《內(nèi)蒙古伊圖里河高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第三講 數(shù)列與不等式 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《內(nèi)蒙古伊圖里河高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第三講 數(shù)列與不等式 理（31頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 內(nèi)蒙古伊圖里河高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第三講 數(shù)列與不等式(理科) 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容，是高考命題的熱點(diǎn).縱觀近幾年的高考試題,對(duì)等差和等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、性質(zhì)、前項(xiàng)和公式,對(duì)增長(zhǎng)率、分期付款等數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題多以客觀題和中低檔解答題為主，對(duì)數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、解析幾何等相結(jié)合的綜合題的考查多屬于中高檔題,甚至是壓軸題,難度值一般控制在之間. 考試要求（1）數(shù)列的概念和簡(jiǎn)單表示法①了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法（列表、圖像、通項(xiàng)公式）.②了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).（2）等差數(shù)列、等比數(shù)列① 理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念.② 掌握等差數(shù)列、等比

2、數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.　③ 能在具體的問(wèn)題情境中，識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.　④ 了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系. 題型一 等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì) 例1．（1）已知等比數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且、、2成等差數(shù)列，求 ; （2）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，, 求 . 【點(diǎn)撥】（1）依據(jù)等差中項(xiàng)的概念先求等比數(shù)列的公比，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)求值. （2）此題的算法較多，如何尋找合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)， 由第一個(gè)條件得出，再由第二個(gè)條件列出方程求. 【解】（1）依題意可得：，

3、即，則有可得，解得或（舍） 所以; （2）因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，，由，得：2－＝0， ＝2，又，即＝38，即（2m－1）×2＝38，解得m＝10， 【易錯(cuò)點(diǎn)】（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列只有一字之差，部分同學(xué)經(jīng)常出現(xiàn)審題不仔細(xì)的現(xiàn)象；（2）等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)的性質(zhì)混淆，概念模糊不清；（3）對(duì)等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)及公式的變式不熟悉，往往要先計(jì)算等量，一旦計(jì)算量大一點(diǎn)，解題受阻. 變式與引申1：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差 . （1）求的值; （2）當(dāng)為最小時(shí)，求的值. 題型二：數(shù)列的通項(xiàng)與求和 例2．（2009年湖北文科卷第19題）已知是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足

4、. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; （2）若數(shù)列和數(shù)列滿足等式：，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【點(diǎn)撥】（1）等差數(shù)列中，已知兩條件可以算出兩個(gè)基本量,再進(jìn)一步求通項(xiàng)及前項(xiàng)和，當(dāng)然若能利用等差數(shù)列的性質(zhì)來(lái)計(jì)算，問(wèn)題就簡(jiǎn)單多了.（2）分組求和、倒序相加、錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消等是常用的求和方法，這里利用（1）的結(jié)論以及的關(guān)系求的通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式求前 項(xiàng)和 . 【解】（1）解法1：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則依題設(shè)d>0 ，由.得① 由得② 由①得將其代入②得.即， ，代入①得 解法2：等差數(shù)列中， ，公差， ， （2）設(shè)，則有 兩式相減得，由（1）得，，

5、即當(dāng)時(shí)，， 又當(dāng)時(shí)，，于是 == 【易錯(cuò)點(diǎn)】（1）由的關(guān)系及（1）的結(jié)論找不到的通項(xiàng)公式，使解題受阻；（2）在求的通項(xiàng)公式時(shí)，由得,把這個(gè)條件遺漏；（3）忽略當(dāng)時(shí)，，直接寫(xiě)；（4）計(jì)算數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)隨意添加項(xiàng). 變式與引申2：1.已知是數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，并且=1，對(duì)任意正整數(shù)n，；設(shè)）. （1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)的前n項(xiàng)和，求. 2. 等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為， 已知對(duì)任意的，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上. （1）求r的值； （2）當(dāng)b=2時(shí)，記 求數(shù)列的前項(xiàng)和. 題型三：數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 例3.

6、為了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如右圖所示；由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列的前四項(xiàng)，后6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列的前六項(xiàng). (1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式； (2)求視力不小于5.0的學(xué)生人數(shù)； (3)設(shè),求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 【點(diǎn)撥】（1）頻率分布直方圖是解決問(wèn)題的關(guān)?。唬?）已知前兩項(xiàng)的頻數(shù)，前4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列的前四項(xiàng)，可求，后6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列的前六項(xiàng)，，的前六項(xiàng)和可求，得，（

7、3）求得、后，根據(jù)題設(shè)條件，按遞推公式求通項(xiàng)公式方法求出. 【解】(1)由題意知 因此數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng).公比為3的等比數(shù)列，所以 ，又=100—(1+3+9)， 所以=87,解得 因此數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng),公差為—5的等差數(shù)列, 所以 (2) 求視力不小于5.0的學(xué)生人數(shù)為 (3) 由① 可知，當(dāng)時(shí)，② ①－②得，當(dāng)時(shí)， , , 又因此數(shù)列是一個(gè)從第2項(xiàng)開(kāi)始的公比為3的等比數(shù)列, 數(shù)列的通項(xiàng)公式為 . 【易錯(cuò)點(diǎn)】（1）不理解的意義，解題找不到切入點(diǎn)；（2）計(jì)算數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)忽略“全校100名學(xué)生”這個(gè)重要的已知條件，導(dǎo)致前兩問(wèn)的結(jié)果都不正確；（3）求出、后，由

8、題設(shè)條件不能正確地找出求的方法；（4）計(jì)算由①式變?yōu)棰谑綍r(shí)，缺少這個(gè)條件. 變式與引申3： 某地為了防止水土流失，植樹(shù)造林，綠化荒沙地，每年比上一年多植相同畝數(shù)的林木，但由于自然環(huán)境和人為因素的影響，每年都有相同畝數(shù)的土地沙化，具體情況為下表所示： 2008年 2009年 2010年 新植畝數(shù) 1000 1400 1800 沙地畝數(shù) 25200 24000 22400 而一旦植完，則不會(huì)被沙化． 問(wèn)：（1）每年沙化的畝數(shù)為多少； 圖3-1-2 （2）到那一年可綠化完全部荒沙地. 題型四：數(shù)列綜合題 例4根據(jù)如圖所示的程序框圖，將輸出的x、y值依次

9、分別記為，． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）寫(xiě)出，由此猜想出數(shù)列； 的一個(gè)通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論; （3）求． 【點(diǎn)撥】（1）程序框圖與數(shù)列的聯(lián)系是新課標(biāo)背景下的新鮮事物，因?yàn)槌绦蚩驁D中循環(huán)，與數(shù)列的各項(xiàng)一一對(duì)應(yīng)，所以，這方面的內(nèi)容是命題的新方向，應(yīng)引起重視；（2）由循環(huán)體寫(xiě)出數(shù)列的遞推公式，再由遞推公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決問(wèn)題 的關(guān)?。唬?）掌握錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和及數(shù)列求和的一般方法. 【解】（1）由框圖，知數(shù)列中 ∴ （2）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80. 由此，猜想 證明：由框圖，知數(shù)列{yn}中，， ， ∴數(shù)

