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1、8.6空間直線、平面的垂直
一、選擇題(共14小題)
1. 若 平面α⊥平面β,平面α∩平面β= 直線 l,則 ??
A. 垂直于平面 β 的平面一定平行于平面 α
B. 垂直于直線 l 的直線一定垂直于平面 α
C. 垂直于平面 β 的平面一定平行于直線 l
D. 垂直于直線 l 的平面一定與平面 α,β 都垂直
2. 已知 l,m 是兩條不同的直線,α 是一個平面,則下列命題中正確的是 ??
A. 若 l∥α,m?α,則 l∥m B. 若 l∥α,m∥α,則 l∥m
C. 若 l⊥m,m?α,則 l⊥α D. 若 l⊥α,l∥m,則 m⊥α
2、
3. 對于直線 m,n 和平面 α,β 能得出 α⊥β 的一個條件是 ??
A. m⊥n,m∥α,n∥β B. m⊥n,α∩β=m,n?α
C. m∥n,n⊥β,m?α D. m∥n,m⊥α,n⊥β
4. 如圖所示,四邊形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90° 將 △ABD 沿 BD 折起,使 平面ABD⊥平面BCD,構成三棱錐 A?BCD,則在三棱錐 A?BCD 中,下列命題正確的是 ??
A. 平面ABD⊥平面ABC B. 平面ADC⊥平面BDC
C. 平面ABC⊥平面BDC D. 平面ADC⊥平面ABC
3、
5. 設 x1,x2∈R,則“x1+x2>6 且 x1x2>9”是“x1>3 且 x2>3”的 ??
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
6. 如圖,在正三棱柱 A1B1C1?ABC 中,E 是 BC 中點,則下列結論正確的是 ??
A. CC1 與 B1E 是異面直線
B. AC⊥平面ABB1A1
C. AE,B1C1 為異面直線,且 AE⊥B1C1
D. A1C1∥平面AB1E.
7. 在長方體 ABCD?A1B1C1D1 中,AB=2AD,E 為棱 CD 的中點,則 ??
A.
4、 A1E⊥DD1 B. A1E⊥DB C. A1E⊥D1C1 D. A1E⊥DB1
8. 在正方體中 ABCD?A1B1C1D1 中,E 為棱 CD 的中點,則 ??
A. A1E⊥DC1 B. A1E⊥BD C. A1E⊥BC1 D. A1E⊥AC
9. 設 平面α⊥平面β,且 α∩β=l,直線 a∈α,直線 b∈β,且 a 不與 l 垂直,b 不與 l 垂直,那么 a 與 b ??
A. 可能垂直,,可能平行 B. 可能平行,不可能垂直
C. 可能垂直,也可能平行 D. 不可能垂直,也不可能平行
10. 空間中直線 l 和三角形的一邊 AC 及另
5、一邊 BC 的中線同時垂直,則這條直線和三角形的第三邊 AB 的位置關系是 ??
A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 不確定
11. 過平面 α 外一點 A 引線段 AB,AC 以及垂段 AO,若 AB 與 α 所成角是 30°,AO=6,AC⊥BC,則線段 BC 長的范圍是 ??
A. 0,6 B. 6,+∞ C. 0,63 D. 63,+∞
12. 設 A,B,C,D 是空間中四個不同的點,下列命題中,不正確的是 ??
A. 若 AC 與 BD 共面,則 AD 與 BC 共面
B. 若 AC 與 BD 是異面直線,則 AD 與 BC 是異面直線
6、 C. 若 AB=AC,DB=DC,則 AD=BC
D. 若 AB=AC,DB=DC,則 AD⊥BC
13. 已知在空間四邊形 ABCD 中,AD⊥BC,AD⊥BD,且 △BCD 是銳角三角形,則必有 ??
A. 平面ABD⊥平面ADC B. 平面ABD⊥平面ABC
C. 平面ADC⊥平面BDC D. 平面ABC⊥平面BDC
14. 如圖所示,在斜三棱柱 ABC?A1B1C1 中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,則 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在 ??
A. 直線 AB 上 B. 直線 BC 上 C. 直線 AC 上 D. △ABC 內部
7、
二、填空題(共7小題)
15. 在 Rt△ABC 中,D 是斜邊 AB 的中點,AC=6,BC=8,EC⊥平面ABC 且 EC=12,則 ED= ?.
16. 如圖,AP⊥平面ABC,△ABC 中 BC⊥AC,則圖中直角三角形的個數為 ?.
17. 如圖,PA⊥平面ABC,在 △ABC 中,∠ACB=90°,則圖中直角三角形的個數是 ?.
18. 如圖,AB 是 ⊙O 的直徑,C 是圓周上不同于 A,B 的點,PA 垂直于 ⊙O 所在的平面,AE⊥PB
8、 于 E,AF⊥PC 于 F,因此, ? ⊥平面PBC.(填圖中的一條直線)
19. 將直角三角形 ABC 沿斜邊上的高 CD 折成互相垂直的兩個平面 ACD 和 BCD,連接 AB,所得圖形中互相垂直的平面共有 ? 對.
