4、
二、多選題（共1小題）
9. 已知集合 M=1,?2,3，N=?4,5,6,?7，從 M，N 這兩個集合中各選一個元素分別記作 a，b．則下列說法正確的有 ??
A. ba 表示不同的正數的個數是 6
B. ba 表示不同的比 1 小的數的個數是 6
C. a,b 表示 x 軸上方不同的點的個數是 6
D. a,b 表示 y 軸右側不同的點的個數是 6
三、填空題（共11小題）
10. 將 2 個相同的紅球和 2 個相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四個盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入 2 個球，丙、丁盒子均最多可放入 1 個球，且不同顏色的球不能放入同
5、一個盒子里，共有 ?種不同的放法．
11. 圓周上有 12 個不同的點，過其中任意兩點作弦，這些弦在圓內的交點個數是 ?．
12. 在一塊并排 10 壟的田地中，選擇 2 壟分別種植 A，B 兩種作物，每種作物種植 1 壟．為有利于作物生長，要求 A，B 兩種作物的間隔不小于 6 壟，則不同的選壟方法共有 ? 種．
13. C22+C32+C42+?+C112= ?．（用數字作答）
14. 甲、乙、丙、丁四名同學和一名老師站成一排合影留念
6、．要求老師必須站在正中間，且甲同學不與老師相鄰，則不同的站法種數為 ?．
15. 從 4 名男同學，3 名女同學中選 3 名同學組成一個小組，要求其中男、女同學都有，則共有 ? 種不同的選法．（用數字作答）
16. 回文數是指從左到右與從右到左都一樣的正整數，如 22，121，3443，94249 等，則在所有四位數中，回文數的個數是 ?．
17. 安排 3 名支教教師去 4 所學校任教，每校至多 2 人，則不同的分配方案共有 ?種．
18.
7、 8 人排成前后兩排，前排 3 人后排 5 人，甲、乙在后排，且不相鄰的排法有幾種 ?．
19. 如圖，機器人亮亮沿著單位網格從 A 地移動到 B 地，每次只移動一個單位長度，則亮亮從點 A 移動到點 B 最近的走法共有 ?種．
20. C22+C32+?+C102= ?．
四、解答題（共7小題）
21. 有 8 名學生排成一排，求分別滿足下列條件的排法種數，要求列式并給出計算結果．
（1）甲不在兩端；
（2）甲、乙相鄰；
（3）甲、乙、丙三人兩兩不得相鄰；
8、（4）甲不在排頭，乙不在排尾．
22. 判斷下列問題是組合問題還是排列問題．
（1）若集合 A=a,b,c,d，則集合 A 的含有 3 個元素的子集有多少個?
（2）某鐵路線上有 4 個車站，則這條鐵路線上需準備多少種車票?
（3）從 7 本不同的書中取出 5 本給某同學；
（4）三個人去做 5 種不同的工作，每人做 1 種，有多少種分工方法?
（5）把 3 本相同的書分給 5 個學生，每人最多得一本，有多少種分配方法?
23. 計算：
（1）C200198；
（2）C1782+C178175；
（3）C63÷C85；
（4）Cn+1n÷Cnn?2．
9、
24. 6 本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：
（1）分給甲、乙、丙三人，每人兩本；
（2）分為三份，每份兩本；
（3）分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本；
（4）分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本；
（5）分給甲、乙、丙三人，每人至少一本．
25. 求證：
（1）P2nn?P3nn=P3n2n；
（2）Pn+1m?Pnm=mPnm?1．
26. 試確定下列問題是排列問題還是組合問題．
（1）3 本不同的書借給甲、乙、丙 3 名學生，每人 1 本，有多少種不同的借法?
（2）從 10 本書中任意取 5 本贈送給 1 名學生
10、，有多少種不同的送法?
（3）從 15 人中選 3 人去參加數學競賽，有多少種不同的選法?
（4）從 15 人中選 3 人分別參加數學、物理、化學競賽，有多少種不同的選法?