10、列{yn+1}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列， （3） =1×3+3×32+…+（2n－1）·3n－[1+3+…+（2n－1）] 記Sn=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n，① 則3Sn=1×32+3×33+…+（2n－1）×3n+1 ② ①－②，得－2Sn=3+2·32+2·33+…+2·3n－（2n－1）·3n+1=2（3+32+…+3n）－3－（2n－1）·3n+1 = ∴ 又1+3+…+（2n－1）=n2 ∴. 【易錯(cuò)點(diǎn)】（1）根據(jù)框圖不能正確寫(xiě)出數(shù)列的遞推公式，解題受阻，（2）對(duì)數(shù)列求

11、和的方法及每種方法所適合的題型認(rèn)識(shí)不清，盲目求和；（3）對(duì)指數(shù)運(yùn)算不夠熟悉，導(dǎo)致利用錯(cuò)位相減法計(jì)算出的結(jié)果不正確. 變式與引申4：已知曲線y=，過(guò)曲線上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)）作切線. （1）求證：直線與曲線y=交于另一點(diǎn)； （2）在（1）的結(jié)論中，求出的遞推關(guān)系.若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （3）在（2）的條件下，記，問(wèn)是否存在自然數(shù)m，M，使得不等式對(duì)一切n恒成立，若存在，求出M－m的最小值；否則請(qǐng)說(shuō)明理由. 【小結(jié)】 本節(jié)主要考查：（1）數(shù)列的有關(guān)概念，遞推公式；等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、判定方法、性質(zhì)、通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，數(shù)列求和及數(shù)列的應(yīng)用（2）數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，而函數(shù)又是高中

12、數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，所以數(shù)列常與導(dǎo)數(shù)、不等式、三角、解析幾何、概率及算法等知識(shí)點(diǎn)交融命題，解決數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和、證明不等關(guān)系等問(wèn)題（3）簡(jiǎn)單的遞推公式求通項(xiàng)公式的方法，分組求和、倒序相加、裂項(xiàng)求和、錯(cuò)位相減等數(shù)列求和方法（4）著重考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想. 點(diǎn)評(píng)：（1）“巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算量”在等差、等比數(shù)列的計(jì)算問(wèn)題中非常重要，樹(shù)立“目標(biāo)意識(shí)”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運(yùn)用條件，又要時(shí)刻注意解題的目標(biāo)； （2）數(shù)列中與的關(guān)系一直是高考的熱點(diǎn)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式是最為常見(jiàn)的題型，要切實(shí)注意與之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化.如：， =等； （3）等差

13、、等比數(shù)列的基本知識(shí)是必考內(nèi)容，這類考題既有選擇題，填空題，又有解答題；有容易題、中等題，也有難題，在掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的基礎(chǔ)上，充分理解公式的變式及適用范圍，深化數(shù)學(xué)思想方法在解題實(shí)踐中的指導(dǎo)作用，靈活地運(yùn)用數(shù)列知識(shí)和方法解決數(shù)學(xué)和實(shí)際生活中的有關(guān)問(wèn)題； （4）求和問(wèn)題也是常見(jiàn)的試題，等差數(shù)列、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和問(wèn)題應(yīng)掌握，還應(yīng)該掌握一些特殊數(shù)列的求和方法，如公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等； （5）在解決綜合題和探索性問(wèn)題實(shí)踐中加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，溝通各類知識(shí)的聯(lián)系，形成更完整的知識(shí)網(wǎng)

14、絡(luò)， 進(jìn)一步培養(yǎng)閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力； （6）解答數(shù)列綜合問(wèn)題要善于綜合運(yùn)用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項(xiàng)等方法來(lái)分析、解決問(wèn)題．?dāng)?shù)列與解析幾何的綜合問(wèn)題解決的策略往往是把綜合問(wèn)題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再利用數(shù)列知識(shí)和方法求解． 習(xí)題3－1 1．（2009年遼寧省文科卷）已知為等差數(shù)列，且－2＝－1, ＝0,則公差d＝ （ ） A．－2 B．－ C． D．2 2．等差數(shù)列{an}，

15、{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，若=，則=_________． 3．?dāng)?shù)列中，，（是不為零的常數(shù)，），且成等比數(shù)列． （1）求的值； （2）求的通項(xiàng)公式； （3）求數(shù)列的前項(xiàng)之和． 4．在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列，對(duì)一切正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列. ⑴求點(diǎn)的坐標(biāo)； ⑵設(shè)拋物線列中的每一條的對(duì)稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：. 5．已知數(shù)列滿足且 （1）求的表達(dá)式； （2）求； （3）若，試比較的大小，并說(shuō)明理由. 第二節(jié) 解不等

16、式 不等式是高中數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)內(nèi)容，對(duì)不等式的性質(zhì)、一元二次不等式、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃、均值不等式的考查多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，這類試題雖然難度不大，但往往有一定的靈活性.若是解答題,也是中等難度的題目；高考中涉及不等式的，更多的情況是以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、方程、三角、數(shù)列、解析幾何等知識(shí)為載體，綜合考查不等式的解法和證明. 不等式因它的基礎(chǔ)性（是研究函數(shù)、方程、極限等必不可少的工具）、滲透性（容易與其它各部分知識(shí)結(jié)合在一起）、應(yīng)用性（實(shí)際應(yīng)用廣泛），很自然地成為每年高考的熱點(diǎn).近幾年，高考關(guān)于不等式的命題趨勢(shì)是： （1）單純不等式的題目多以選擇填空題的形式出現(xiàn)，若是解答題也是中等難度的

17、題目； （2）高考中涉及不等式的，更多的情況是以函數(shù)、方程、三角、數(shù)列、解析幾何等知識(shí)為載體，綜合考查不等式的解法和證明，突出不等式的工具性.在高考試卷中，有關(guān)解不等式的試題一般有一到兩道． 考試要求 （1）不等關(guān)系：了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實(shí)際背景． （2）一元二次不等式 ① 會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型． ② 通過(guò)函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系． ③ 會(huì)解一元二次不等式，對(duì)給定的一元二次不等式，會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖． （3）二元一次不等式組與簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題 ① 會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組．

