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1、第一章 實變函數(shù)初步,第一節(jié) 直線上點集的勒貝格測度與可測函數(shù),勒貝格測度與勒貝格可測集,可測函數(shù),測度：歐氏空間中長度、面積和體積概念的推廣,可測函數(shù)列的極限問題,一、點集的勒貝格測度與可測集,1. 幾個特殊點集的測度,設E為直線R上的有限區(qū)間a,b(或(a,b)或a,b)或(a,b), 則其測度定義為：m(E)=m(a,b)=b-a.,(2) 設E為平面上有界閉區(qū)域D, 則其測度定義為: m(E)=SD,(4) 若E =，則定義m(E)=m()= 0,(3) 設E為空間上有界閉區(qū)域, 則其測度定義為:m(E)=V,(6) 若E為一隨機事件，則定義m(E)=P(E) (古典概率）,(5) 若

2、E=x是單點集，則定義m(E)=0,2.直線上非空有界開集與有界閉集的測度,定義1 設E R非空點集，a R.,(1) 設 0, 稱開區(qū)間(a , a + )=O(a, )為a 的鄰域。,直線上包含a的任一開區(qū)間(, )均可稱為點a的鄰域,(2) 設aE, 若存在a的一個鄰域(,),使得(,) E，則稱a是E的內(nèi)點；,定義2 設E R非空點集. 如果E中的所有點都是內(nèi)點，則稱E是開集；,定義3 設G是直線R上的一個有界開集。如果開區(qū)間(, ) 滿足條件:,1) (, )G 2) G, G,則稱(, )為開集G 的一個構(gòu)成區(qū)間,定義4 設G為直線R上的有界開集(即(a,b)G), (ai,

3、bi)(iI)為G的構(gòu)成區(qū)間，則定義 m(G)=(biai) (0

4、 1）xA ，有x ； 2） 0, x0 則稱 為A的上確界, 記作：,（2）如果存在一個實數(shù) ，滿足： 1） xA ，有x ； （2） 0, x0< + , 則稱 為A的下確界, 記作：,定理2（確界存在公理）任何有上（下）界的數(shù)集必有上（下）確界。,3.直線上一般有界點集的勒貝格（Lebesgue)測度,3.直線上一般有界點集的勒貝格（Lebesgue)測度,定義7 設ER為任一有界集.,稱一切包含E的有界開集的測度的下確界為E的L外測度，記為m*(E), 即,m*(E)=inf m(G)| G為有界開集, EG ,(2) 稱一切包含于E的有界集的測度的上確界為E的L內(nèi)測度

5、，記為m(E), 即,m(E)= supm(F)| F為有界閉集, FE,(3) 如果m(E)=m(E), 則稱E的內(nèi)測度與外測度的共同值為E的L測度，記為m(E), 即,這時, 也稱E是勒貝格可測集(簡稱L可測集),m(E)=m*(E)=m(E),注:,1)對于有界開集G, 有m(G)=m*(G),2)對于有界閉集F, 有m(F)=m(F),3)對于任一非空有界集E, 有m(E)m*(E) (根據(jù)定義),定理3 設X=(a,b)是基本集(有界), E, EiX (i=1,2,)均為有界可測集, 則有 EC=X-E、E1E2、E1E2、E1-E2、Ei、Ei均可測，且,1) m(E)0, 且E

6、=時, m(E)=0 (非負性),3) m(E1E2)m(E1)+m(E2) (次可加性),若E1E2, 則 m(E1) m(E2) (單調(diào)性),m(E2E1)=m(E2)-m(E1),4.可測集的性質(zhì),4) 若E1E2=, 則m(E1E2)=m(E1)+m(E2) (有限可加性),5) 若Ei Ej= (ij, i,j=1,2,), 則m(Ei)=m(Ei),(可列可加性),1) 若E1 E2 Ek, 則E=Ek可測, m(E)=lim m(Ek),定理4 設X=(a,b)是基本集, Ek是X上的可測集列。,2) 若E1 E2 Ek, 則E=Ek可測, m(E