27. 同室 4 人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，求 4 張賀年卡不同的分配方式有多少種?
答案
1. B
2. A
3. B
【解析】按每一位算籌的根數分類一共有 15 種情況，如下：5,0,0，4,1,0，4,0,1，3,2,0，3,1,1，3,0,2，2,3,0，2,2,1，2,1,2，2,0,3，1,4,0，1,3,1，1,2,2，1,1,3，
11、1,0,4，
2 根以上的算籌可以表示兩個數字，運用分步乘法計數原理，
則上述情況能表示的三位數字個數分別為：
2，2，2，4，2，4，4，4，4，4，2，2，4，2，2，
根據分類加法計數原理，5 根算籌能表示的三位數字個數為
2+2+2+4+2+4+4+4+4+4+2+2+4+2+2=44．
4. C
5. C
【解析】第一步，從 10 人中選派 2 人承擔任務甲，有 C102 種選派方法；
第二步，從余下的 8 人中選派 1 人承擔任務乙，有 C81 種選派方法；
第三步，再從余下的 7 人中選派 1 人承擔任務丙，有 C71 種選派方法．
根據分步乘法計
12、數原理知，選法有 C102?C81?C71=2520 種．
6. B
7. C
8. C
【解析】20?n21?n?100?n=100?n!20?n!=A10081．
9. B， C
【解析】對于選項A，若 a，b 均為正，共有 2×2=4 個，若 a，b 均為負，共有 1×2=2 個，但 63=?4?2，所以共有 5 個，所以選項A錯誤；
對于選項B，若 ba 為正，顯然均比 1 大，所以只需 ba 為負即可，共有 2×2+1×2=6 個，所以選項B正確；
對于選項C，要使 a,b 表示 x 軸上方的點，只需 b 為正即可，共有 2×3=6 個，所以選項C正確
13、；
對于選項D，要使 a,b 表示 y 軸右側的點，只需 a 為正即可，共有 2×4=8 個，所以選項D錯誤．
10. 20
【解析】丙,丁→0,0：A22=2；
丙,丁→1,0：C21C21=4；
丙,丁→0,1：C21C21=4；
丙,丁→1,1：A222+2不同色+C21同色=10．
故共有：2+4+4+10=20 種．
11. C124
【解析】兩條直線相交有且只有一個交點，任意一個凸四邊形在圓內的交點即為兩條對角線的交點，有且只有一個．而要得到一個四邊形，需要從 12 個點中取出 4 個點，共有 C124 個，即有 C124 個交點．
12.
14、12
【解析】先考慮 A 種植在左邊的情況，有 3 類．A 種植在最左邊一壟上時，B 有 3 種不同的種植方法；A 種植在左邊第二壟上時，B 有 2 種不同的種植方法；A 種植在左邊第三壟上時，B 只有 1 種種植方法；又 B 在左邊種植的情況與 A 相同，故有 2×3+2+1=12 種不同的選壟方法．
13. 220
14. 12
15. 30
16. 90
17. 60
18. 8640
【解析】根據題意，分 2 步進行分析：
①，在除甲乙之外的 6 人中任選 3 人，與甲乙一起排在后排，
由于甲乙不能相鄰，則有 C63×A33×A42=1440 種情況；
15、
②，將剩下的三人全排列，安排在前排，有 A33=6 種情況，
則有 1440×6=8640 種排法．
19. 80
【解析】分三步：① 從 A 到 C，亮亮要移動兩步，一步是向右移動一個單位，一步是向上移動一個單位，此時有 C21 種走法；
②從 C 到 D，亮亮要移動六步，其中三步是向右移動，三步是向上移動，此時有 C63 種走法；
③從 D 到 B，由①可知有 C21 種走法．
由分步乘法計數原理可知，共有 C21C63C21=80 種不同的走法．
20. 165
【解析】由組合數的性質可得，
C22+C32+?+C102=C33+C32+?+C102=C43+C
16、42+?+C102=C113=11×10×93×2×1=165．
21. （1） 假設 8 個人對應 8 個空位，甲不站兩端，有 6 個位置可選，則其他 7 個人對應 7 個位置，故有：6A77=30240 種情況．