18、 ② 了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組． ③ 會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問(wèn)題，并能加以解決． 題型一： 不等式的解法 例1（1）(2008年江西卷文科第13題)不等式的解集為 ． （2）、 (2008全國(guó)卷Ⅰ理科第9題)設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（ ） A． B． C． D． 點(diǎn)撥；解不等式的基本思想方法是轉(zhuǎn)化：一元二次不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式，分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，指數(shù)與對(duì)數(shù)不等式（通過(guò)化“同底”）轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，抽象函數(shù)不等式（通過(guò)單調(diào)性）轉(zhuǎn)化為具體不等式等.本題是指數(shù)

19、不等式，可通過(guò)化“同底”求解． 解：（1）原不等式變?yōu)椋芍笖?shù)函數(shù)的增減性，得： ，即，由此可得原不等式解集為 （2）由奇函數(shù)可知，而，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又在上為增函數(shù)，則奇函數(shù)在上為增函數(shù)，或,選D. 易錯(cuò)點(diǎn)：（1）分不清指數(shù)函數(shù)增減性，誤把不等式轉(zhuǎn)化為得出錯(cuò)誤的結(jié)論。 （2）不考慮奇函數(shù)在上的單調(diào)性，不知道等價(jià)轉(zhuǎn)化， 變式與引申1：（1）(2009年山東卷第5題) 在R上定義運(yùn)算⊙: ⊙,則滿足⊙<0的實(shí)數(shù)的取值范圍為( ). A.(0,2) B.(-2,1) C. D.(-1,2) （2） （2009年天津卷第8題）

20、 設(shè)函數(shù)則不等式的解集是（ ） A B C D 題型二：含參數(shù)不等式的解法 例2 解關(guān)于的不等式． 點(diǎn)撥：解分式不等式應(yīng)通過(guò)分解因式化成形如的不等式（稱為“規(guī)范式”，其中稱為“根”）， 然后再利用序軸穿根法寫(xiě)出解集.本題盡管含有字 開(kāi)始 結(jié)束 化為 化為規(guī)范式 化為規(guī)范式 與的大小 是否確定？ 討論與的大小關(guān)系 與的大小 是否確定？ 討論與的大小關(guān)系 寫(xiě)出解集 圖 母參數(shù)，但解法仍然相同，所不同的是根的大 小可能不能確定，因而可能要分類討論. 首先通過(guò)移項(xiàng)把

21、原不等式化為， 進(jìn)一步朝規(guī)范化方向行進(jìn)時(shí)遇到了可能為 的問(wèn)題，所以首先要對(duì)是否為分類討論， 接下來(lái)該怎樣進(jìn)行，請(qǐng)看右邊的流程圖. 解：原不等式可化為 （＊） （1）設(shè) ，不等式化為，解 得. （2）設(shè)， 如果，不等式可化為. 當(dāng),即時(shí),； 當(dāng),即時(shí),； 當(dāng),即時(shí),解得. 如果，不等式可化為， 解得或. 綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為； 　當(dāng)時(shí)，不等式的解集為； 當(dāng)時(shí)，不等式的解集為； 　當(dāng)時(shí)，不等式的解集為． 易錯(cuò)點(diǎn)：在規(guī)范化的過(guò)程中，對(duì)可能為零視而不見(jiàn)；在已經(jīng)規(guī)范化了之后，對(duì)不確定的根的大小關(guān)系不加區(qū)分.整體表現(xiàn)為不能有序地進(jìn)行分類

22、討論. 變式引申2：（1）解關(guān)于的不等式． （2）已知函數(shù)（a，b為常數(shù)）且方程f(x)－x+12=0有兩個(gè)實(shí)根為x1=3, x2=4. （1）求函數(shù)f(x)的解析式； （2）設(shè)k>1，解關(guān)于x的不等式； 題型三：不等式的恒成立問(wèn)題 例3 （2008年上海文科第19題）已知函數(shù)． （1）若，求的值； （2）若對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍 點(diǎn)撥：不等式恒成立問(wèn)題通常有以下處理方法：（1）分離參數(shù)法，將參數(shù)與變量進(jìn)行分離，再轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題解決；（2）變換主元法，有些題分離參數(shù)后很難求最值，可考慮變換思維角度，即主元與參數(shù)互換位置（3）數(shù)形結(jié)合法。本題分離參數(shù)后可求最

23、值. 解（1）. 由已知， 解得 ∵ . （2）當(dāng)即∵, ∴在上恒成立,∴.又時(shí),, 故的取值范圍是. 易錯(cuò)點(diǎn)：（1）絕對(duì)值的處理方法不明確，找不到解題的突破口（2）指數(shù)運(yùn)算不熟悉，不能正確地將參數(shù)與變量進(jìn)行分離（3）能否取等號(hào)也是常見(jiàn)的錯(cuò)誤. 變式與引申3：（1）已知，當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍． （2）奇函數(shù)上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)m，使對(duì)所有的均成立？若存在，求出適合條件的所有實(shí)數(shù)m；若不存在，說(shuō)明理由. 題型四：線性規(guī)劃問(wèn)題與基本不等式 例4 （1） 設(shè)滿足則( ). 圖 （A）有最小值2，最大值3 （B）

24、有最小值2，無(wú)最大值 （C）有最大值3，無(wú)最小值 （D）既無(wú)最小值，也無(wú)最大值 （2）函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)， 若點(diǎn)在直線上，其中，則的最小值 為 ． 點(diǎn)撥：（1）首先準(zhǔn)確地作出線性約束條件下的可行域，再由y＝－x 經(jīng)過(guò)平移得到結(jié)論，這里關(guān)鍵就在于轉(zhuǎn)化與化歸．（2）找出定點(diǎn)的坐標(biāo)， 代入直線方程，得，由均值不等式得結(jié)果. 解（1）畫(huà)出不等式表示的平面區(qū)域，如右圖，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，畫(huà)出y＝－x的圖象，當(dāng)它的平行線經(jīng)過(guò)A（2,0）時(shí)，z取得最小值，最小值為：z＝2，無(wú)最大值，故選.B （2）函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn),,，,∴.