7、)=lim m(Ek),定理5 設ER有界, 則E 可測存在開集G和閉集F,使 FEG, 且m(G-F)<,證:,“” E可測 m(E)= m*(E)=m(E),“” 0, 開集G和閉集F,使FEG, 且m(G-F)<,0, 開集G E 和閉集FE,使, m(E)-m(E)

8、性”或“閉記的定義”,(2) 0, 1中的有理點集是可列集，因而是L可測集，且其測度為零.,5.幾個值得注意的問題,1）關(guān)于無界集的測度問題,定義4 設ER為任一無界點集，如果對x0, 有界集(-x, x)E可測, 則稱E是可測的. 并記,注:,1)無界點集的測度可能是有限值, 也可能是無窮大. 例如, 有理數(shù)集Q是無界的零測集, E=(0,+)是測度為+的可測集.,2)對于無界集, 上述定理3的結(jié)論也成立.,2）L可測集類與波賴爾(Borel)集,定義5 (1) R中所有L可測集構(gòu)成的集合稱為L可測集類.,(2) 對R中的開集和并集進行至多可列次的交、并、差運算所得到的集合稱為波賴

9、爾(Borel)集. 所有波賴爾(Borel)集都是L可測集.,注：大多數(shù)集合都是L可測集，但L不可測集確實存在.,二、點集上的勒貝格可測函數(shù),1.可測函數(shù)的定義,定義6 設ER為任一可測集（有界或無界）, f(x)為定義在E上的實值函數(shù).若R, E的子集 E(f )=x|f(x), xE 都是L有限可測集, 則稱f (x)是E上的L可測函數(shù),E(f )=x1,x2x3,b E(f )=x4,x5,2. 函數(shù)可測的充分必要條件,定理4 f(x)在可測集E上的可測函數(shù)，即E(f )可測,, R, E(f<)=x|f(x)< , xE可測,R, E(f=)=x|f(x)=, xE可測,R, E(f

10、<)=x|f(x)<, xE可測,R, E(f)=x|f(x), xE可測,R, E(f)=x|f(x), xE可測,證:,(1) E(f<)=E(f)-E(f)可測 E(f)= E(f<+n),(5) E(f=)=E(f )-E(f ),(4) E(f<)=E-E(f),(3) E(f)=E-E(f)=f<+1/n,(2) E(f)=E(f+1/n), E(f)=E(f1/n),例5 定義在R上連續(xù)函數(shù)都是L可測函數(shù).,f(x)連續(xù)x0E(f)R, f(x)f(x0) (xx0),O(x0,), 使xO(x0,), 有f(x)，即x E(f) (極限保號性

11、）,證：x0E(f)f(x0),(只要證明R, 集E(f)是開集, 則它一定是可測集),,f(x)是可測函數(shù),O(x0, )E(f)x0 是E(f)的內(nèi)點， E(f)是開集,E(f)是可測集,例6 區(qū)間0,1上的狄里克來函數(shù)D(x)是L可測函數(shù).,證:,當1時, E(D)=是可測集,,當0時, E(D)=0,1是可測集. 因此, D(x)是L可測函數(shù),當0)=x| x為0,1中的有理數(shù)是可測集,,例7 定義在零測集E上的任何函數(shù)f(x)都是L可測函數(shù).,證: R, E(f)=x|f(x), xEE, f(x)是可測函數(shù),m(E(f))=0,m(E(f))m(E)=0,E(f)也是零測集,例8

12、集E的特征函數(shù)E(x)是R上的可測函數(shù).,證:,定理6 f(x)、g(x)是E上的可測函數(shù),kf(x)、f(x)g(x)、f(x)g(x)、f(x)/g(x)(g(x)0)、,及f(x)都E上的可測函數(shù),當1時, E(E)=是可測集,,當0時, E(E)=R是可測集,當0<1時, E(E )=E是可測集,,(x)是L可測函數(shù),三、函數(shù)列的收斂性問題,1 函數(shù)列的處處收斂性與一致收斂性概念,定義7 設fn(x)是定義在點集上的一個函數(shù)列，f(x)是定義 在上的一個函數(shù).,fn(x)在點集E上處處收斂于f(x),(2) fn(x)在點集E上一致收斂于f(x),0, xE, N=N(), 當nN時,

