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1、第五章 三角形單元的有限元法,5.1 基本思想,把整體結(jié)構(gòu)離散為有限個(gè)單元，研究單元的平衡和變形協(xié)調(diào)；再把這有限個(gè)離散單元集合還原成結(jié)構(gòu)，研究離散結(jié)構(gòu)的平衡和變形協(xié)調(diào)。劃分的單元大小和數(shù)目根據(jù)計(jì)算精度和計(jì)算機(jī)能力來確定。,彈性懸臂板剖分與集合,單元、節(jié)點(diǎn)需編號(hào),（1-1）,2、單元內(nèi)任意點(diǎn)的體積力列陣qV,（1-2）,1、單元表面或邊界上任意點(diǎn)的表面力列陣qs,5.2 基本力學(xué)量矩陣表示,3、單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移列陣f,（1-3）,4、單元內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)變列陣 ,（1-4）,5、單元內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力列陣,（1-5）,6、幾何方程,,（1-6）,將上式代入式(1-4），,7、物理方程矩陣式,（1-7）

2、,式中 E、彈性模量、泊松比。,上式可簡寫為,,（1-8）,其中,,對于彈性力學(xué)的平面應(yīng)力問題，物理方程的矩陣形式可表示為：,(1-9）,,矩陣D稱為彈性矩陣。對于平面應(yīng)變問題，將式(1-9）中的E換為 ，換為 。,5.3 位移函數(shù)和形函數(shù),1、位移函數(shù)概念 由于有限元法采用能量原理進(jìn)行單元分析，因而必須事先設(shè)定位移函數(shù)。 “位移函數(shù)”也稱 “位移模式”，是單元內(nèi)部位移變化的數(shù)學(xué)表達(dá)式，設(shè)為坐標(biāo)的函數(shù)。 一般而論，位移函數(shù)選取會(huì)影響甚至嚴(yán)重影響計(jì)算結(jié)果的精度。在彈性力學(xué)中，恰當(dāng)選取位移函數(shù)不是一件容易的事情；但在有限元中，當(dāng)單元?jiǎng)澐值米銐蛐r(shí)，把位移函數(shù)設(shè)定為簡單的多項(xiàng)式就可以獲得相

3、當(dāng)好的精確度。這正是有限單元法具有的重要優(yōu)勢之一。,不同類型結(jié)構(gòu)會(huì)有不同的位移函數(shù)。這里，仍以平面問題三角形單元（圖1-2）為例，說明設(shè)定位移函數(shù)的有關(guān)問題。,圖1-2是一個(gè)三節(jié)點(diǎn)三角形單元，其節(jié)點(diǎn)i、j、m按逆時(shí)針方向排列。每個(gè)節(jié)點(diǎn)位移在單元平面內(nèi)有兩個(gè)分量：,,（1-10）,一個(gè)三角形單元有3個(gè)節(jié)點(diǎn)（以 i、j、m為 序），共有6個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量。其單元位移或單元節(jié)點(diǎn)位移列陣為：,2、位移函數(shù)設(shè)定,本問題選位移函數(shù)（單元中任意一點(diǎn)的位移與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系）為簡單多項(xiàng)式：,(1-12）,式中：a1、a2、、a6待定常數(shù)，由單元位移的 6個(gè)分量確定。a1、a4代表剛體位移，a2、 a3 、 a5

4、、 a6 代表單元中的常應(yīng)變，而且，位移函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。,(1-11）,,,選取位移函數(shù)應(yīng)考慮的問題,,（1）位移函數(shù)的個(gè)數(shù) 等于單元中任意一點(diǎn)的位移分量個(gè)數(shù)。本單元中有u和v，與此相應(yīng)，有2個(gè)位移函數(shù)；,（3）位移函數(shù)中待定常數(shù)個(gè)數(shù) 待定常數(shù)個(gè)數(shù)應(yīng)等于單元節(jié)點(diǎn)自由度總數(shù)，以便用單元節(jié)點(diǎn)位移確定位移函數(shù)中的待定常數(shù)。本單元有6個(gè)節(jié)點(diǎn)自由度，兩個(gè)位移函數(shù)中共包含6個(gè)待定常數(shù)。,（2）位移函數(shù)是坐標(biāo)的函數(shù) 本單元的坐標(biāo)系為：x、y；,（4）位移函數(shù)中必須包含單元的剛體位移。,（5）位移函數(shù)中必須包含單元的常應(yīng)變。,（6）位移函數(shù)在單元內(nèi)要連續(xù)。相鄰單元間要盡 量協(xié)調(diào)。,條件（4）、（

