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1、2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第06講 函數(shù)的概念與運算
一、選擇題(共8小題)
1. 若 fx=axa>0且a≠1 對于任意實數(shù) x,y 都有 ??
A. fxy=fx?fy B. fxy=fx+fy
C. fx+y=fxfy D. fx+y=fx+fy
2. 設(shè)集合 M=x?2≤x≤2,N=y0≤y≤2,給出下列四個圖形,其中能表示以集合 M 為定義域,N 為值域的函數(shù)關(guān)系的是 ??
A. B. C. D.
3. 設(shè) fx=1,x>00,x=0?1,x<0,gx=1,x為有理數(shù)0,x為無理數(shù),則 fgπ 的值為 ??
A. 1 B.
2、 0 C. ?1 D. π
4. 下列各組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是 ??
A. y=1,y=xx B. y=x,y=3x3
C. y=x?1×x+1,y=x2?1 D. y=∣x∣,y=x2
5. 已知函數(shù) fx 的定義域為 ?∞,+∞,如果 fx+2016=2sinx,x≥0lg?x,x<0,那么 f2016+π4?f?7984= ??
A. 2016 B. 14 C. 4 D. 12016
6. 已知 fx 是一次函數(shù),且滿足 3fx+1=2x+17,則 fx 等于 ??
A. 23x+5 B. 23x+1 C. 2x?3 D. 2x+1
3、
7. 已知集合 A=0,12,B=12,1,fx=x+12,x∈A21?x,x∈B,若 x0∈A,且 ffx0∈A,則 x0 的取值范圍是 ??
A. 0,14 B. 14,12 C. 14,12 D. 0,38
8. 已知函數(shù) fx=ex?1,x≥0kx,x<0.若存在非零實數(shù) x0,使得 f?x0=fx0 成立,則實數(shù) k 的取值范圍是 ??
A. ?∞,?1 B. ?∞,?1 C. ?1,0 D. ?1,0
二、選擇題(共3小題)
9. 已知 f2x?1=4x2,則下列結(jié)論正確的是 ??
A. f3=9 B. f?3=4
C. fx=x2
4、 D. fx=x+12
10. 下列各選項給出的兩個函數(shù)中,表示相同函數(shù)的有 ??
A. fx=x 與 gx=x2
B. ft=∣t?1∣ 與 gx=∣x?1∣
C. fx=x 與 gx=log22x
D. fx=x2?1x+1 與 gx=x?1
11. 德國數(shù)學(xué)家狄里克雷(Dirichlet,PeterGustavLejeune,1805~1859)在 1837 年時提出:“如果對于 x 的每一個值,y 總有一個完全確定的值與之對應(yīng),那么 y 是 x 的函數(shù).”這個定義較清楚地說明了函數(shù)的內(nèi)涵.只要有一個法則,使得取值范圍中的每一個 x,有一個確定的 y
5、和它對應(yīng)就行了,不管這個法則是用公式還是用圖象、表格等形式表示,例如狄里克雷函數(shù) Dx,即:當(dāng)自變量取有理數(shù)時,函數(shù)值為 1;當(dāng)自變量取無理數(shù)時,函數(shù)值為 0.下列關(guān)于狄里克雷函數(shù) Dx 的性質(zhì)表述正確的是 ??
A. Dπ=0
B. Dx 的值域為 0,1
C. Dx 的圖象關(guān)于直線 x=1 對稱
D. Dx 的圖象關(guān)于直線 x=2 對稱
三、填空題(共16小題)
12. 設(shè)函數(shù) fx=2?x?1,x≤0x12,x>0,若 fx0>1,則 x0 的取值范圍是 ?.
13. 若 fx=log2x?1,x>22x,x≤2,則
6、ff5= ?.
14. 函數(shù) y=kxk≠0 的定義域為 ?,值域為 ?.
15. 已知 fx=x2+px+q,滿足 f?1=f2=0,則 f1=??.
16. 下列對應(yīng)為從集合 A 到集合 B 的一個函數(shù)的是 ?.
① A=R,B=xx>0,f:x→y=x;② A=Z,B=N*,f:x→y=x2;③ A=Z,B=Z,f:x→y=x;④ A=?1,1,B=0,f:x→y=0.
17. 若函數(shù) fx=x+1,x>03+2x,x≤0,則 f0
7、= ?,f3+f?3= ?.
18. 已知函數(shù) fx=log2x,x>03x,x≤0,則 ff12= ?.
19. 已知函數(shù) fx=x,x≤2x?1,x>2,若 fa>1,則 a 的取值范圍是 ?.
20. 已知函數(shù) fx=1?x,x≥02x,x<0,則 f2= ?.
21. 已知函數(shù) fx=21?x,x≤01?log2x,x>0,若 ∣fa∣≥2,則實數(shù) a 的取值范圍是 ?.
