1）學生獨立完成兩道題。 （2）全班集中評價。 【設計意圖】

30、這兩道題都是運用已有的經(jīng)驗和知識解決問題，對于學生來說并不難，讓 學生獨立解答，充分發(fā)揮他們的主觀能動性。 四、課堂小結(jié) 師：本節(jié)課，我們又學習了找次品的方法，從中有哪些新的收獲呢？ 【學情預設】引導學生說出找次品的基本方法，結(jié)合具體的事例用簡單的語言表述稍復 雜的情況該如何處理。 ?板書設計 找次品（2） 小于或等于 3 n個物體中有一個次品，至少需要稱 n 次才能保證找出次品。 ?教學反思 本節(jié)課主要是通過進一步“找次品”的活動，讓學生在觀察、猜測、實驗等方式中感受 解決問題的多樣性，并通過歸納、推理的方法進一步滲透優(yōu)化思想。 ?作業(yè)設計 Earlybird