5、5）構(gòu)成單元的完備性準(zhǔn)則。 條件（6）是單元的位移協(xié)調(diào)性條件。 理論和實(shí)踐都已證明，完備性準(zhǔn)則是有限元解收斂于真實(shí)解的必要條件。單元的位移協(xié)調(diào)條件構(gòu)成有限元解收斂于真實(shí)解的充分條件。 容易證明，三角形三節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變單元滿足以上必要與充分條件。,,（7）位移函數(shù)的形式 一般選為完全多項(xiàng)式。為實(shí)現(xiàn)（4）（6）的要求，根據(jù)Pascal三角形由低階到高階按順序、對稱地選取；多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)等于（或稍大于）單元節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)。,例：平面應(yīng)力矩形板被劃分為若干三角形單元。,對任一單元，如單元，取位移函數(shù)：,、、、單元的位移函數(shù)都是,可以看出： 位移函數(shù)在單元內(nèi)是連續(xù)的；,以、的邊界26為例,兩條

6、直線上有兩個(gè)點(diǎn)重合，此兩條直線必全重合。,位移函數(shù)在單元之間的邊界上也連續(xù)嗎？是。,3、形函數(shù),形函數(shù)是用單元節(jié)點(diǎn)位移分量來描述位移函數(shù)的插值函數(shù)。,(1-13）,（1）形函數(shù)確定,現(xiàn)在，通過單元節(jié)點(diǎn)位移確定位移函數(shù)中的待定常數(shù)a1、a2、、a6 。設(shè)節(jié)點(diǎn)i、j、m的坐標(biāo)分別為（xi、yi）、（ xj、yj ）、（ xm、ym ），節(jié)點(diǎn)位移分別為（ui、vi）、 （uj、vj） 、 （um、vm）。將它們代入式（1-12），有,從式(1-13）左邊3個(gè)方程中解出待定系數(shù)a1、a2、a3為,,,,(1-14）,式中， A為三角形單元的面積，有,,(1-15）,特別指出：為使求得面積的值為正值

7、，本單元節(jié)點(diǎn)號(hào)的次序必須是逆時(shí)針轉(zhuǎn)向，如圖所示。至于將哪個(gè)節(jié)點(diǎn)作為起始節(jié)點(diǎn)i，則沒有關(guān)系。,將式(1-14）代入式(1-12）的第一式，整理后得,,同理,,(1-16）,式中,,,,,(1-16）,令,,,(1-18）,位移模式(1-16）可以簡寫為,,(1-19）,式(1-19）中的Ni、Nj、Nm是坐標(biāo)的函數(shù)，反應(yīng)了單元的位移形態(tài)，稱為單元位移函數(shù)的形函數(shù)。數(shù)學(xué)上它反應(yīng)了節(jié)點(diǎn)位移對單元內(nèi)任一點(diǎn)位移的插值，又稱插值函數(shù)。,,(1-16）,用形函數(shù)把式(1-16）寫成矩陣，有,縮寫為,(1-20）,,形函數(shù)是有限單元法中的一個(gè)重要函數(shù)，它具有以下性質(zhì)：,N為形函數(shù)矩陣，寫成分塊形式：,,(1-

8、21）,其中子矩陣,(1-22）,I是22的單位矩陣。,（2）形函數(shù)性質(zhì),性質(zhì)1 形函數(shù)Ni在節(jié)點(diǎn)i上的值等于1，在其它節(jié)點(diǎn) 上的值等于0。對于本單元，有,（i、j、m）,性質(zhì)2 在單元中任一點(diǎn)，所有形函數(shù)之和等于1。對 于本單元，有,,,圖1-3,？？？,,,,,,圖1-4,也可利用行列式代數(shù)余子式與某行或列元素乘積的性質(zhì)（等于行列式值或0）證明。,性質(zhì)3 在三角形單元的邊界ij上任一點(diǎn)（x，y），有,證,圖1-5,（1）,性質(zhì)4 形函數(shù)在單元上的面積分和在邊界上的線積分公式為,,(1-23）,式中 為 邊的長度。,5.4 單元應(yīng)變和應(yīng)力,根據(jù)幾何方程(1-6）和位移函數(shù)(1

