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1、4-1 平面的表示法,一、幾何元素表示法,二、跡線表示法,一.平面的表示方法,1.幾何元素表示法,直線及線外一點,兩平行直線,兩相交直線,平面圖形,不共線的三點,一.平面的表示方法,2.跡線表示法,跡線：平面與投影面的交線。,,P,PV,PH,PW,PX,PY,PZ,規(guī)定：V、H、W 各面跡線分別用PV、PH、PW 表示。,,PV,,PZ,PX,,,PH,PYH,PYW,PW,O,,,本節(jié)結(jié)束,4-2 各種位置平面的投影,一、投影面垂直面,二、投影面平行面,三、一般位置平面的投影特性,一、投影面垂直面,垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面的平面稱為投影面垂直面。,投影面垂直面分為三種：,鉛垂面

2、 (于H 面，于V 面和W 面),正垂面 (于V 面，于H 面和W 面),側(cè)垂面 (于W 面，于H 面和V 面),一、投影面垂直面,1.鉛垂面,,投影特點：,H 投影積聚為-傾斜線； 反映和 V 投影和 W 投影為類似形。,,,空間分析：,O,c,b”,O,一、投影面垂直面,1.鉛垂面,,,,,,,,V,X,Z,Y,,,,,,,,PV,PH,PW,PH,PW,PV,,跡線表示?,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,P,O,O,,,,,一、投影面垂直面,2.正垂面,,,,,,,,,O,V 投影積聚為-傾斜線； 反映和； H 投影和W

3、 投影為類似形。,投影特點：,空間分析：,O,,,,,,V,X,Z,Y,,,,,一、投影面垂直面,2.正垂面,,,,,,RH,RW,RV,RV,,,,RH,RW,跡線表示,R,O,O,一、投影面垂直面,3.側(cè)垂面,,W 投影積聚為-傾斜線； 反映和 ； H 投影和 V 投影為類似形。,,,投影特點：,空間分析：,O,,一、投影面垂直面,3.側(cè)垂面,,,,,,,,,,,QW,QV,QV,QH,QW,跡線表示,O,,QH,Q,一、投影面垂直面,例1 包含A（a，a）作=30 的正垂面。,,,,,,,,兩相交直線決定平面,跡線表示平面,b,c,b,c,RV,RH,d,d,一、投影面垂直面,例2 包含

4、AB（ab，ab ）作鉛垂面。,,,,,,a,b,a,b,X,O,c,c,,一、投影面垂直面,例3 完成側(cè)垂面的水平投影。,,,,1,,,,,,,,,,,,6,,5,,,,2,,4,,,,,,,,,3,側(cè)垂面,注意： V、H 投影的“類似性”。,投影分析：,X,O,Z,YH,YW,6,二、投影面平行面,平行于某一投影面的平面稱為投影面平行面。,投影面平行面分為三種：,水平面 (于H 面，于V 、W 面),正平面 (于V 面，于H 、W 面),側(cè)平面 (于W 面，于H 、V 面),二、投影面平行面,1.水平面,C,,,投影特點：,H 投影反映實形； V 投影和 W 投影積聚為直線； 積聚投影垂直

5、于OZ 軸。,O,二、投影面平行面,1.水平面,,,,QW,QV,,,QV,QW,跡線表示,C,O,二、投影面平行面,2.正平面,,,投影特點：,V 投影反映實形； H 投影和 W 投影積聚為直線； 積聚投影都垂直于OY 軸。,,O,二、投影面平行面,2.正平面,,,PH,,,,,PH,跡線表示,O,二、投影面平行面,3.側(cè)平面,,,投影特點：,W 投影反映實形； H 投影和 V 投影積聚為直線； 積聚投影垂直于OX 軸。,O,二、投影面平行面,3.側(cè)平面,RH,RV,,,RV,RH,跡線表示,,,O,,,二、投影面平行面,例1 包含點A（a，a）作正平面。,,,,正平面的水平投影為一條OX