25、 易錯(cuò)點(diǎn)： 可行域畫(huà)不準(zhǔn)確，將y＝－x經(jīng)過(guò)平移后得到的最優(yōu)解不正確， 圖 變式與引申4：（1）若為不等式組表示的平面區(qū)域，則當(dāng)從－2連續(xù)變化到1時(shí)， 動(dòng)直線 掃過(guò)中的那部分區(qū)域的面積為 ( ) A． B．1 C． D．5 （2）已知，則的最小值是（ ） A．2 B． C．4 D．5 本節(jié)主要考查：（1）一元一次不等式、一元二次不等式的性質(zhì)及能轉(zhuǎn)化為它們的分式不等式、絕對(duì)值不等式、指數(shù)與對(duì)數(shù)不等式的解法以及含字母系數(shù)不等式的解法；（2）基本不等式及其應(yīng)用，簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等問(wèn)題（3）圖解法、換元法、分析法、綜合法等方法（4）數(shù)形

26、結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用以及邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力等基本數(shù)學(xué)能力. 點(diǎn)評(píng)： （1）解不等式的關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化.分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式；指數(shù)與對(duì)數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式；抽象函數(shù)的不等式在確定其單調(diào)性的前提下去掉函數(shù)符號(hào)轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式． （2）在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧之一.通過(guò)換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡(jiǎn)單的或基本不等式；通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關(guān)系.對(duì)含有參數(shù)的不等式，運(yùn)用圖解法，有時(shí)可以使分類標(biāo)準(zhǔn)更加明晰． （3）等價(jià)轉(zhuǎn)化．具體地說(shuō)，分式化為整式，高次化為低次，絕對(duì)值化為非絕對(duì)值，指數(shù)與

27、對(duì)數(shù)化為代數(shù)式等．分類討論．分類討論的目的是處理解決問(wèn)題過(guò)程中遇到的障礙，在無(wú)障礙時(shí)不要提前進(jìn)行分類討論．?dāng)?shù)形結(jié)合．有些不等式的解決可化為兩個(gè)函數(shù)圖像間的位置關(guān)系的討論等幾何問(wèn)題． （4）函數(shù)方程思想．解不等式可化為解方程或求函數(shù)圖像與軸交點(diǎn)的問(wèn)題，根據(jù)題意判斷所求解的區(qū)間．如“穿根法”實(shí)際上就是一種函數(shù)方程思想． （5）線性規(guī)劃問(wèn)題的解題步驟：①根據(jù)線性約束條件畫(huà)出可行域；②利用線性目標(biāo)函數(shù)求出最優(yōu)解。最優(yōu)“整點(diǎn)”不一定在可行區(qū)域內(nèi)，這時(shí)需要將相近的點(diǎn)一一列出，再代入約束條件和目標(biāo)函數(shù)逐一檢驗(yàn)，得出正確答案. （6）在利用基本不等式解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)，特別注意不等式成立的條件，即“一正，二

28、定值，三相等”在使用基本不等式時(shí)，要掌握常見(jiàn)的恒等變形技巧。 （7）不等式滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)分支中，有著十分廣泛的應(yīng)用．如集合問(wèn)題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問(wèn)題等，無(wú)一不與不等式有著密切的聯(lián)系.因此不等式應(yīng)用問(wèn)題體現(xiàn)了一定的靈活性、綜合性．在解決問(wèn)題時(shí)，要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)慕鉀Q方案，最終歸結(jié)為不等式的求解． 習(xí)題3－2 1． (2009年山東卷理科第12題)設(shè)x，y滿足約束條件 ，若目標(biāo)函數(shù) 的值是最大值為12，則的最小值為

29、 ( ) A. B. C. D. 4 2．（2010年山東卷理科第14題）若對(duì)任意，恒成立，則的取值范圍是 ． 3．已知、都是奇函數(shù)，的解集是，的解集是，求的解集 4．解關(guān)于x的不等式＞1(a≠1) ． 5．已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若m、n∈［－1，1］，m+n≠0時(shí) ＞0 (1)用定義證明在［－1，1］上是增函數(shù)； (2)解不等式：； (3)若對(duì)所有，恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍． 第三節(jié) 推理與證明 推理與證明是數(shù)學(xué)的基本思維

30、過(guò)程，也是人們經(jīng)常使用的思維方式．推理一般包括合情推理和演繹推理，證明包括直接證明、間接證明．這部分內(nèi)容是每年高考的必考知識(shí)．題型可能是選擇題、填空題，主要考查類比或歸納推理等；也可能是解答題，考查問(wèn)題的證明，推理與證明常與數(shù)列、不等到式問(wèn)題綜合，難度一般在之間. 考試要求 （1）合情推理與演繹推理① 了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用;② 了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理;③ 了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異;（2）直接證明與間接證明① 了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和

31、綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn);② 了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn). 題型一：合情推理 例1（1）若?ABC內(nèi)切圓半徑為r，三邊長(zhǎng)為a、b、c，則?ABC的面積S＝r (a+b+c) 類比到空間，若四面體內(nèi)切球半徑為R，四個(gè)面的面積為S1、S2 、S3 、S4，則四面體的體積＝ ． （2）（2009年浙江卷第15題）觀察下列等式： ，， ， ， ……… 由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論：對(duì)于， ． 【點(diǎn)撥】（1）類比推理是指兩類對(duì)象具有一些類似特征，由其中一類的某些已知特征推出另一類對(duì)象的某些特征；（

32、2）這是一種歸納推理方法，結(jié)論由二項(xiàng)構(gòu)成，第二項(xiàng)前有，二項(xiàng)指數(shù)分別為要善于發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)字間的特征才能找到規(guī)律，得到一般形式． 【解】（1）比較兩個(gè)對(duì)象，三邊對(duì)四面，面積對(duì)體積，內(nèi)切圓對(duì)內(nèi)切球，三邊長(zhǎng)對(duì)四個(gè)面的面積，由S＝r (a+b+c)等式兩邊的量，類比對(duì)應(yīng)到體積、系數(shù)、半徑R、面積S1＋S2＋S3＋S4， 答：R(S1＋S2＋S3＋S4) （2）在給出的一系列的等式中，右邊為兩項(xiàng)，形成加減輪換的規(guī)律，其中一個(gè)的指數(shù)由構(gòu)成，第二個(gè)的指數(shù)由構(gòu)成，故等式的右邊為： 【易錯(cuò)點(diǎn)】（1）類似特征不明確，類比結(jié)論錯(cuò)誤；（2）不善于尋找數(shù)字間的 規(guī)律，導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤． 變式與引申1：（1

33、） 在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜邊AB上的高為h1， D O 圖 則；類比此性質(zhì)，如圖，在四面體P—ABC中， 若PA，PB，PC兩兩垂直，底面ABC上的高為h，則得到的正確結(jié)論 為_(kāi)___ . （2）在古臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，3，6，10，15，21，28，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，因?yàn)檫@些數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形 圖 1 3 6 10 15

34、 則第個(gè)三角形數(shù)為　 （ ） A． B． C． D． 題型二：演繹推理 例2（2009年江蘇卷第16題）如圖，在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，. A B C A1 B1 C1 E F D 圖 A1 求證：（1）∥; （2）. 【點(diǎn)撥】數(shù)學(xué)的證明主要是通過(guò)演繹推理來(lái)進(jìn)行的，證明線面平行時(shí)一定要 注意注明直線在平面內(nèi)及直線在平面外這兩個(gè)條件． 【解】證明：（1）因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以， 又，，所以∥； （2）因?yàn)橹比庵?，所?/p>