20. 若 α⊥β,α∩β=l,點 P∈α,P?l,則下列命題中正確的為 ?.(只填序號)
①過 P 且垂直于 l 的平面垂直于 β;
②過 P 且垂直于 l 的直線垂直于 β;
③過 P 且垂直于 α 的直線平行于 β;
④過 P 且垂直于 β
9、的直線在 α 內.
21. 如圖所示,∠BCA=90°,PC⊥平面ABC,則在 △ABC,△PAC 的邊所在的直線中:1 與 PC 垂直的直線有 ?;2 與 AP 垂直的直線有 ?.
三、解答題(共5小題)
22. 已知 CD 是 α,β 的交線,EA⊥α,垂足為 A,EB⊥β,垂足為 B,求證:CD⊥AB.
23. 如圖,在多邊形 ABPCD 中(圖 1),四邊形 ABCD 為長方形,△BPC 為正三角形,AB=3,BC=32,現以 BC 為折痕將 △BPC 折起,使點 P 在平面 ABCD 內
10、的射影恰好是 AD 的中點(圖 2).
(1)證明:AB⊥平面PAD.
(2)若點 Q 是線段 AB 的中點,點 E 在線段 PB 上,且 PE=13PB,求三棱錐 E?QDC 的體積.
24. 如圖,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,BC>AD,AB⊥AD,E 是邊 BC 上一點,且 CD=CE,將 △CDE 沿 DE 折起到 △PDE 的位置,使 PA=PB.求證:平面PDE⊥平面ABED.
25. 在邊長為 a 的菱形 ABCD 中,∠ABC=60°,PC⊥平面ABCD,求證:平面PDB⊥平面PAC.
26. 如圖所示,已知在四棱錐 S
11、?ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,SA⊥平面ABCD,過 A 作 AE⊥SB 于 E,過 E 作 EF⊥SC 于 F.
(1)求證:AF⊥SC;
(2)若平面 AEF 交 SD 于 G,求證:AG⊥SD.
答案
1. D
【解析】對于 A,垂直于平面 β 的平面與平面 α 平行或相交,故A錯;
對于 B,垂直于直線 l 的直線與平面 α 垂直、斜交、平行或在平面 α 內,故B錯誤;
對于 C,垂直于平面 β 的平面與直線 l 平行或相交,故C錯;
2. D
【解析】由題意,A中,若 l∥α,m?α,則 l∥m 或 l 與 m 異面,所以不正確;
B中
12、,若 l∥α,m∥α,則 l∥m 或 l 與 m 相交或異面,所以不正確;
C中,若 l⊥m,m?α,則 l⊥α 或 l 與平面 α 斜交或平行,所以不正確;
D中,若 l⊥α,l∥m,則 m⊥α 是正確的,故選D.
3. C
【解析】正方體 ABCD?A1B1C1D1 中,連接 AC,A1C1,把 AD 看作直線 m,BB1 看作直線 n,把平面 BB1C1C 作為平面 α,平面 AA1C1C 作為平面 β.對于 A 雖滿足 m⊥n,m∥α,n∥β,但 α 不垂直于 β,從而否定 A.類似地可否定 B 和 D.
4. D
【解析】由題意知,在四邊形 ABCD 中,可證 CD⊥
13、BD.
因為 平面ABD⊥平面BCD,且兩平面的交線為 BD,
所以 CD⊥平面ABD,
從而 CD⊥AB.
又 AB⊥AD,
所以 AB⊥平面ADC,
于是 平面ADC⊥平面ABC.
5. B
【解析】充分性:當 x1=2,x2=8,滿足 x1+x2>6 且 x1x2>9,
但 x1>3 且 x2>3 不成立,故充分性不成立;
必要性:當 x1>3 且 x2>3 時,根據不等式性質得,x1+x2>6 且 x1x2>9 成立,故必要性成立.
綜上所述:“x1+x2>6 且 x1x2>9" 是“x1>3 且 x2>3" 的必要不充分條件.
故選:B.
6. C
7
14、. B
【解析】連接 AE,BD,
因為 AB=2AD,
所以 ABAD=ADDE=2,
所以 △ABD∽△DAE,
所以 ∠DAE=∠ABD,
所以 ∠EAB+∠ABD=90°,即 AE⊥BD,
所以 BD⊥平面A1AE,
所以 A1E⊥DB.
8. C
【解析】畫出正方體 ABCD?A1B1C1D1,如圖所示.
對于選項A,連 D1E,若 A1E⊥DC1,又 DC1⊥A1D1,所以 DC1平面A1ED1,所以可得 DC1⊥D1E,顯然不成立,所以A不正確.
對于選項B,連 AE,若 A1E⊥BD,又 BD⊥AA1,所以 DB⊥平面A1AE,故得 BD⊥A
15、E,顯然不成立,所以B不正確.
對于選項C,連 AD1,則 AD1∥BC1.連 A1D,則得 AD1⊥A1D,AD1⊥ED,所以 AD1⊥平面A1DE,從而得 AD1⊥A1E,所以 A1E⊥BC1.所以C正確.