6、軸的直線。,b,c,b,c,二、投影面平行面,例2 含水平線BC（bc，bc）作平面P 平行于H 面。,,,,,,,b,b,x,o,c,c,,,PV,三、一般位置平面,傾斜于三個投影面的平面，稱為一般位置平面。,三個投影均是類似形。,投影特點：,b,B,A,C,o,o,三、一般位置平面,用跡線表示的一般位置平面,,PV,,PZ,PX,,,PH,PYH,PYW,PW,三、一般位置平面,例 包含A（a，a）作一般位置平面。,任作兩相交直線決定一平面.,,,b,c,,,b,c,,,無數(shù)解!,,,本節(jié)結(jié)束,4-3 平面內(nèi)的直線和點,一、直線在平面內(nèi)的幾何條件,二、平面內(nèi)的一般位置直線,三、平面內(nèi)的投影

7、面平行線,四、平面內(nèi)對投影面的最大斜度線,五、平面內(nèi)的點,一、直線在平面內(nèi)的幾何條件,通過一平面上的兩個點；,通過平面上一點同時又平行該平面上另一直線。,,,,M,N,二、平面內(nèi)的一般位置直線,例1 在平面ABC 內(nèi)作一任意直線。,,,,,,,1,,2,2,,a,b,c,X,O,a,b,c,,,,,,,,,,,1,無數(shù)解!,,二、平面內(nèi)的一般位置直線,例2 判斷直線 是否在ABC 平面內(nèi)。,,,,,,,1,,2,2,,a,b,c,X,O,b,a,c,,,,,1,,,,,,,,,,否,3,4,4,3,三、平面內(nèi)的投影面平行線,1.定義: 平面內(nèi)平行于某一投影面的直線，稱為平面內(nèi)的投影面平行線。

8、,在一般位置平面內(nèi)可取三類投影面平行線:,水平線； 正平線； 側(cè)平線。,,,三、平面內(nèi)的投影面平行線,從屬性(屬于平面); 投影面平行線的投影特性。,D,E,e,d,e,d,,,,取平面內(nèi)的水平線DE,2.投影特性:,deOX 軸,,,,,B,三、平面內(nèi)的投影面平行線,例 在平面(ABCD )內(nèi)作直線EF V 面，使距離V面為15 。,e,f,f,,,e,,,四、平面內(nèi)對投影面的最大斜度線,對H 面的最大斜度線,對V 面的最大斜度線,對W面的最大斜度線,1.定義： 平面內(nèi)對投影面傾角最大的直線，稱為對該投影面的最大斜度線。,3.分類：,2.性質(zhì)：,平面內(nèi)對某一投影面的最大斜度線垂直于該平面

9、內(nèi)對相同投影面平行的直線。,垂直平面內(nèi)的側(cè)平線。,垂直平面內(nèi)的水平線。,垂直平面內(nèi)的正平線。,,,,a,,,,四、平面內(nèi)對投影面的最大斜度線,,,A,M,PH,P,,,1,1,,AM 為平面P 上對H面的最大斜度線。,H 面最大斜度線對H面的傾角反映平面對H 投影面的傾角。,4.特性證明：(以對H 面的最大斜度線為例),四、平面內(nèi)對投影面的最大斜度線,對H 面的最大斜度線垂直該平面的水平線。,,,,M,PH,a,,,,,,,,,A,,,1,,AM PH,CPH,C AM,證明要點：,C為平面內(nèi)的水平線,4.特性證明：(以對H 面的最大斜度線為例),證明完畢,P,四、平面內(nèi)對投影面的最大斜度線,

10、小結(jié)：,對H 面的最大斜度線 垂直平面內(nèi)的水平線； 反映平面對H 面的傾角； 其H 投影與水平線的H 投影垂直。,對V 面的最大斜度線 垂直平面內(nèi)的正平線； 反映平面對V 面的傾角； 其V 投影與正平線的V 投影垂直。,對W 面的最大斜度線？,四、平面內(nèi)對投影面的最大斜度線,例1 取平面ABC 內(nèi)對H 面的最大斜度線。,,,,,,,投影作圖：,1.取水平線C；,2.取最大斜度線A；,最大斜度線的水平投影與水平線的水平投影垂直。,,a,c,b,a,c,b,1,1,2,2,c1 a2,作圖分析：,A線為所求。,四、平面內(nèi)對投影面的最大斜度線,例2 求ABC 對V 面的傾角