9、-16）可以求得單元應(yīng)變。,1、單元應(yīng)變,對位移函數(shù)（式(1-16））,,(1-24）,(1-16）,求導(dǎo)后代入式(1-6），得到應(yīng)變和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式。,,,上式簡寫一般式：,,(1-25）,式中， B單元應(yīng)變矩陣。,對本問題，維數(shù)為36。它的分塊形式為：,,子矩陣,,(1-26）,,由于 與x、y無關(guān)，都是常量，因此B矩陣也是常量。單元中任一點(diǎn)的應(yīng)變分量是B矩陣與單元位移的乘積，因而也都是常量。因此，這種單元被稱為常應(yīng)變單元。,,2、單元應(yīng)力,將式(1-25）代入物理方程式(1-8），得 單元應(yīng)力,,(1-27）,也可寫為,,(1-28）,其中：S稱為單元應(yīng)力矩陣，并有,

10、(1-29）,這里，D是33矩陣，B是36矩陣，因此S也是36矩陣。它可寫為分塊形式,,,,(1-30）,將彈性矩陣（式(1-9）） 和應(yīng)變矩陣（式(1-26））代入，得子矩陣Si,由式(1-29）,,,(1-31）,,,式(1-31）是平面應(yīng)力的結(jié)果。對于平面應(yīng)變問題，只要將上式中的E換成 ，換成 即得。,,(1-32）,由于同一單元中的D、B矩陣都是常數(shù)矩陣，所以S矩陣也是常數(shù)矩陣。也就是說，三角形三節(jié)點(diǎn)單元內(nèi)的應(yīng)力分量也是常量。 當(dāng)然，相鄰單元的bi、ci(i，j，m)一般不完全相同，因而具有不同的應(yīng)力，這就造成在相鄰單元的公共邊上存在著應(yīng)力突變現(xiàn)象。但是隨著網(wǎng)格的細(xì)分，這種突

11、變將會(huì)迅速減小，收斂于平衡被滿足。,5.5 單元平衡方程,1、 單元應(yīng)變能,對于平面應(yīng)力問題中的三角形單元，設(shè)單元厚度為h 。,將式(1-25）和(1-8）代入上式進(jìn)行矩陣運(yùn)算，并注意到彈性矩陣D的對稱性，有,,,應(yīng)變能 U為,,,由于和T是常量，提到積分號(hào)外，上式可寫成,引入矩陣符號(hào)k，且有,(1-33a）,式(1-33a）是針對平面問題三角形單元推出的。注意到其中hdxdy的實(shí)質(zhì)是任意的微體積dv，于是得計(jì)算k的一般式。,(1-33）,式(1-33）不僅適合于平面問題三角形單元，也是計(jì)算各種類型單元k的一般式。,5.6節(jié)中將明確k的力學(xué)意義是單元?jiǎng)偠染仃?。?1-33）便是計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃?/p>

12、的基本矩陣式。它適合于各種類型的單元。,單元應(yīng)變能寫成,(1-34）,2、 單元外力勢能,單元受到的外力一般包括體積力、表面力和集中力。自重屬于體積力范疇。表面力指作用在單元表面的分布載荷，如風(fēng)力、壓力，以及相鄰單元互相作用的內(nèi)力等。,(1-33）,（1） 體積力勢能,單位體積中的體積力如式(1-35）所示。,單元上體積力具有的勢能Vv為,注意到式(1-20）,有,（2） 表面力勢能,面積力雖然包括單元之間公共邊上互相作用的分布力，但它們屬于結(jié)構(gòu)內(nèi)力，成對出現(xiàn)，集合時(shí)互相抵消，在結(jié)構(gòu)整體分析時(shí)可以不加考慮，因此單元分析時(shí)也就不予考慮。,,現(xiàn)在，只考慮彈性體邊界上的表面力，它只在部分單元上形成表

13、面力（右下圖）。設(shè)邊界面上單位面積受到的表面力如下式：,l單元邊界長度 h單元厚度 A表面力作用面積,qs,qs沿厚度均勻分布，則單元表面力的勢能Vs為,（3） 集中力勢能,當(dāng)結(jié)構(gòu)受到集中力時(shí)，通常在劃分單元網(wǎng)格時(shí)就把集中力的作用點(diǎn)設(shè)置為節(jié)點(diǎn)。于是單元集中力Pc的勢能Vc為,,（4）總勢能,,把(1-35）式中原括符內(nèi)的部分用列陣Fd代替，,綜合以上諸式，單元外力的總勢能V為,(1-35）,Fd具有和相同的行、列數(shù)。則,(1-36）,由單元的應(yīng)變能U(1-34）和外力勢能V(1-36），可得單元的總勢能,(1-37）,將式(1-37）代入，,根據(jù)彈性力學(xué)最小勢能原理：結(jié)構(gòu)處于穩(wěn)定平衡的必要和充