35、，，又，所以，又，所以． 【易錯(cuò)點(diǎn)】三段論是演繹推理的一般形式，包括大前提、小前提、結(jié)論三部分，在書(shū)寫(xiě)證明的過(guò)程中，很多學(xué)生會(huì)出現(xiàn)跳步現(xiàn)象，邏輯關(guān)系不清楚是常見(jiàn)的錯(cuò)誤． 變式與引申2：（1）已知①正方形的對(duì)角相等；②平行四邊形的對(duì)角相等；③正方形是平行四邊形．根據(jù)三段論推理得到一個(gè)結(jié)論，則這個(gè)結(jié)論的序號(hào)是 ; （2）如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，，F(xiàn)為CD的中點(diǎn). A B C D E F 圖 （1）求證：AF∥平面BCE； （2）求證：平面BCE⊥平面CDE. 題型三：直接證明與間接證明 例3 （1）已知 求證

36、： （2）已知函數(shù)y=ax+(a＞1). （Ⅰ）證明：函數(shù)f(x)在（－1,+∞)上為增函數(shù)； （Ⅱ）用反證法證明方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根. 【點(diǎn)撥】（1）綜合法著力分析已知和求證之間的差異和聯(lián)系，并合理運(yùn)用已知條件進(jìn)行有效的變換是證明的關(guān)鍵，綜合法可以使證明過(guò)程表述簡(jiǎn)潔，但必須首先考慮從哪開(kāi)始，這一點(diǎn)比較困難，分析法就可以幫助我們克服這一點(diǎn)，運(yùn)用分析法比較容易探求解題的途徑，但過(guò)程不及綜合法簡(jiǎn)單，所以應(yīng)把它們結(jié)合起來(lái)． （2）用反證法證明把握三點(diǎn)：①必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面；②必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證；

37、③導(dǎo)致的矛盾可能多種多樣，但推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的． 【解】（1）證法1：（綜合法） ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立， 即 證法2：（分析法） 要證，只要證 即證 ，即證 即 由 得， 所以原不等式成立 （2）證明 （Ⅰ）任取x1,x2∈(-1,+∞), 不妨設(shè)x1＜x2,則x2-x1＞0,由于a＞1, ∴a＞1且a＞0, ∴a-a=a (a-1)＞0. 又∵x1+1＞0,x2+1＞0, ∴-==＞0, 于是f(x2)-f(x1)=a-a+-＞0, 故函數(shù)f(x)在(-1,+∞）上為增函數(shù). （Ⅱ）方法一

38、 假設(shè)存在x0＜0 (x0≠-1)滿足f(x0)=0, 則a=-. ∵a＞1,∴0＜a＜1, ∴0＜-＜1,即＜x0＜2， 與假設(shè)x0＜0相矛盾，故方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根. 方法二 假設(shè)存在x0＜0 (x0≠-1)滿足f(x0)=0, ①若-1＜x0＜0，則＜-2,a＜1, ∴f(x0)＜-1,與f(x0)=0矛盾. ②若x0＜-1,則＞0,a＞0, ∴f(x0)＞0,與f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根. 【易錯(cuò)點(diǎn)】（1）用綜合法證明時(shí)難找到突破口，解題受阻；（2）分析法是尋找使不等式成立的充分條件，最后要充分說(shuō)明推出的結(jié)論為什么成立． （2）

39、不是把求證結(jié)論的反面作為條件證題（2）不寫(xiě)明與什么相矛盾． 變式與引申3： 已知數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項(xiàng)和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，…），a1=1. （1）設(shè)bn=an+1-2an(n=1,2,…)，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列； （2）設(shè)cn=(n=1,2,…),求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列； （3）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式. 題型四： 數(shù)學(xué)歸納法 例4 已知函數(shù)，數(shù)列滿足遞推關(guān)系式：（），且. （1）求、、的值； （2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，； （3）證明：當(dāng)時(shí)，有. 【解】（1）由及計(jì)算得：，， （2）（?。? 即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成

40、立. （ⅱ）假設(shè)結(jié)論對(duì)（）成立，即. ∵，函數(shù)在上遞增 ∴，即當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立. 由（ⅰ）（ⅱ）知，不等式對(duì)一切都成立. （3）∵當(dāng)時(shí)，由（2）得：，∴. 又由得：，且. ∴. 【易錯(cuò)點(diǎn)】 在證明結(jié)論成立時(shí)，不用數(shù)學(xué)歸納法，不按要求做題. 變式與引申4： 已知函數(shù)． （1）若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍； （2）若函數(shù)f(x)的圖象在x = 1處的切線的斜率為0，且，已知a1 = 4， 求證：an 3 2n + 2； （3）在（2）的條件下，試比較與的大小，并說(shuō)明你的理由． 本節(jié)主要考查：（1）知識(shí)點(diǎn)有：歸納推理、類比推理兩種合情推理和

41、演繹推理；直接證明與間接證明． （2）推理滲透在每個(gè)高考試題中，證明是推理的一種形式，有的問(wèn)題需要很強(qiáng)的推理論證能力和技巧．推理問(wèn)題常常以探索性命題的方式出現(xiàn)在高考題中；（3）常見(jiàn)的論證方法有：綜合法、分析法及反證法等． 點(diǎn)評(píng)：（1）歸納猜想是一種重要的思維方法，是對(duì)有限的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納、整理，然后提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，是由部分到整理，由個(gè)別到一般的推理；結(jié)果的正確性還需進(jìn)一步論證，一般地，考查的個(gè)體越多，歸納出的結(jié)論可靠性越大． （2）類比的關(guān)健是能把兩個(gè)系統(tǒng)之間的某些一致性確切地表述出來(lái)，也就是要把相關(guān)對(duì)象在某些方面一致性的含糊認(rèn)識(shí)說(shuō)清楚，在學(xué)習(xí)中要注意通過(guò)類比去發(fā)現(xiàn)探索新

42、問(wèn)題． （3）綜合法的特點(diǎn)是：以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，實(shí)際上是尋找使問(wèn)題成立的必要條件，是一個(gè)由因?qū)Ч倪^(guò)程；分析法的特點(diǎn)是：從“未知”看“需知”逐步靠攏“已知”，即尋找使問(wèn)題成立的充分條件，是一個(gè)執(zhí)果索因的過(guò)程． （4）一般來(lái)說(shuō)：分析法有兩種證明途徑：①由命題結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充分條件，逐步推導(dǎo)下去；②由命題結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充要條件，逐步推導(dǎo)下去． （5）反證法在高考中的要求不高，但這種“正難則反”的思維方式值得重視，解決問(wèn)題時(shí)要注意從多方面考慮，提高解決問(wèn)題的靈活性． 習(xí)題3－3 1．將正奇數(shù)數(shù)列1，3，5，7，9，…進(jìn)行如下分組：第一組含一

