10、sin2x?cos2x=sin2x?π6.
由 2kπ?π2≤2x?π6≤2kπ+π2k∈Z,
得 kπ?π6≤x≤kπ+π3k∈Z,
當 k=0 時,0,π3??π6,π3,故A正確;
fπ3=sinπ2=1≠0,故B不正確;
f?π6=?sinπ2=?1,故C正確;
將 fx 的圖象向右平移 π3 個單位長度得到函數(shù) y=sin2x?5π6 的圖象,顯然不關于 y 軸對稱,故D不正確.
5. 26?16
6. ?79
7. 32
【解析】由題意得 tanα?5π4=?tan5π4?α=?tanπ4?α=?1?tanα1+tanα=15,
解得 ta
11、nα=32.
8. 33
9. 210
【解析】由 tanαtanα+π4=tanαtanα+11?tanα=tanα1?tanαtanα+1=?23,
得 3tan2α?5tanα?2=0,
解得 tanα=2,或 tanα=?13.
sin2α+π4=sin2αcosπ4+cos2αsinπ4=22sin2α+cos2α=222sinαcosα+cos2α?sin2αsin2α+cos2α=222tanα+1?tan2αtan2α+1,
當 tanα=2 時,上式 =222×2+1?2222+1=210;
當 tanα=?13 時,
上式 =222×?13+1??
12、132?132+1=210.
綜上,sin2α+π4=210.
10. 5214
【解析】依題意,有 sinθ=?35 , sinθ+π4cos2θ?6π=sinθcosπ4+cosθsinπ4cos2θ=?35×22+45×222×452?1=5214 .
11. ?2?3
12. 33?410
13. (1) cos4α?sin4α=cos2α+sin2αcos2α?sin2α=cos2α?sin2α=cos2α.
??????(2) 11?tanα?11+tanα=1+tanα?1?tanα1+tanα1?tanα=2tanα1?tan2α=tan2α.
13、
14. (1) cos3π2+α=cosπ2+π+α=?sinπ+α=??sinα=sinα.
??????(2) sin3π2?α=sinπ2+π?α=cosπ?α=?cosα.
15. (1) 因為 α 為第二象限角,
所以 cosα<0,
又因為 sinα=55,
所以 cosα=?255,
sin2α=2sinαcosα=2?55??255=?45.
??????(2) cosα?π4=cosαcosπ4+sinαsinπ4=?255?22+55?22=?1010.
16. (1) 32.
??????(2) 120°.
17. (1) 因為 β∈0,π2,
14、又因為 cosβ=7210,
所以 sinβ=210,
所以
cos2β?sin2β+sinβcosβ=98100?2100+14100=1110.
??????(2) 因為 sinβ=210,cosβ=7210,
所以 tanβ=17,
又因為 tanα+β=12,
所以 tanα+tanβ1?tanαtanβ=12,
所以
2tanα+27=1?17tanα,
157tanα=57,
tanα=13,
又因為 α∈0,π2,
所以 sinα=1010,cosα=31010,
所以
sin2α=2sinαcosα=2×1010×31010=35,
15、 cos2α=cos2α?sin2α=90100?10100=45,
sin2α+β=sin2αcosβ+sinβcos2α=35×7210+210×45=25250=22.
18. (1) 因為 α∈0,π2,β∈0,π2,
所以 α+β∈0,π,
所以 cosα=17,
所以 sinα=1?149=437,
因為 cosα+β=?1114,
所以 sinα+β=1??11142=5314.
??????(2) cosβ=cosα+β?α,
cosβ=cosα+βcosα+sinα+βsinα=?1114×17+5314×437=4998=12.
19. (1) 由
16、已知,有
fx=1?cos2x2?1?cos2x?π32=1212cos2x+34sin2x?12cos2x=34sin2x?14cos2x=12sin2x?π6,
所以的最小正周期 T=2π2=π;
??????(2) 當 ?π2+2kπ≤2x?π6≤π2+2kπ,k∈Z 時,函數(shù) fx 單調(diào)遞增,
所以 ?π6+kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z 時,fx 單調(diào)遞增,
所以 fx 在區(qū)間 ?π3,?π6 上是減函數(shù),
在區(qū)間 ?π6,π4 上是增函數(shù),
f?π3=?14,f?π6=?12,fπ4=34,
所以 fx 在區(qū)間 ?π3,π4 上的最大值為 34,最小值為 ?1
17、2.
20. (1) 由題意,得
fx=cosxsinx?3cos2x=12sin2x?321+cos2x=12sin2x?32cos2x?32=sin2x?π3?32.
所以 fx 的最小正周期 T=2π2=π,其最大值為 1?32.
??????(2) 當 x∈π3,23π 時,令 t=2x?π3,
則 t∈π3,π,當 t∈π3,π2 時,fx 單調(diào)遞增;
當 t∈π2,π 時,fx 單調(diào)遞減,
即:當 x∈π3,512π 時,fx 單調(diào)遞增;當 x∈512π,23π 時,fx 單調(diào)遞減.
21. (1) 由題意
fx=sin2x+32cos2x?1+1=sin2
18、x+3cos2x+1=2sin2x+π3+1.
由 2kπ?π2≤2x+π3≤2kπ+π2k∈Z,得 2kπ?5π6≤2x≤2kπ+π6k∈Z,
所以 kπ?5π12≤x≤kπ+π12k∈Z,
所以 fx 的單調(diào)遞增區(qū)間為 kπ?5π12,kπ+π12k∈Z.
??????(2) 因為 x∈?π4,π4,
所以 2x+π3∈?π6,5π6,
所以 sin2x+π3∈?12,1,
所以 fx∈0,3.
22. (1) 選擇②式:
sin215°+cos215°?sin15°cos15°=1?12sin30°=34,
所以該常數(shù)為 34.
??????(2) 34,
19、證明如下:
sin2α+cos230°?α?sinαcos30°?α=sin2α+cos30°cosα+sin30°sinα2?sinαcos30°cosα+sin30°sinα=sin2α32cosα+12sinα2?sinα32cosα+12sinα=sin2α+34cos2α?14sin2α=34sin2α+34cos2α=34.
23. (1) fx=3sin2x+cos2x=2sin2x+π6,
所以 T=π,
又 x∈0,π2,
所以 2x+π6∈π6,7π6,
由函數(shù)圖象知 fx∈?1,2,即最大值為 2,最小值為 ?1.
??????(2) 由題意 sin2x0
20、+π6=35,
而 x0∈π4,π2,
所以 2x0+π6∈2π3,7π6,
所以 cos2x0+π6=?1?sin22x0+π6=?45,
所以
cos2x0=cos2x0+π6?π6=?45×32+35×12=3?4310.
24. (1) fx=sin2x+2sinx?cosx+3cos2x=sin2x+2sinxcosx+3cos2xsin2x+cos2x=tan2x+2tanx+3tan2x+1=175.
??????(2) fx=sin2x+2sinx?cosx+3cos2x=2sin2x+π4+2.
fx 的最小正周期為 T=2π2=π.
由 π2+2kπ≤2x+π4≤3π2+2kπ,解得 π8+kπ≤x≤5π8+kπ,k∈Z.
所以 fx 的單調(diào)遞減區(qū)間為 π8+kπ,5π8+kπ,k∈Z.
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