14、分條件是總勢能有極小值。,3、單元平衡方程,于是有，,式(1-38）是從能量原理導(dǎo)出的單元平衡方程。這個(gè)方程表達(dá)了單元力與單元位移之間的關(guān)系。其中，F(xiàn)d和單元節(jié)點(diǎn)力F具有相同的意義。,(1-38）,即得單元平衡方程,5.6 單元?jiǎng)偠染仃?平衡方程(1-38）中的矩陣k是單元力和單元位移關(guān)系間的系數(shù)矩陣，代表了單元的剛度特性，稱為單元?jiǎng)偠染仃?。單元?jiǎng)偠染仃嚨捏w積為nj nj， nj 是單元位移總數(shù)。其一般計(jì)算公式為：,1、一般計(jì)算公式,它與單元應(yīng)變矩陣B和彈性矩陣D有關(guān)。,,對于平面應(yīng)力三角形單元，應(yīng)變矩陣B是常數(shù)矩陣，同時(shí)彈性矩陣D也是常數(shù)矩陣，于是式(1-33）可以化簡為,式中A表示三角形單

15、元的面積。h是單元厚度。,2、平面問題三角形單元?jiǎng)偠染仃?（1）平面應(yīng)力三角形單元,將式(1-9）和(1-26）代入上式，,即得平面應(yīng)力三角形單元?jiǎng)偠染仃?。寫成分塊形式，有,,(1-40）,式(1-40)中子矩陣krs為22矩陣，有,,,(1-41）,（2）平面應(yīng)變?nèi)切螁卧?對于平面應(yīng)變問題，須將上式中的E換為 ， 換為 ，于是有,,,其中，bi(j,m)、ci(j,m)是形函數(shù)式(1-16）中的系數(shù)(式2-17)。,(1-42）,平面問題的單元?jiǎng)偠染仃噆不隨單元（或坐標(biāo)軸）的平行移動(dòng)或作n角度（n為整數(shù)）的轉(zhuǎn)動(dòng)而改變。 由公式(1-41）、(1-42）知，krs矩陣和其中的br

16、、cr 、 bs、cs （r、s=i、j、m）有關(guān)。 單元平移時(shí)， bi、ci不變。,(3) 三角形單元?jiǎng)偠染仃嚺c坐標(biāo)系無關(guān), 單元轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)， bi、ci不變。 當(dāng)單元旋轉(zhuǎn)時(shí)，各節(jié)點(diǎn)的編號(hào)保持不變。如圖1-7所示，圖a所示的單元旋轉(zhuǎn)時(shí)，到達(dá)圖b所示位置。,可以證明，這兩種情形的k是相同的。 其實(shí)，推演公式(1-40）、(1-41）、(1-42）時(shí)并沒有規(guī)定坐標(biāo)系的方位，當(dāng)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)任意角度時(shí)，也不影響剛度矩陣的結(jié)果。因此，平面問題的單元?jiǎng)偠染仃嚳梢哉J(rèn)為是結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?，沒有坐標(biāo)變換問題。,(1-38）,（1）單元?jiǎng)偠染仃囍忻總€(gè)元素有明確的物理意義例如，kij表示單元第j個(gè)

17、自由度產(chǎn)生單位位移(j=1)，其他自由度固定（=0）時(shí)，在第i個(gè)自由度產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)力Fi。,,,,,主對角線上元素kii(i=1,nj)恒為正值。,,3、單元?jiǎng)偠染仃囆再|(zhì),（2）k的每一行或每一列元素之和為零,以上式中第i行為例，,當(dāng)所有節(jié)點(diǎn)沿x向或y向 都產(chǎn)生單位位移時(shí)，,單元作平動(dòng)運(yùn)動(dòng)，無應(yīng)變，也無應(yīng)力。則有：,即：k的每一行元素之和為零。根據(jù)對稱性，每一列元素之和也為零。,,（3）k是對稱矩陣 由k各元素的表達(dá)式，可知k具有對稱性。,njnj,,對于主對角線元素對稱。對稱表達(dá)式：,kij = kji,證明, kij表示當(dāng)單元位移中第j個(gè)元素為1(j=1)其余元素為零時(shí)，引起的單元力中的