43、個(gè)數(shù){1}；第二組含兩個(gè)數(shù){3，5}；第三組含三個(gè)數(shù){7，9，11}；第四組含四個(gè)數(shù){13，15，17，19}；……記第n組內(nèi)各數(shù)之和為Sn，則Sn與n的關(guān)系為 (　 　) A．Sn＝n2 B．Sn＝n3 C．Sn＝2n＋1 D．Sn＝3n－1 2．為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息．設(shè)定原信息為（），傳輸信息為，其中，運(yùn)算規(guī)則為：，，，，例如原信息為111，則傳輸信息為01111．傳輸信息在傳輸過(guò)程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯(cuò)，則下列三個(gè)接收信息：（1）11010（2）01100（3）10111，一定有誤的是

44、 （填序號(hào)）． 3．設(shè)滿足且，， 求證：是周期函數(shù)． 圖 4．如圖所示，點(diǎn)P為斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱BB1上一點(diǎn)，PM⊥BB1交AA1于點(diǎn)M，PN⊥BB1交CC1于點(diǎn)N. （1）求證：CC1⊥MN； （2）在任意△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2－2DF·EF·cos∠DFE． 拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫(xiě)出斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè) 側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明． 5．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和（n為正整數(shù)）． （1）令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）令，試比較與的大小，并予以證明． 第四節(jié) 不等式選講

45、 不等式選講是一個(gè)選考內(nèi)容,縱觀近年關(guān)于課程標(biāo)準(zhǔn)的高考試題,含絕對(duì)值不等式的試題常以選做題的形式出現(xiàn),屬于中檔偏易題.最值與恒成立問(wèn)題是高考的常考點(diǎn),不等式的證明常與數(shù)列相結(jié)合,考查數(shù)學(xué)歸納法、放縮法等技能方法,屬于中高檔題,甚至是壓軸題,難度一般控制在之間. 考試要求： ⑴理解絕對(duì)值及其幾何意義. ①絕對(duì)值不等式的變式：. ②利用絕對(duì)值的幾何意義求解幾類不等式：①；②；③. ⑵了解不等式證明的方法：如比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法； ⑶了解柯西不等式：若，則, 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). 題型一 含絕對(duì)值不等式 例 ⑴(2009山東卷第1

46、3題)不等式的解集為 . ⑵對(duì)定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)與,當(dāng)時(shí),不等式與 的解集分別為、,則與的關(guān)系是( Ｃ ). A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.與的關(guān)系無(wú)法確定 點(diǎn)撥：⑴此不等式左邊含有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，可考慮采用零點(diǎn)分段法,即令每一項(xiàng)都等于,得到的值作為討論的分區(qū)點(diǎn),然后再分區(qū)間討論絕對(duì)值不等式,最后應(yīng)求出解集的并集. ⑵仔細(xì)觀察兩不等式左邊的結(jié)構(gòu),聯(lián)想到絕對(duì)值不等式,便把問(wèn)題簡(jiǎn)化. 解：⑴原不等式等價(jià)于不等式組①或②或③ 不等式組①無(wú)解,由②得,由③得,綜上得,所以原不等式的解集 為.答案: . ⑵由知,使成立的的每個(gè)值,必可使成立

47、,即中的每個(gè)元素都在中,故,選C. 易錯(cuò)點(diǎn)：⑴含有多項(xiàng)絕對(duì)值的不等式的轉(zhuǎn)化易出錯(cuò)；⑵不會(huì)運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想,去掉絕對(duì)值符號(hào). ⑵含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)不能正確轉(zhuǎn)化. 變式與引申： (2010年黑龍江省哈爾濱三中等四校三模)已知對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 題型二 不等式的性質(zhì) 例.⑴(2010年四川卷第12題)設(shè)，則的最小值是( ). A. B. C. D. ⑵設(shè)且,求的最大值. 點(diǎn)撥：⑴觀察分母能發(fā)現(xiàn)其和為,則已知可配湊成,再利用基本不等式求解；⑵觀

48、察已知條件,可將所求式子轉(zhuǎn)化為,再利用基本不等式求解. 【答案】B 解：⑴＝ . 當(dāng)且僅當(dāng),,時(shí)等號(hào)成立,如取,,滿足條件. （2）∵,∴. 又,∴,即 易錯(cuò)點(diǎn)：忽視基本不等式求最值時(shí)的“一正、二定、三相等”條件. 變式與引申2：已知,且,求證:. 題型三 不等式的證明 例3 已知,且,求證：. 點(diǎn)撥：由,得,,.可使問(wèn)題得證；也可運(yùn)用柯西不等式證明. 解法1：∵ ,∴,,, ∴. 解法2：由柯西不等式,得,∴. 易錯(cuò)點(diǎn)：⑴易出現(xiàn)的錯(cuò)誤；⑵忽視基本不等式中等號(hào)成立的條件. 變式與引申3： ⑴，求證：. 題型四 不等式與函數(shù)的綜合應(yīng)用 例已知函數(shù)

49、.當(dāng)時(shí). ⑴求證：； ⑵若,則當(dāng)時(shí),求證：. 點(diǎn)撥：本題中所給條件并不足以確定參數(shù),的值，但應(yīng)該注意到：所要求的結(jié)論不是的確定值,而是與條件相對(duì)應(yīng)的“取值范圍”,因此,我們可以用 、、來(lái)表示,,因?yàn)橛梢阎獥l件有,,,可使問(wèn)題獲證. 解： (1) 證明：由，從而有 ,∵,∴ (2)由,,,. 從而 ,將以上三式代入，并整理得 , . 易錯(cuò)點(diǎn)：⑴不會(huì)用、來(lái)表示、、及其它們的和差關(guān)系式,從而解題思路受阻；⑵不能靈活運(yùn)用絕對(duì)值,對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化；⑶運(yùn)用放縮法時(shí)的放縮程度把握不住. 變式與引申4：設(shè)函數(shù),,若當(dāng)時(shí),恒成立, 求證：⑴；⑵當(dāng)時(shí),. 本節(jié)主要考查：⑴不等式的性

50、質(zhì)(基本不等式與柯西不等式)應(yīng)用；⑵含絕對(duì)值不等式的解法； ⑶逆求參數(shù)取值范圍；⑷數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列有關(guān)的不等式問(wèn)題； ⑸函數(shù)方程思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化化歸思想以及比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法和放縮法等數(shù)學(xué)思想方法. 點(diǎn)評(píng)：⑴運(yùn)用不等式性質(zhì)解有關(guān)問(wèn)題時(shí),要隨時(shí)對(duì)性質(zhì)成立的條件保持高度警惕,避免錯(cuò)誤發(fā)生； ⑵應(yīng)用絕對(duì)值不等式解題時(shí),要注意絕對(duì)值不等式中等號(hào)成立的條件；解含絕對(duì)值不等式的關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值符號(hào),主要思路有：①利用絕對(duì)值的幾何意義；②零點(diǎn)分段討論；③平方轉(zhuǎn)化；④借助圖象直觀獲解. ⑶利用基本不等式和柯西不等式求最值是不等式選講的重點(diǎn)考查內(nèi)

