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1、2.3.1直線與平面垂直的判定,,,直線和平面垂直的判定(1),復(fù)習(xí)引入:,1.直線和平面的位置關(guān)系是什么?,(1)直線在平面內(nèi)(無數(shù)個公共點); (2)直線和平面相交(有且只有一個公共點); (3)直線和平面平行(沒有公共點),2.線面平行的判定定理的內(nèi)容是什么?,如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行.,3.線面平行的性質(zhì)定理的內(nèi)容是什么?,如果一條直線和一個平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交,那么這條直線和交線平行.,引入新課,在直線和平面相交的位置關(guān)系中,有一種相交是很特殊的,我們把它叫做垂直相交,這節(jié)課我們重點來探究這種形式的相交,直線
2、與平面垂直,觀察實例,發(fā)現(xiàn)新知,旗桿與地面的關(guān)系,給人以直線與平面垂直的形象。,觀察實例,發(fā)現(xiàn)新知,房屋的屋柱與地面的關(guān)系,給人以直線與平面垂直的形象。,大橋的橋柱與水面的位置關(guān)系,給人以直線與平面垂直的形象。,觀察實例,發(fā)現(xiàn)新知,實例研探,定義新知,探究:什么叫做直線和平面垂直呢?當(dāng)直線與平面垂直時,此直線與平面內(nèi)的所有直線的關(guān)系又怎樣呢?,生活中線面垂直的實例:,,,,,,在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面的影子,隨著時間的變化,盡管影子的位置在移動,但是旗桿所在的直線始終與影子所在的直線垂直(如圖),事實上,旗桿AB所在直線與地面內(nèi)任意一條不過點B的直線也是垂直的。,直線與平面垂直的
3、定義:,如果一條直線l 和一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線l 和平面互相垂直. 記作:l ,,,,l,P,,l 叫做的垂線, 叫做l 的垂面, l 與的唯一公共點P叫做垂足。,畫直線與平面平行時,通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直。,“任何”表示所有(提問:若直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則直線垂直與平面嗎?如不是,直線與平面的位置關(guān)系如何?) 直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情況,在垂直時,直線與平面的交點叫做垂足. a等價于對任意的直線m,都有am.,三點說明:,利用定義,我們得到了判定線面垂直的最基本方法,同時也得到了線面垂直的最基本的性質(zhì).,探究,提
4、出問題:有沒有比較方便可行的方法來判斷直線和平面垂直呢?,師生活動:請同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形的紙片,我們一起來做如圖所示的試驗:過ABC的頂點A翻折紙片,得到折痕AD,將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD、DC與桌面接觸),問:折痕AD與桌面垂直嗎?如何翻折才能保證折痕AD與桌面所在平面垂直?,A,直線與平面垂直的判定定理:,一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則這條直線垂直于這個平面.,,線線垂直 線面垂直,,例題示范,鞏固新知,例1、一旗桿高8m,在它的頂點處系兩條長10m的繩子,拉緊繩子并把它們的下端固定在地面上的兩點(與旗桿腳不在同一條直線上)。如果這兩點與旗桿腳距6m,那么旗桿
5、就與地面垂直,為什么?,解:如圖,旗桿PO8,兩繩子長PAPB10,OAOB6,A,O,B三點不共線 因此A,O,B三點確定平面, 因為PO2AO2PA2,PO2BO2PB2, 所以POOA,POOB 又OAOBO 所以O(shè)P,因此旗桿與地面垂直。,例2、如圖,已知ab,a。 求證:b。,例題示范,鞏固新知,分析:在平面內(nèi)作兩條相交直線,由直線與平面垂直的定義可知,直線a與這兩條相交直線是垂直的,又由b平行a,可證b與這兩條相交直線也垂直,從而可證直線與平面垂直。,,,a,b,,,,,閱讀P66頁的證明過程.,鞏固練習(xí),1.平行四邊形ABCD所在平面a外有一點P,且PA=PB=PC=PD,求證:
6、點P與平行四邊形對角線交點O的連線PO垂直于AB、AD.,課本P66頁探究,課本P67頁練習(xí)1,鞏固練習(xí),,,P,,,,,,A,,,B,,C,歸納小結(jié),今天這節(jié)課,我們學(xué)習(xí)了直線和平面垂直的定義,這個定義最初用在判定定理的證明上,但用得較多的則是,如果直線l垂直于平面a,那么l就垂直于a內(nèi)的任何一條直線;對于判定定理,判定線、面垂直,實質(zhì)是轉(zhuǎn)化成線、線垂直,從中不難發(fā)現(xiàn)立體幾何問題解決的一般思路,,作業(yè)布置,P67頁練習(xí)第1題,P74頁B組2題,直線和平面垂直的判定(2),復(fù)習(xí)引入,1直線與平面垂直的定義,如果直線l與平面的任意一條直線都垂直,我們就說直線l與平面互相垂直,記作l.,2直線與平
7、面垂直的判定定理,一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直。,鞏固練習(xí),,,P,,,,,,A,,,B,,C,引課,我們知道,當(dāng)直線和平面垂直時,該直線叫做平面的垂線。如果直線和平面不垂直,是不是也該給它取個名字呢?此時又該如何刻畫直線和平面的這種關(guān)系呢?,直線與平面所成的角,1.平面的斜線,如圖,若一條直線PA和一個平面相交,但不垂直,那么這條直線就叫做這個平面的斜線,斜線和平面的交點A叫做斜足。,,P,A,斜足,斜線,2.直線和平面所成的角,如圖,過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線PO,過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射