18、第i個(gè)節(jié)點(diǎn)力Fi, kji表示當(dāng)單元位移中第i個(gè)元素為1(i=1)其余元素為零時(shí)，引起的單元力中的第j個(gè)節(jié)點(diǎn)力Fj,由虛功原理，得,kij = kji,（4）單元?jiǎng)偠染仃囀瞧娈惥仃? 即k的行列式為零（由行列式性質(zhì)） 。 單元?jiǎng)偠染仃囀窃趩卧幱谄胶鉅顟B(tài)的前提下得出的。單元作為分離體看待，作用在它上面的外力（單元力）必定是平衡力系。然而，研究單元平衡時(shí)沒有引入約束。承受平衡力系作用的無約束單元，其變形是確定的，但位移不是確定的。所以出現(xiàn)性質(zhì)（3）中的“平動(dòng)問題”，即單元可以發(fā)生任意的剛體運(yùn)動(dòng)。從數(shù)學(xué)上講，方程(1-28）的解不是唯一的或不能確定的。由此，單元?jiǎng)偠染仃囈欢ㄊ瞧娈惖摹?（5）

19、單元?jiǎng)偠染仃囀浅Ａ烤仃?單元力和單元位移成線性關(guān)系是基于彈性理論的結(jié)果。,4、例：平面應(yīng)力直角三角形單元?jiǎng)偠染仃?圖1-8示出一平面應(yīng)力直角三角形單元，直角邊長分別為a、b，厚度為h，彈性模量為E，泊松比為，計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚒?圖1-8,第一步：計(jì)算bi、ci和單元 面積A。,圖1-8,（1-17）,表2-1 單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和bi、ci值（i、j、m）,參數(shù),節(jié)點(diǎn),單元面積: A=ab/2, 計(jì)算步驟,第二步：求子矩陣 由式(1-41），算得,,,,其他從略。,第三步：形成k 將kii等按式(1-40）組集成k 。,,(1-43a）,2i-1 2i 2j-1 2j

20、2m-1 2m,紅色號(hào)碼是單元位移（1、 2、）在結(jié)構(gòu)中對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位移的序號(hào)。,,,,,i,j,m,i,j,m,i、j、m表示單元中3個(gè)節(jié)點(diǎn)在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的編號(hào)。,當(dāng)a=b時(shí)，即等腰直角三角形單元，有,,(1-43b）,i j m,,,,,i,j,m,5.7 等價(jià)節(jié)點(diǎn)力,從前面單元分析可以看出：單元平衡所用到的的量均要屬于節(jié)點(diǎn)的量，如單元位移、單元力。載荷亦應(yīng)如此，必須將體積力、表面力轉(zhuǎn)化到節(jié)點(diǎn)上去，成為等價(jià)節(jié)點(diǎn)力（載荷）。在第2.5節(jié)中已經(jīng)得到了公式(1-35）和(1-36） 。,這里，F(xiàn)d就是體積力、表面力和集中力之和的總等價(jià)節(jié)點(diǎn)力。,,,(1-44）,把總等價(jià)節(jié)

21、點(diǎn)力 Fd 分解成體積力、表面力和集中力的等價(jià)節(jié)點(diǎn)力之和，有,FV單元上體積力的等價(jià)節(jié)點(diǎn)力 FS單元上表面力的等價(jià)節(jié)點(diǎn)力 pC單元上節(jié)點(diǎn)上的集中力,注意到式(1-35），得體積力等價(jià)節(jié)點(diǎn)力計(jì)算公式：,表面力的等價(jià)節(jié)點(diǎn)力計(jì)算公式：,(1-45）,,(1-46）,1、體積力的等價(jià)節(jié)點(diǎn)力,2、表面力的等價(jià)節(jié)點(diǎn)力,,,3、等價(jià)節(jié)點(diǎn)力計(jì)算舉例,（1）單元自重,圖1-9所示平面應(yīng)力三角形單元，單元厚度為h。單元單位體積自重為，自重指向y軸的負(fù)方向。,(1-45）,, 計(jì)算式,注意到形函數(shù)的性質(zhì)4：,(1-23）,得自重荷載的等價(jià)節(jié)點(diǎn)力,,根據(jù)體積力和式(1-45）、(1-21）、(1-22），得,(1