11、。,,,,,,,,,,y2-ya,,,,,2,2,1,1,a2,A,作圖步驟：,1.取正平線B；,2.取對V面最大斜度線A；,3.用直角三角形法求 （A與a2 的夾角）。,作圖分析：,V 面的最大斜度線對V面的傾 角反映該平面對V面的傾角。,取對V 面的最大斜度線,五、平面內(nèi)的點,點在平面上的幾何條件：,在平面內(nèi)定點時，一般要通過包含點在平面內(nèi)取輔助線求解。,,點在平面內(nèi)的一條直線上。,五、平面內(nèi)的點,例1 已知點K 在平面ABCD 內(nèi)，據(jù)k 求k。,作圖分析：,在平面內(nèi)取一條過K 點 的直線，如AI 。使k 在 a 1上，則K 在平面內(nèi)。,,,,,,k,1,1,作圖：,五、平面內(nèi)的點,平

12、面的水平投影積聚；,K,,,k,,例2 已知點K 在平面ABC 內(nèi)，據(jù)k 求k 。,使k 落在投影abc上即可。,作圖分析：,作圖：,五、平面內(nèi)的點,例3 完成平面四邊形ABCD 的水平投影。,作圖分析：,平面四邊形ABCD 的 對角線必相交。,k,c,X,k,,,,,,,,,,,作圖：,,,,五、平面內(nèi)的點,例4 試判斷K 點是否在平面內(nèi)。,分析：,,,,,,1,1,作圖：,KD 與平面內(nèi)的線不平 行或相交。,點K 不在平面內(nèi),K 與平面內(nèi)任一點連線,若K 在平面內(nèi)則該連線應(yīng)與平面內(nèi)的線平行或相交。,五、平面內(nèi)的點,例5 完成平面多邊形的水平投影，并求側(cè)面投影。,作圖：,投影分析：,帶切口的

13、三角形 一般位置平面 有關(guān)線段平行,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,b,4,1,3,1,,,,,4,2,,,,,,,,,a”,c”,b”,4”,1”,3”,2”,,本節(jié)結(jié)束,4-4 平面圖形的實形,一、將一般位置面變?yōu)橥队懊娲怪泵?二、將一般位置面變?yōu)橥队懊嫫叫忻?概述,概述,水平面,若平面平行于投影面則其投影反映實形，如水平面。,,概述,,X1,,,,,,,,,,,,,,,,,若平面不平行于投影面，可通過換面法使平面平行新的投影面，進(jìn)而求得平面圖形的實形，如下圖鉛垂面。,鉛垂面,概述,若將一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻?，需要二次換面。,涉及換面法

14、的兩個基本問題:,1.將一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵妗?2.將一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻妗?1.首先將一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵妫?2.然后再將投影面垂直面變?yōu)橥队懊嫫叫忻妗?一、一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵?分析:,1.在平面上取投影面平行線； 2.使新軸垂直于投影面平行線反映實長的投影。,若一平面垂直另一平面內(nèi)的一條直線,則兩平面相互垂直。,因此，若將一般位置平面變?yōu)樾峦队懊娴拇怪泵?，只要在該平面?nèi)取一條原投影面內(nèi)的平行線,使新投影面垂直該直線，則平面垂直垂直新投影面。,一次換面即可。,作圖關(guān)鍵：,一、一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵?例1 換面法求ABC 平面對V 面的傾角。,a,b,c

15、,a,c,b,作圖分析：,X,一平面垂直另一平面內(nèi)的一直線，則兩平面垂直。,,,,,X1,,,,,,,,,D,,,,,d,d,,,一、一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵?例1 換面法求ABC 平面對V 面的傾角。,,,,,,,,,,,,,,,a,b,c,a,c,b,a1d1,b1,c1,作圖要點：,1.在ABC 內(nèi)取正平線，如AD ；,2.作X1ad ；求新投影。,作圖分析：,d,d,X1,X,,新投影與X1夾角即。,X1,O,,D,,,二、將一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻?例2 求平面ABC 的實形。,,,,,,,,,作圖要點：,1.在ABC 內(nèi)取投影面平行線， 如正平線，如AD ；,2.作X1ad ；求積聚性投影；,分析：,3.作X2ad ；求得平面實形。,d,d,X1,X2,a1d1,b1,c1,a2,c2,b2,求實形即將平面變換為投影面平行面。 需兩次換面。,,,,,,,,,,O,,,本章結(jié)束,