8、
22. 函數(shù) fx 對于任意實數(shù) x 都滿足條件 fx+2=1fx,若 f1=5,則 ff5= ?.
23. 設(shè) fx=11?x,則 ffx= ?.
24. 若函數(shù) fx=∣x+1∣+2∣x?a∣ 的最小值為 5,則實數(shù) a= ?.
25. 若函數(shù) y=x+2,x≤?1x2+2,x>?1,則當(dāng) x= ?時,fx=3.
26. 已知函數(shù) fx=3x+2,x<1,x2+ax,x≥1, 若 ff0=4a,則實數(shù) a=
9、 ?.
27. 已知點 A2,?5,B?1,4,C5,1,連接 AB,AC,若用 fx 表示所得折線段的函數(shù)解析式,則 fx= ?.
四、解答題(共5小題)
28. 構(gòu)建一個問題情境,使其中的變量關(guān)系能用解析式 y=x 來描述.
29. 求下列函數(shù)的表達式:
(1)已知 y=fx 是一次函數(shù),且 ffx=4x?1,求函數(shù) y=fx 的表達式;
(2)已知 fx+1=x2+2x+2,求函數(shù) y=fx 的表達式;
(3)已知 fx?2f1x=3x+2x≠0,求函數(shù) y=fx 的表達式.
30. 根據(jù)下列
10、條件,求函數(shù)的解析式:
(1)已知 fx+1=x+2x;
(2)若 fx 對于任意實數(shù) x 恒有 2fx?f?x=3x+1;
(3)已知 f0=1,對任意的實數(shù) x,y 都有 fx?y=fx?y2x?y+1.
31. 已知 fx 是二次函數(shù),且 f0=0,fx+1=fx+x+1,求 fx 的解析式.
32. 如圖,在邊長為 4 的正方形 ABCD 上有一點 P,沿著折線 BCDA 由 B 點(起點)向 A 點(終點)移動,設(shè)點 P 移動的路程為 x,△ABP 的面積為 y=fx.
(1)求 △ABP 的面積與點 P 移動的路程間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)作出函數(shù)
11、的圖象,并根據(jù)圖象求 y 的最大值.
答案
1. D
【解析】因為 fx+y=ax+y=ax+ay,fx=ax,fy=ay,所以 fx+y=fx+fy.
2. B
【解析】選項A中,函數(shù)的定義域不是集合 M;選項C不是函數(shù)關(guān)系;選項D中,函數(shù)的值域不是集合 N,故選B.
3. B
【解析】因為 gπ=0,所以 fgπ=f0=0.
4. B
5. C
【解析】由題意得,f2016+π4=2sinπ4=1,f?7984=f2016?10000=lg10000=4,
所以 f2016+π4?f?7984=4.
6. A
【解析】因為 fx 是一次函數(shù),
12、
所以設(shè) fx=ax+ba≠0,
由 3fx+1=2x+17,得 3ax+1+b=2x+17,
整理得 3ax+3a+b=2x+17,
所以 3a=2,3a+b=17.
所以 a=23,b=5.
所以 fx=23x+5.
7. B
【解析】根據(jù)題意,fx=x+12,x∈A21?x,x∈B,
若 x0∈A,
即 0≤x0<12,fx0=x0+12,
有 12≤fx0<1,
則 ffx0=21?fx0=1?2x0,
若 ffx0∈A,
則 0≤1?2x0<12,
可解得:14
13、B, D
【解析】f2x?1=2x?12+22x?1+1,
故 fx=x2+2x+1,故選項C錯誤,選項D正確.
f3=16,f?3=4,故選項A錯誤,選項B正確.
10. B, C
【解析】對于A,函數(shù) fx=x 與 gx=x2=∣x∣ 的解析式不同,表示相同函數(shù);
對于B,函數(shù) ft=∣t?1∣ 的定義域為 R,gx=∣x?1∣ 的定義域為 R,定義域相同,對應(yīng)關(guān)系也相同,是相同函數(shù);
對于C,函數(shù) fx=x 的定義域為 R,gx=log22x=x 的定義域為 R,定義域相同,對應(yīng)關(guān)系也相同,是相同函數(shù);
對于D,函數(shù) fx=x2?1x+1=x?1 的定義域為 ?∞,
14、?1∪?1,+∞,gx=x?1 的定義域為 R,定義域不同,不是相同函數(shù).
11. A, B, C, D
【解析】由題意可得 Dx=0,x為無理數(shù)1,x∈Q,
由于 π 為無理數(shù),則 Dπ=0,故A正確;
結(jié)合函數(shù)的定義及分段函數(shù)的性質(zhì)可知,函數(shù)的值域 0,1,故B正確;
結(jié)合函數(shù)可知,當(dāng) x∈Q 時,Dx=1 關(guān)于 x=1,x=2 都對稱,當(dāng) x 為無理數(shù)時,Dx=0 關(guān)于 x=1,x=2 都對稱.