22、-47）,上式表明：自重載荷的等價(jià)節(jié)點(diǎn)力為單元重量的1/3。,（2）均布面力,單元邊界上作用了均勻的分布力，如圖1-10所示，其集度為qs。,(1-46）,(1-21）,根據(jù)式(1-46）、(1-21）和(1-22）, 計(jì)算式,,注意到形函數(shù)性質(zhì)4 ：,(1-23）,得,,(1-48）,,(1-22）,均勻分布力的等價(jià)節(jié)點(diǎn)力為,式(1-48）表明：在ij邊上受均布面力的平面問題三角形單元，其等價(jià)節(jié)點(diǎn)力等于將均布面力合力之半簡單地簡化到i、j節(jié)點(diǎn)上，方向與分布力方向相同。m節(jié)點(diǎn)上為零。,(1-48）,,（3）線性分布面力,,表面力集度在i點(diǎn)為qsx qsyT，而在j點(diǎn)為0。設(shè)坐標(biāo)軸s的原點(diǎn)取在j

23、點(diǎn)，沿ji為正向， 。,ij邊上任一點(diǎn)的面力集度qs,,,,在ij邊上有：,將qs和上式代入式(1-46），有,由形函數(shù)的性質(zhì)3：,,,,(1-49）,式(1-49）表明：ij邊受線性分布面力： i點(diǎn)為qsx, qsyT，j點(diǎn)為0 時(shí)，其等價(jià)節(jié)點(diǎn)力可將總載荷的2/3分配給i點(diǎn)，1/3分配給j點(diǎn)，m點(diǎn)為零得出。,體積力和表面力向節(jié)點(diǎn)的移置符合靜力等效原理的前提條件是：線性位移模式。,5.7 系統(tǒng)分析,5.7.1 坐標(biāo)系,研究各離散單元集合成整體結(jié)構(gòu)，集合整體結(jié)構(gòu)的平衡和變形協(xié)調(diào)，建立整體結(jié)構(gòu)平衡方程。,單元分析時(shí)采用的坐標(biāo)系成為局部坐標(biāo)或單元坐標(biāo)（單元?jiǎng)偠染仃嚨耐ㄓ眯裕?。而結(jié)構(gòu)系

24、統(tǒng)分析時(shí)，必須在統(tǒng)一的坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行（各力學(xué)量才能疊加），稱為“結(jié)構(gòu)坐標(biāo)”或“整體坐標(biāo)”，如圖1-13所示。,,單元坐標(biāo)系下，單元位移、單元力、單元?jiǎng)偠染仃嚤硎緸椋?整體坐標(biāo)系下，單元位移、單元力、單元?jiǎng)偠染仃嚤硎緸椋?如何從單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)坐標(biāo)將在第4章中討論。,5.7.2 整體剛度矩陣,假設(shè)整體結(jié)構(gòu)被劃分為ne個(gè)單元和n個(gè)節(jié)點(diǎn)，在整體坐標(biāo)系下，對于每個(gè)單元均有：,將上述這些方程集合起來（整體坐標(biāo)下疊加），便可得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程。為此，需要將k、、F體積膨脹，分別擴(kuò)大為n1n1、n11和n11的矩陣才能相加。膨脹后，原有節(jié)點(diǎn)號(hào)對應(yīng)位置的元素不變，而其它元素均為零。,組裝方法：建立一個(gè)體積

25、為n1n1的方陣，按單元序號(hào)依次把結(jié)構(gòu)坐標(biāo)單元?jiǎng)偠染仃嚨脑胤湃朐摲疥囍小? 放入方法：（1）按單元節(jié)點(diǎn)編碼對號(hào)入座； （2）同位置元素累加。,式中：K為整體剛度矩陣，為整體節(jié)點(diǎn)位移列陣；P為整體等價(jià)節(jié)點(diǎn)荷載列陣。如下：,（1-50）,i,j,m,i,j,m,,,,,,,,,,例：平面三角單元,雙行雙列,,5.7.3 結(jié)構(gòu)剛度矩陣特性,1、結(jié)構(gòu)剛度矩陣元素的力學(xué)意義,把方程(1-50）寫開，,,=1,,(1-51）,2、結(jié)構(gòu)剛度矩陣是對稱矩陣 已知單元?jiǎng)偠染仃囀菍ΨQ矩陣（5.7節(jié)），用單元?jiǎng)偠染仃嚱M集 結(jié)構(gòu)剛度矩陣的 過程又沒有破壞 其對稱性，結(jié)構(gòu) 剛度矩陣必然也 是對稱的。當(dāng)然，