13、 有fn(x)-f(x)<。,記作 fn(x)f(x) (n),0, xE, N=N(x, ),當nN時, 有fn(x)-f(x)<。,1) 在處處收斂的定義中, N=N(x, )不但與有關(guān), 而且與x點有關(guān)，即便對于同一個, 當x不同時, 求出的N也不相同.,注:,2) 在一致收斂的定義中, N=N()只與有關(guān), 而與x點位置無關(guān). 一致收斂的幾何意義如下：,在幾何上表示: 當nN時, 曲線列fn(x)的圖形都在曲線 f(x)的帶形鄰域內(nèi).,x(0,1)時, fn(x)=xn0 (n),N既與有關(guān),又與x有關(guān),要使曲線fn(x)=xn上的對應點落到極限函數(shù)f(x)=0的帶形鄰域內(nèi),在x1處,

14、只要 n2即可,而在x2處,則要n10才行,3) fn(x)一致收斂于f(x)fn(x)一處處斂于f(x), 反之不然。例如,在點集E上, 函數(shù)列fn(x)一致收斂于f(x),證:,定理6 (柯西定理), xE, fn(x)是基本列 。,0, xE, N=N(), 當m, nN時, 有fm(x)-fn(x)<,定理7 (連續(xù)性) 設fn(x)是E上的連續(xù)函數(shù)列. 如果fn(x)在E上一致收斂于f(x),則極限函數(shù)f(x)也在E上連續(xù).,2 函數(shù)列一致收斂的性質(zhì),定理8（可積性）設fn(x)是區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)列. 如果fn(x)在a,b上一致收斂于f(x), 則極限函數(shù)f(x)在E上區(qū)間a

15、,b上可積, 且,推論 設fn(x)是區(qū)間a,b上的可積函數(shù)列. 如果fn(x)在a,b上一致收斂于f(x), 則極限函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上可積. 且,3）求極限與求微分（求導）可以交換次序,注: 函數(shù)序列一致收斂時, 有,1）函數(shù)序列的連續(xù)性、可積性都 可以傳遞給極限函數(shù),2）求極限與求積分可以交換次序,3 可測函數(shù)列的幾乎處處收斂、依測度收斂及近一致收斂,定義8 設fn(x)是可測集E上的可測函數(shù)列，f(x)是定義 在E上的函數(shù). 則,fn(x)在集E上幾乎處處收斂于f(x),定理9 設fn(x)是可測集E上的可測函數(shù)列, 且 lim fn(x)=f(x) (a.e.), 則f(x)也

16、是E上的可測函數(shù).,記作：fn(x)f(x) (a.e.)(n),E0E，m(E0)=0, 且當xEE0時, fn(x)f(x) (n),m(xlimfn(x)f(x), xE)=0,0, lim m(Exfn(x)-f(x))=0,fn(x)在集E上依測度收斂于f(x),0, 0, N, 當nN時, 有m(E(fn(x)-f(x)))<,定義9 設fn(x)是可測集E上的可測函數(shù)列，f(x)是定義 在E上的可測函數(shù). 則,定義10 設fn(x)是可測集E上的幾乎處處有限的可測函數(shù)列, 如果0, 可測子集E E, 使m(E-E)<, 且fn(x)在E 上一致收斂于f(x), 則稱fn(x)在E

17、上近一致收斂于f(x) .,定理10 設fn(x)是可測集E上的幾乎處處有限的可測函數(shù)列, f(x)是定義在E上的幾乎處處有限的可測函數(shù), 且lim fn(x)=f(x) (a.e.), 則,定理11 (Riesz定理) 設m(E)<, 則 fn(x)在E上依測度收斂于f(x) 子列fnk(x)fn(x), 使fnk(x)f(x) (a.e.) (k),(2) fn(x)在E上依測度收斂于f(x). (勒貝格定理),fn(x)在E上近一致收斂于f(x). (葉果洛夫定理),fn(x)幾乎處處收斂于f(x),fn(x)近一致收斂于f(x),fn(x)依測度收斂于f(x),fn(x)中存在幾乎處處收斂于f(x)的子列fnk(x),fn(x)處處收斂于f(x),fn(x)一致收斂于f(x),4 函數(shù)列的各種收斂之間的關(guān)系,,,,,,