12. ?∞,?1∪1,+∞
13. 4
14. ?∞,0∪0,+∞,?∞,0∪0,+∞
15. ?2
【解析】由 f?1=f2=0 可解得 p=?1,q=
15、?2,
所以 fx=x2?x?2,
于是 f1=12?1?2=?2.
16. ④
【解析】①②不滿足存在性;③不滿足任意性.
17. 3,?1
18. 13
【解析】因為函數(shù) fx=log2x,x>03x,x≤0,
所以 f12=log212=?1,
ff12=f?1=3?1=13.
19. a>1
20. ?1
【解析】因為函數(shù) fx=1?x,x≥02x,x<0,
所以 f2=1?2=?1.
21. ?∞,12∪8,+∞
22. 5
【解析】由 fx 滿足 fx+2=1fx,得函數(shù) fx 的最小正周期 T=4.
所以 ff5=ff1=f5=f
16、1=5.
23. x?1x(x≠0,且 x≠1)
24. ?6 或 4
【解析】當(dāng) a≤?1 時,
fx=?3x+2a?1,x≤ax?2a?1,a?1,
所以 fa=fxmin=?a?1,
所以 ?a?1=5,
所以 a=?6.
當(dāng) a>?1 時,
fx=?3x+2a?1,x≤?1?x+2a+1,?1a,
所以 fa=fxmin=a+1,
所以 a+1=5,
所以 a=4.
綜上,a=?6或4.
25. 1
26. 2
【解析】因為函數(shù) fx=3x+2,x<1,x2+ax,x≥1,
所以
17、f0=2,f2=4+2a=4a,解得 a=2.
27. y=?3x+1,?1≤x≤22x?9,2≤x≤5
【解析】線段 AB 的方程為 y+5=?3x?2,?1≤x≤2,即 y=?3x+1,?1≤x≤2,線段 AC 的方程為 y+5=2x?2,2≤x≤5,即 y=2x?9,2≤x≤5,
故所求的折線段的解析式為 y=?3x+1,?1≤x≤22x?9,2≤x≤5.
28. 設(shè)邊長為 y 的正方形面積為 x,正方形周長不超過 100,那么 y 是 x 的函數(shù),定義域是 A=x0
18、長 x 相對應(yīng).
29. (1) 據(jù)題意,設(shè) fx=kx+bx≠0,則ffx=fkx+b=kkx+b+b=k2x+kb+b=4x?1.
則有 k2=4,kb+b=?1, 解得 k=2,b=?13. 或 k=?2,b=1.
fx=2x?13.或 fx=?2x+1.
??????(2) 令 t=x+1,則 x=t?1,ft=t?12+2t?1+2=t2+1.
所以,fx=x2+1.
??????(3) 由題意,得 fx?2f1x=3x+2,f1x?2fx=3x+2, 解得 fx=?x?2x?2.
所以,fx=?x?2x?2.
【解析】說明(1)已知函數(shù)模型(如一次函數(shù),二次函數(shù)
19、,反比例函數(shù)等)求函數(shù)表達式時,可用待定系數(shù)法;(2)已知 fgx 的表達式求 y=fx 的表達式時,可用換元法;(3)已知同時含有 fx 與 f1x 或 fx 與 f?x 的表達式求 y=fx 的表達式時,可用聯(lián)立消元法.
30. (1) (方法 1)(換元法):設(shè) t=x+1,則 x=t?12t≥1.代入原式有 ft=t?12+2t?1=t2?2t+1+2t?2=t2?1.所以 fx=x2?1x≥1.
(方法 2)(配湊法):因為 x+2x=x2+2x+1?1=x+12?1,所以 fx+1=x+12?1x+1≥,即 fx=x2?1x≥1.
??????(2) 用 ?x 換 x 得 2
20、f?x?fx=?3x+1,與原式聯(lián)立消去 f?x 得 fx=x+1.
??????(3) 令 x=0,得 f?y=f0?y?y+1=1+y2?y,fy=y2+y+1,即 fx=x2+x+1.
31. 設(shè) fx=ax2+bx+ca≠0,
由 f0=0,知 c=0,fx=ax2+bx,
又由 fx+1=fx+x+1,
得 ax+12+bx+1=ax2+bx+x+1,
即 ax2+2a+bx+a+b=ax2+b+1x+1,
所以 2a+b=b+1,a+b=1,
解得 a=b=12.
所以 fx=12x2+12x,x∈R.
32. (1) 考慮到點 P 在正方形 ABCD 四邊上移動時 △ABP 的面積 y 與路程 x 的解析式不同,應(yīng)分段進行考慮,
首先,這個函數(shù)的定義域為 0,12.
當(dāng) 0