26、 對稱性也可以通 過虛功原理得到證明。,結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的任一元素kij是j為單位位移（ j =1），其它位移為零時(shí)的Pi。,,3、結(jié)構(gòu)剛度矩陣主對角線上的元素恒為正值 由性質(zhì)(1)可知，任一主對角線上元素kii是使節(jié)點(diǎn)位移i為一單位位移，其它節(jié)點(diǎn)位移為零時(shí)必須在第i號(hào)位移方向施加的力Pi。它的方向自然應(yīng)與位移方向相同，因而是正值。,,4、結(jié)構(gòu)剛度矩陣是一個(gè)稀疏矩陣,,稀疏矩陣指：存在大量零元素。非零元素稀疏排列。,矩陣的每一列都有很多零元素。考察矩陣中第j列。,再分析圖（1-14）。設(shè)節(jié)點(diǎn)b發(fā)生單位位移j=1，其它位移為零時(shí)， j只能在與點(diǎn)節(jié)b有直接聯(lián)系的 q 、 r節(jié)點(diǎn)引起節(jié)點(diǎn)力，不能

27、在其它節(jié)點(diǎn)引起節(jié)點(diǎn) 力。所以式（1-52） 中，只有和q、p、r、 b節(jié)點(diǎn)位移的相關(guān)元素 才不為零，其余的元素 都是零元素。,任一元素kij是j=1（其它=0）引起的Pi（i=1、2）,（1-52）,b,其它各列的情況也是類似的。 結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)總數(shù)通常都比直接環(huán)繞于任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)數(shù)大得多，因而，結(jié)構(gòu)剛度矩陣中很大一部分元素是零，即所謂的稀疏矩陣。,5、結(jié)構(gòu)剛度矩陣是一個(gè)奇異矩陣,從單元?jiǎng)偠染仃嚨钠娈愋杂懻撝兄?，處于靜力平衡狀態(tài)的無約束單元可以發(fā)生任意的剛體位移。與單元?jiǎng)偠染仃囀瞧娈惥仃嚨睦碛梢粯樱瑹o約束結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)剛度矩陣K也是奇異矩陣，即K的行列式為零。,5.7.6 引入支承約束的結(jié)構(gòu)節(jié)

28、點(diǎn)平衡方程,6、結(jié)構(gòu)剛度矩陣是常量矩陣,結(jié)構(gòu)剛度矩陣是常量矩陣。結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移成線性關(guān)系都是基于彈性理論的結(jié)果。,（1-53）,用平衡方程（1-53）是解不出結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移的，因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)剛度矩陣是奇異矩陣。因此，必須引入約束，排除任何剛體位移，使結(jié)構(gòu)為幾何不變體系。,方程（1-53）中的剛度矩陣K和節(jié)點(diǎn)荷載向量列陣P可分割為約束和自由兩部分：,式中，Pr是支承反力，約束位移,自由,約束,(1-55）,(1-56）,,展開（154），有：,Kff引入約束后的結(jié)構(gòu)剛度矩陣。它通對K引入約束后獲得，具體方法: 從無約束的結(jié)構(gòu)剛度矩陣K中刪去與受約束位移號(hào)對應(yīng)的行和列，再將矩陣壓縮排列成nn階方

29、陣，即為約化后的結(jié)構(gòu)剛度矩陣Kff 。 Kff這是一個(gè)非奇異矩陣，它存在逆矩陣。,方程(1-55）是引入約束后的結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)平衡方程，用于計(jì)算結(jié)構(gòu)所有非剛性約束節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)位移。而方程(1-60）可以用來計(jì)算結(jié)構(gòu)所有受剛性約束節(jié)點(diǎn)的反力。,,,(1-61）,由式(1-55）即可解出全部未知的節(jié)點(diǎn)位移：,5.7.7 節(jié)點(diǎn)位移和單元力的解答,1、結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移,2、支座反力,把解出的f代入(1-56），即得支座反力Pr：,關(guān)于方程 (1-61）的解算方法，當(dāng)Kff采用本章中上述方法組集時(shí)，可直接采用結(jié)構(gòu)力學(xué)中的高斯（Gauss）法求解。,(1-56）,至此，我們可以看出：系統(tǒng)分析的主要任務(wù)是： （