??????（2） 把甲乙兩人捆綁在一起看作一個復合元素，再和另外 6 人全排列，故有 2A77=10080 種情況；
??????（3） 把甲乙丙 3 人插入到另外 5 人排列后所形成的 6 個空中的三個空，故有 A55A63=14400 種情況；
??????（4） 利用間接法，用總的情況數減去甲在排頭、乙在排尾的情況數，再加上甲在排頭同時乙在排尾的情況，故有
17、 A88?2A77+A66=30960 種情況．
22. （1） 因為集合 A 的任一個含 3 個元素的子集與元素順序都無關，
所以它是組合問題．
??????（2） 因為車票與起點、終點順序有關，
例如“甲 → 乙”與“乙 → 甲”的車票不同，
所以它是排列問題．
??????（3） 因為從 7 本不同的書中取出 5 本給某同學，
取出的 5 本書并不考慮書的順序，
所以它是組合問題．
??????（4） 因為從 5 種不同的工作中選出 3 種，
按一定順序分給三個人去做，
所以它是排列問題．
??????（5） 因為 3 本書是相同的，把 3 本書無論分給哪三個人都
18、不需要考慮順序，
所以它是組合問題．
23. （1） C200198=C2002=19900．
??????（2） C1782+C178175=C1782+C1783=939929．
??????（3） C63÷C85=C63÷C83=20÷56=514．
??????（4） Cn+1n÷Cnn?2=Cn+11÷Cn2=2n+1nn?1．
24. （1） 根據分步計數原理得到：C62C42C22=90（種）．
??????（2） 分給甲、乙、丙三人，每人兩本有 C62C42C22 種方法，這個過程可以分兩步完成：第一步分為三份，每份兩本，設有 x 種方法；第二步再將這三份分給甲、
19、乙、丙三名同學有 P33 種方法．根據分步計數原理可得：C62C42C22=xP33，
所以 x=C62C42C22P33=15．
因此分為三份，每份兩本一共有 15 種方法．
??????（3） 這是“不均勻分組”問題，一共有 C61C52C33=60（種）方法．
??????（4） 在（3）的基礎上在進行全排列，
所以一共有 C61C52C33P33=360（種）方法．
??????（5） 可以分為三類情況：①“2，2，2 型”即（1）中的分配情況，有 C62C42C22=90（種）方法；
②“1，2，3 型”即（4）中的分配情況，有 C61C52C33P33=360（種）方
20、法；
③“1，1，4 型”，有 C64P33=90（種）方法．
所以一共有 90+360+90=540（種）方法．
25. （1） 左邊=2n!2n?n!?3n!3n?n!=3n!2n?n!=右邊．
??????（2） 左邊=n+1!n+1?m!?n!n?m!=n+1!?n!n+1?mn+1?m!=n!mn+1?m!=右邊．
26. （1） P33=6．
??????（2） C105=252．
??????（3） C153=455．
??????（4） P153=2730．
27. 解法1：設 4 人A、B、C、D寫的賀年卡分別是a、b、c、d，當A拿賀年卡b，則B可拿a、c、d中的任何一個，即B拿a，C拿d，D拿c或B拿c，D拿a，C拿d或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b時有 3 種不同的分配方式．同理，A拿c、d時也各有 3 種不同的分配方式．由加法原理，4 張賀年卡共有 3+3+3=9 種分配方式．
解法2：讓 4 人A、B、C、D依次拿 1 張別人送出的賀年卡．如果A先拿有 3 種取法，此時寫被A拿走的那張賀年卡的人也有 3 種不同的取法．接下來，剩下的兩個人都各只有一種取法．由乘法原理，4 張賀年卡不同的分配方式有 3×3×1×1=9 種．
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2023屆大一輪復習 第56講 排列與組合（含解析）