51、容之一,解題中常用技巧是注意創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的條件,合理地拆分項(xiàng)或配湊因式,即把已知式子轉(zhuǎn)化成基本不等式和柯西不等式的模型.在應(yīng)用求最值時(shí),“一正、二定、三相等”三個(gè)條件不可缺一. ⑷證明不等式的常用方法： ①比較法,即作差比較法與作商比較法；②綜合法—-由因?qū)Ч虎鄯治龇?--執(zhí)果索因；④數(shù)學(xué)歸納法,證明不等式時(shí)應(yīng)把握兩點(diǎn)：一是明確證題的關(guān)鍵是第二步的證明,即運(yùn)用的歸納假設(shè)作為條件去推證時(shí)的命題成立.如果沒(méi)有運(yùn)用歸納假設(shè)條件,就直接證得結(jié)論那么這種證法就不是數(shù)學(xué)歸納法；二是注意明確時(shí)目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征,以選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄈプC明,若直接證明目標(biāo)式有困難,可借助其他輔助方法(放

52、縮法、分析法等)去證明.⑤放縮法,運(yùn)用時(shí)應(yīng)注意觀察“放與縮”的方向和“放與縮”的量的大小,把握好放縮的“度”,熟記一些常用放縮技巧和放縮的結(jié)構(gòu)形式. ⑸不等式作為工具,常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、解析幾何結(jié)合在一起,在高考中以綜合題形式出現(xiàn),應(yīng)給予關(guān)注. 習(xí)題3-4 1．（2009年重慶卷理第題）不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為( ). A. B. C. D. 2．(2008年山東卷第16題）若不等式的解集中的整數(shù)有且僅有,則的取值范圍 . 3.設(shè),是大于的常數(shù),若的最小值是,則的值等于______. 4.求證：.

53、 5.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知(n∈N*). （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在整數(shù)，使對(duì)任意n∈N*且n≥2,都有成立，求的最大值； （3）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，. 第五節(jié) 數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用 數(shù)列和不等式是高考的兩大熱點(diǎn)也是難點(diǎn)，數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的內(nèi)容，在高等數(shù)學(xué)也有很重要的地位，不等式是高中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生思維能力的一個(gè)突出的內(nèi)容，它可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維中的很多方法.數(shù)列與不等式的交匯綜合又是高考的重中之重. 近幾年，高考關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用的命題趨勢(shì)是： （1）以客觀題考查不等式的性質(zhì)、解法

54、與數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列的簡(jiǎn)單交匯． （2）以解答題以中檔題或壓軸題的形式考查數(shù)列與不等式的交匯，還有可能涉及到導(dǎo)數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)的知識(shí)等，深度考查不等式的證明(主要比較法、綜合法、分析法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法)和邏輯推理能力及分類討論、化歸的數(shù)學(xué)思想，試題新穎別致，難度相對(duì)較大． 題型一 數(shù)列中的不等關(guān)系 例1（2008年四川卷理科第16題）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則的最大值是 . 【點(diǎn)撥】數(shù)列與不等式的小題，主要是運(yùn)用基本不等式、不等式的性質(zhì)、線性規(guī)劃等求范圍或最值．本題明為數(shù)列，實(shí)為線性規(guī)劃，著力考查了轉(zhuǎn)化化歸和數(shù)形結(jié)合思想．因約束條件只有兩個(gè)，

55、本題也可用不等式的方法求解． 【解法1】由題意，，即，，． 建立平面直角坐標(biāo)系，畫(huà)出可行域（圖略），畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)即直線，由圖知，當(dāng)直線過(guò)可行域內(nèi)點(diǎn)時(shí)截距最大，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取最大值． 【解法2】前面同解法1 設(shè)，由解得，∴ 由不等式的性質(zhì)得： ，即 ，的最大值是4． 【解法3】前面同解法1， ∴ ∴，即 ∴，的最大值是4． 【易錯(cuò)點(diǎn)】一方面得出不等式組，之后不知如何運(yùn)用；另一方面用線性規(guī)劃求最值時(shí)，用錯(cuò)點(diǎn)的坐標(biāo)． 變式與引申1： ⑴等比數(shù)列的公比，第17項(xiàng)的平方等于第24項(xiàng)，求使 恒成立的正整數(shù)的取值范圍． ⑵設(shè)若是與的等比中項(xiàng)，則的最小值為 （

56、 ） A．8 B．4 C．2 D．1 題型二 數(shù)列、函數(shù)與不等式 例2 已知函數(shù)，數(shù)列滿足，且． （1）設(shè)，證明：； （2）設(shè)（1）中的數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明． 【點(diǎn)撥】數(shù)列參與的不等式的證明問(wèn)題常用的方法：(1)比較法，特別是差值比較法是最根本的方法；(2)分析法與綜合法，一般是利用分析法分析，再利用綜合法證明；(3)放縮法，利用迭代法、累加法、累乘法構(gòu)建關(guān)系進(jìn)行放縮. 【解】（1） 由條件知 故 （2）由（1）的過(guò)程可知 ， . 【易錯(cuò)點(diǎn)】不易找出放縮的方法，

57、從而無(wú)法證明．放縮法中通過(guò)對(duì)分母分子的擴(kuò)大或縮小、項(xiàng)數(shù)的增加與減少等手段達(dá)到證明的目的． 變式與引申2： 已知數(shù)列中，. （1）求； （2）設(shè)數(shù)列滿足：，求證當(dāng)時(shí)，有. 題型三 數(shù)列與不等式的探索性問(wèn)題 例3（2008年湖北卷理科第21題）已知數(shù)列和滿足：，，，其中為實(shí)數(shù)，為正整數(shù). （1）對(duì)任意實(shí)數(shù)，證明數(shù)列不是等比數(shù)列； （2）試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論； （3）設(shè),為數(shù)列的前項(xiàng)和.是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都有?若存在，求的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由. 【點(diǎn)撥】數(shù)列與不等式中的探索性問(wèn)題主要表現(xiàn)為存在型，解答的一般策略：先假設(shè)所探求對(duì)象存在或結(jié)

58、論成立，以此假設(shè)為前提條件進(jìn)行運(yùn)算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設(shè)不成立，從而得到“否定”的結(jié)論，即不存在.若推理不出現(xiàn)矛盾，能求得在范圍內(nèi)的數(shù)值或圖形，就得到肯定的結(jié)論，即得到存在的結(jié)果.也可直接推理判斷是否存在. 【解】（1）證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使｛an｝是等比數(shù)列，則有a22=a1a3, 即 矛盾.所以｛an｝不是等比數(shù)列. (2)因?yàn)閎n+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n·（an-3n+21）= 又,所以 當(dāng)，,此時(shí)不是等比數(shù)列； 當(dāng)時(shí)，,由上可知bn≠0，∴(n∈N+). 故當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)