30、1）組集引入約束后的結(jié)構(gòu)剛度矩陣Kff； （2）求解式(1-55）給出的線性代數(shù)方程組。算出全部未知的節(jié)點(diǎn)位移。,至于支座反力的計(jì)算，實(shí)際計(jì)算時(shí)，根本不去組集式(1-56）中的矩陣Krf，不用式(1-62）而是直接對支承點(diǎn)使用節(jié)點(diǎn)平衡方程計(jì)算。,3、單元力,(1-62）,（1）全解公式,全解是指結(jié)構(gòu)在未經(jīng)簡化的實(shí)際荷載作用下（全解系統(tǒng)）的解答。,余解是結(jié)構(gòu)在節(jié)點(diǎn)荷載作用下（余解系統(tǒng)）的解答。節(jié)點(diǎn)荷載包括原來給定的節(jié)點(diǎn)荷載和由分布荷載簡化而來的等價(jià)節(jié)點(diǎn)荷載。,特解是單元從實(shí)際分布荷載到等價(jià)節(jié)點(diǎn)力過程中（特解系統(tǒng)）導(dǎo)致的單元節(jié)點(diǎn)力。,通過式(1-55）解出獲得全部未知節(jié)點(diǎn)位移，據(jù)此找出任何一個(gè)

31、單元的單元位移（單元節(jié)點(diǎn)位移），然后可以求得單元力。,圖(1-15）,=,+,（b）特解系統(tǒng),（c）余解系統(tǒng),（2）余解,,（3）特解,把單元等價(jià)節(jié)點(diǎn)力反向作用在單元的相應(yīng)節(jié)點(diǎn)，即為單元力的特解。,4、結(jié)論,（1）全解的節(jié)點(diǎn)位移等于余解的節(jié)點(diǎn)位移 因?yàn)?，特解給出的節(jié)點(diǎn)位移總是為零。,（2）對不承受分布荷載的單元，內(nèi)力由余解直接給出。,（3）對承受分布荷載作用的單元，其內(nèi)力由余解和特解的迭加給出。,F全e = F余e Fqe (1-64）,等價(jià)節(jié)點(diǎn)力,,3.9 舉例,如圖1-17a所示兩端固支的矩形深梁，跨度為2a，梁高為a，截面寬度為h，已知， =0、E，承受均布壓力q。試用有限元

32、法解此平面應(yīng)力問題。,,,,圖1-17,(a),利用對稱性，可取梁的一半分析，共分2個(gè)單元，4個(gè)結(jié)點(diǎn)，支座約束如(a)圖。,解 1、劃分單元。,,（C)自由度,,,等腰直角三角形單元dde k,,2、單元?jiǎng)偠染仃?由書公式（1-46b）,3 4 5 6 1 2,,,,,,1,3,,,,,5 6 3 4 7 8,,3,3,,,3、結(jié)構(gòu)剛度矩陣,引入約束前，結(jié)構(gòu)剛度矩陣是88階的。受約束的自由度號(hào)為1，3，4，5，7，8。刪除相應(yīng)行和列后，結(jié)構(gòu)剛度矩陣剩下2行2列，相應(yīng)的自由度號(hào)是：2，6。,3/2,-1,1,-1,1/2,+,4、結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)荷載向量,一般情況

33、節(jié)點(diǎn)荷載向量有8個(gè)元素。引入約束后剩下2個(gè)，相應(yīng)序號(hào)為：2，6。,5、結(jié)構(gòu)無約束節(jié)點(diǎn)平衡方程,解得,根據(jù)結(jié)點(diǎn)位移找單元位移 ，代入（1-38）式可求各單元的單元力F 。,（1-38）,利用單元力F計(jì)算支點(diǎn)反力。,將單元位移代入式（1-28），其中S可由式（1-30）、（1-31）求得，從而可求出單元應(yīng)力。,（1-28）,習(xí)題：算出式（1-28）的結(jié)果.,有限元分析之大腕版 一定要選最變態(tài)的題目，什么材料非線性啊，幾何非線性啊，接觸非線性啊，多物理場耦合啊，都給他弄進(jìn)去。是個(gè)模型就幾百萬個(gè)單元，上千萬個(gè)節(jié)點(diǎn)，畫個(gè)剖面圖就要十幾個(gè)小時(shí)。再整一并行機(jī)群，TOP500的，張口就是 High Performance Computation，一口地道的倫敦腔，倍兒有面子。題目一扔進(jìn)去就跑個(gè)把月，你要是一個(gè)星期以內(nèi)出結(jié)果，你都不好意思和別人打招呼。你說這樣一趟算下來要發(fā)多少Paper? 10篇？10篇？就1篇！你還別嫌少，說不定人家還發(fā)在會(huì)議上。你得琢磨牛人的心理啊，有能耐算這樣題目的人，根本就不在乎多發(fā)一篇兩篇文章。什么叫大牛知道么？大牛就是不求灌水，但求經(jīng)典。,