8、影所成的銳角,叫做這條直線和這個平面所成的角。,斜線,斜足,射影,垂足,垂線,,一條直線垂直于平面,我們說它所成的角是直角;一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),我們說它所成的角是00的角。,規(guī)定:,想一想:直線與平面所成的角的取值范圍是什么?,,例1、如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,求 (1)直線A1B和平面BCC1B1所成的角。 (2)直線A1B和平面A1B1CD所成的角。,,,,O,例題示范,鞏固新知,分析:找出直線A1B在平面BCC1B1和平面A1B1CD內(nèi)的射影,就可以求出A1B和平面BCC1B1和平面A1B1CD所成的角。,鞏固練習(xí),1.判斷下列說法是否正確,(1)兩條平行直線
9、在同一平面內(nèi)的射影 一定是平行直線 ( ),(2)兩條相交直線在同一平面內(nèi)的射影 一定是相交直線 ( ),(3)兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影 要么是平行直線,要么是相交直線 ( ),(4)若斜線段長相等,則它們在平面內(nèi) 的射影長也相等 ( ),2.如圖:正方體ABCD-A1B1C1D1中,求: (1)AB1在面BB1D1D中的射影 (2)AB1在面A1B1CD中的射影 (3)AB1在面CDD1C1中的射影,,,,,,A,D,C,B,鞏固練習(xí),2.如圖:正方體ABCD-A1B1C1D1中,求: (1)AB1在面BB1D1D中的射影 (2)AB1在面
10、A1B1CD中的射影 (3)AB1在面CDD1C1中的射影,,,,,,A1,D1,C1,B1,A,D,C,B,,,,,鞏固練習(xí),2.如圖:正方體ABCD-A1B1C1D1中,求: (1)AB1在面BB1D1D中的射影 (2)AB1在面A1B1CD中的射影 (3)AB1在面CDD1C1中的射影,,,,,,,A,D,C,B,,,,,鞏固練習(xí),2.如圖:正方體ABCD-A1B1C1D1中,求: (1)AB1在面BB1D1D中的射影 (2)AB1在面A1B1CD中的射影 (3)AB1在面CDD1C1中的射影,,,,,,A,D,C,B,,,,鞏固練習(xí),3.如圖:正方體ABCD-A1B1C1D1中,求:
11、(1)A1C1與面ABCD所成的角 (2) A1C1與面BB1D1D所成的角 (3) A1C1與面BB1C1C所成的角 (4)A1C1與面ABC1D1所成的角,,,,,,A,D,C,B,0o,鞏固練習(xí),3.如圖:正方體ABCD-A1B1C1D1中,求: (1)A1C1與面ABCD所成的角 (2) A1C1與面BB1D1D所成的角 (3) A1C1與面BB1C1C所成的角 (4)A1C1與面ABC1D1所成的角,,,,,,A,D,C,B,,,,90o,鞏固練習(xí),3.如圖:正方體ABCD-A1B1C1D1中,求: (1)A1C1與面ABCD所成的角 (2) A1C1與面BB1D1D所成的角 (3)
12、 A1C1與面BB1C1C所成的角 (4)A1C1與面ABC1D1所成的角,,,,,,A,D,C,B,45o,,,,,,鞏固練習(xí),3.如圖:正方體ABCD-A1B1C1D1中,求: (1)A1C1與面ABCD所成的角 (2) A1C1與面BB1D1D所成的角 (3) A1C1與面BB1C1C所成的角 (4)A1C1與面ABC1D1所成的角,,,,,,A,D,C,B,,,,,,30o,鞏固練習(xí),1下面四個命題,其中真命題的個數(shù)是(,),B,垂直于同一直線的兩條直線平行;垂直于同一直線的 兩個平面平行;平行于同一平面的兩個平面平行;平行于 同一直線的兩條直線平行,B3 個 D1 個,A2 個 C4
13、 個,解析:、、正確,線面垂直判定定理的應(yīng)用,例 1:已知:如圖 1,空間四邊形 ABCD 中,ABAC,DB DC,取 BC 中點 E,連接 AE、DE,求證:BC平面 AED.,圖 1,證明:ABAC,DBDC,E 為BC 中點, AEBC,DEBC. 又AE 與DE 交于E,BC平面AED.,由判定定理可知要證明直 線垂直平面,只需證明直線與平面內(nèi)的任意兩 條相交直線垂直即可,證明:PA O 所在平面,,BCO 所在平面,PA BC, AB 為O 直徑, ACBC, 又 PA ACA, BC平面 PAC,,又 AE平面 PAC,BCAE,,AEPC, PCBCC,AE平面 PBC.,線面
14、垂直判定定理的應(yīng)用 例 3:如圖 6,已知 PA O 所在平面,AB 為O 直徑, C 是圓周上任一點,過 A 作 AEPC 于 E, 求證:AE平面 PBC. 圖 6,12.如圖 3,在四棱錐 PABCD 中,PA 底面 ABCD,AC CD,E 是 PC 上的任一點(除 P 和 C 點外),證明:CDAE.,圖 3,例2,如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點 (1)證明:PA//面EDB (2)求EB與底面ABCD所成角的正切值,P,D,C,A,B,E,(1),(2),圖2,ASG平面 EFG CGF平面 SEF,BSD平面 EFG DGD平面 SEF,解析:在題圖(1)中,SG1G1E,SG3G3F,在題圖(2)中, SGGE,SGGF,SG平面 EFG.,A,歸納小結(jié),1直線與平面垂直的概念,(1)利用定義;,(2)利用判定定理,3數(shù)學(xué)思想方法:轉(zhuǎn)化的思想,3直線與平面垂直的判定,垂直于平面內(nèi)任意一條直線,2. 線面角的概念及范圍,作業(yè)布置 作業(yè):P74A組9題,B組4題,