59、，為公比的等比數(shù)列. (3)由（2）知，當(dāng),不滿足題目要求. ∴，故知，于是可得 要使a3a存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意正整數(shù)n,都有a

60、； （2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個(gè)正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （3）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有. 題型三 數(shù)列、解幾與不等式 例4（2010年安徽卷文科第21題）設(shè)C1， C2， …Cn，…是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線相切，對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n ，圓Cn都與圓Cn+1相互外切，以rn表示Cn的半徑，已知{rn }為遞增數(shù)列. (1)證明：{rn }為等比數(shù)列； (2)設(shè)r1=1，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【點(diǎn)撥】本題明是對(duì)等比數(shù)列的概念及數(shù)列求和的方法的考查，實(shí)是對(duì)數(shù)形結(jié)合及解析法的深層次的考

61、查．要求學(xué)生把相關(guān)知識(shí)方法融合，分析題意，找出解決問(wèn)題的路徑，進(jìn)行正確的推理與運(yùn)算，簡(jiǎn)潔明了的表述過(guò)程與結(jié)果． 【解】（1）將直線的傾斜角記為，則有 設(shè)的圓心為，則由題意得知，得，同理可得： 從而，又，∴∴{rn }為公比為3的等比數(shù)列 （2）由于，∴，從而，記，則有 ∴ 兩式相減得： ∴ 【易錯(cuò)點(diǎn)】錯(cuò)位相減法及找出及之間的關(guān)系不易建立，要充分利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題． 答圖 變式與引申4： 如圖，已知曲線．從C上的點(diǎn)作x軸的垂線，交于點(diǎn)，再?gòu)狞c(diǎn)作y軸的垂線，交C于點(diǎn)設(shè)，． （1）求點(diǎn)Q1、Q2的坐標(biāo)； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （3）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.

62、 本節(jié)主要考查：數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式以及二者之間的關(guān)系、等差數(shù)列和等比數(shù)列、歸納與猜想、比較大小、不等式證明、參數(shù)取值范圍的探求，在不等式的證明中要注意放縮法的應(yīng)用，此類題型主要考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的靈活變通、融合與遷移，考查學(xué)生數(shù)學(xué)視野的廣度和進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛能. 點(diǎn)評(píng) 數(shù)列與不等式作為高中數(shù)學(xué)代數(shù)的兩大核心內(nèi)容，其在高考試卷中處于的核心地位，數(shù)列與不等式的綜合是高考的重中之重，有數(shù)列與不等式的主要交匯，有不等式與函數(shù)的重點(diǎn)交叉，數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法、不等式與解析幾何的交匯也比較突出．當(dāng)這些兩者甚至三者交匯結(jié)合在一起的時(shí)候，問(wèn)題會(huì)變得非常的靈活，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能

63、力，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，計(jì)算能力以及數(shù)學(xué)的思想和方法、數(shù)學(xué)的素養(yǎng)都有較高的要求． （1）試題主要考查知識(shí)重點(diǎn)和熱點(diǎn)是數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式以及二者之間的關(guān)系、等差數(shù)列和等比數(shù)列、歸納與猜想、數(shù)學(xué)歸納法、比較大小、不等式證明、參數(shù)取值范圍的探求，在不等式的證明中要注意放縮法的應(yīng)用.此類題型主要考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的靈活變通、融合與遷移，考查學(xué)生數(shù)學(xué)視野的廣度和進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛能． （2）求解數(shù)列中的某些最值問(wèn)題，有時(shí)須結(jié)合不等式來(lái)解決，其具體解法有：（1）建立目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)不等式確定變量范圍，進(jìn)而求得最值；（2）首先利用不等式判斷數(shù)列的單調(diào)性，然后確定最值；（3）利用條件中的不等式關(guān)

64、系確定最值． （3）探索型問(wèn)題常常需要由給定的題設(shè)條件去探索相應(yīng)的結(jié)論，或探索滿足某些條件的對(duì)象是否存在，問(wèn)題增加了許多可變因素，思維指向不明顯．探索型問(wèn)題有：（1）猜想型，即結(jié)論未給出，解題時(shí)需要首選探索結(jié)論，然后再加以證明；（2）判斷型，即判定符合某種條件的數(shù)學(xué)對(duì)象是否存在或其結(jié)論是否成立，解題時(shí)常先假設(shè)存在，然后求出或?qū)С雒埽? （4） 數(shù)列中的不等式問(wèn)題，一般有放縮，構(gòu)造函數(shù)這兩類常見(jiàn)的方法．用放縮法證明不等式有：（1）利用迭代法構(gòu)建關(guān)系進(jìn)行放縮；（2）利用累加法構(gòu)建關(guān)系進(jìn)行放縮；（3）利用累乘法構(gòu)建關(guān)系進(jìn)行放縮；

65、 （5）利用可求和的新數(shù)列構(gòu)建關(guān)系進(jìn)行放縮．而放縮主要是把數(shù)列的通項(xiàng)放縮為一個(gè)可求和的數(shù)列，如放縮為等比、等差或可裂項(xiàng)求和的數(shù)列． 習(xí)題3－5 1． (湖北省武漢市六校2010屆高三第一次聯(lián)考)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前項(xiàng)和，對(duì)于任意，總有成等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 ，且，則對(duì)任意實(shí)數(shù)（是常數(shù)，＝2.71828）和任意正整數(shù)，小于的最小正整數(shù)為 （ ） A．1 ? 　B．2 　 C．3 　　 D．4 2．已知

66、成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的最小值是________. 3．(2009年陜西卷理科第22題)已知數(shù)列滿足， . （1）猜想數(shù)列的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論； （2）證明：．4．已知為銳角，且，函數(shù)，數(shù)列的首項(xiàng). （1）求函數(shù)的表達(dá)式； （2）求證：； （3）求證：. 5．已知，數(shù)列滿足，數(shù)列滿足, . 求證：（1）； （2）； （3）若，則當(dāng)時(shí)，有. 第三講 測(cè)試卷 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．已知是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，且，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為（ ） A．或5 B．或5 C． D． 2．用反證法證明命題：若整數(shù)系數(shù)一元二次方程有有理根，那么、、中至少有一個(gè)是偶數(shù)．下列假設(shè)中正確的是 （ ） A．假設(shè)、、都是偶數(shù) 　　 B．假設(shè)、、都不是偶數(shù) C．假設(shè)、、中至多有一個(gè)是偶數(shù) D．假設(shè) 、、中至多有兩個(gè)是偶