對于選項D,連 AE,若 A1E⊥AC,又 AC⊥AA1,所以 AC⊥平面A1AE,故得 AC⊥AE,顯然不成立,所以D不正確.
9. B
10. B
11. C
【解析】如圖,
AO⊥α,則 AO⊥BC,又 AC⊥BC,
所以 BC⊥平面AOC,則 BC⊥OC,
在 Rt△AOB 中,由已知可得 OB=63,
則在平面 α 中,要使 △OCB 是以 O
16、B 為斜邊的直角三角形,
則 BC∈0,63.
12. C 【解析】若 AB=AC,DB=DC,AD 不一定等于 BC,C 不正確.
13. C
【解析】因為 AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,
所以 AD⊥平面BDC,又 AD?平面ADC,
所以 平面ADC⊥平面BDC.
14. A 【解析】連接 AC1,
因為 ∠BAC=90°,
所以 AB⊥AC,
又 AC⊥BC1,BC1∩AB=B,
所以 AC⊥平面ABC1,
又 AC?平面ABC,
所以 平面ABC⊥平面ABC1.
因為 平面ABC1∩平面ABC=AB,
所以點 C1 在平面 ABC 上的射
17、影 H 必在兩平面的交線 AB 上.
15. 13
16. 4
17. 4
18. AF
【解析】因為 AB 是 ⊙O 的直徑,C 是圓周上不同于 A,B 的點,
所以 BC⊥AC,
因為 PA 垂直于 ⊙O 所在的平面,
所以 BC⊥PA,
又 PA∩AC=A,
所以 BC⊥平面PAC,
又 AF?平面PAC,
所以 AF⊥BC,
又 AF⊥PC,BC∩PC=C,
所以 AF⊥平面PBC.
19. 3
【解析】平面 ADC⊥平面BDC,平面 ADC⊥平面ADB .平面 BCD⊥平面ADB.
20. ①③④
21. AB,AC,BC,B
18、C
【解析】1 因為 PC⊥平面ABC,AB,AC,BC?平面ABC,
所以與 PC 垂直的直線有 AB,AC,BC.
2 ∠BCA=90°,
即 BC⊥AC,
又 BC⊥PC,AC?PC=C,
所以 BC⊥平面PAC,
又 AP?平面PAC,
所以 BC⊥AP.
22. 略.
23. (1) 取 AD 的中點 O,連接 PO,
由題知 PO⊥平面ABCD,
因為 AB?平面ABCD,
所以 PO⊥AB,
因為 AB⊥AD,PO∩AB=O,
所以 AB⊥平面ABCD.
??????(2) 由(1)知 AB⊥平面ABCD,
因為 PA?平面AB
19、CD,
所以 AB⊥PA,
所以 PA=PB2?AB2=3,PO=PA2?OA2=322,
所以點 E 到平面 ABCD 的距離為 h=2,
因為 S△QCD=12×CD×BC=922,
所以 VE?QDC=13×S△QDC×h=13×922×2=3.
24. 分別取邊 AB,DE 的中點 M,N,
連接 PM,PN,MN,
則 MN∥AD,
因為 AB⊥AD,
所以 AB⊥MN.
又 PA=PB,
則 AB⊥PM,
所以 AB⊥平面PMN,
因此 AB⊥PN.
又知 PD=PE,
所以 DE⊥PN,
又因為 AB,DE 是相交直線,
所以 PN⊥平面AB
20、ED,
又 PN?平面PDE,
因此 平面PDE⊥平面ABED.
25. 因為 PC⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,
所以 PC⊥BD,
因為四邊形 ABCD 為菱形,
所以 AC⊥BD,
又 PC∩AC=C,PC,AC?平面PAC,
所以 BD⊥平面PAC,
因為 BD?平面PBD,
所以 平面PDB⊥平面PAC.
26. (1) 因為 SA⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,
所以 SA⊥BC.
因為底面 ABCD 是矩形,所以 BC⊥AB.
又因為 AB∩SA=A,
所以 BC⊥平面SAB.
又因為 AE?平面SAB,所以 BC⊥AE.
又因為 A
21、E⊥SB,SB∩BC=B,
所以 AE⊥平面SBC.
又因為 SC?平面SBC,
所以 AE⊥SC.
又 EF⊥SC,且 EF∩AE=E,
所以 SC⊥平面AEF.
又因為 AF?平面AEF,
所以 AF⊥SC.
??????(2) 因為 SA⊥平面ABCD,DC?平面ABCD,
所以 SA⊥DC.
又因為 AD⊥DC,SA∩AD=A,
所以 DC⊥平面SAD.
又因為 AG?平面SAD,
所以 DC⊥AG.
由(1)有 SC⊥平面AEF,又 AG?平面AEF,
所以 SC⊥AG.
又因為 SC∩DC=C,
所以 AG⊥平面SCD.
又因為 SD?平面SCD,
所以 AG⊥SD.
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