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高中數(shù)學(xué) 2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第53講 雙曲線(含答案)

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1、2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第53講 雙曲線 一、選擇題(共11小題) 1. 已知雙曲線 x24?y2m=1m>0 的漸近線方程為 3x±y=0,則雙曲線的離心率為 ?? A. 2 B. 3 C. 233 D. 32 2. 已知拋物線 C:y2=2pxp>0 的焦點為 F,過點 F 且斜率為 2 的直線為 l,M?4,0,若拋物線 C 上存在一點 N,使 M,N 關(guān)于直線 l 對稱,則拋物線 C 的方程為 ?? A. y2=2x B. y2=4x C. y2=6x D. y2=8x 3. 設(shè)雙曲線 x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的虛軸長為 2,焦距為

2、 23,則雙曲線的漸近線方程為 ?? A. y=±2x B. y=±2x C. y=±22x D. y=±12x 4. 設(shè)雙曲線的焦點在 x 軸上,兩條漸近線為 y=±13x 則該雙曲線的離心率為 e= (??) A. 10 B. 10 C. 102 D. 103 5. 直線 y=2x 為雙曲線 C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的一條漸近線,則雙曲線 C 的離心率 ?? A. 5 B. 52 C. 3 D. 32 6. 已知雙曲線 C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0),F(xiàn)1 為其左焦點,直線 l:x5+y4=1,若過 F1 和 0,

3、?b 的直線與 l 平行,則雙曲線的離心率為 ?? A. 54 B. 53 C. 43 D. 5 7. 設(shè) F1,F(xiàn)2 是雙曲線 x2?y224=1 的兩個焦點,P 是雙曲線上的一點,且 3∣PF1∣=4∣PF2∣ ,則 △PF1F2 的面積等于 ?? A. 42 B. 83 C. 24 D. 48 8. 雙曲線 C:x2?y2b2=1 的漸近線與直線 x=1 交于 A,B 兩點,且 AB=4,那么雙曲線 C 的離心率為 ?? A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 9. 已知 O 為坐標(biāo)原點,雙曲線 C:x2a2?y2=1a>0 上有一點 P,過點

4、P 作雙曲線 C 的兩條漸近線的平行線,與兩漸近線的交點分別為 A,B,若平行四邊形 OAPB 的面積為 1,則雙曲線 C 的離心率為 ?? A. 2 B. 3 C. 2 D. 52 10. 已知 F1,F(xiàn)2 是雙曲線 x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦點,M 為雙曲線左支上一點,且滿足 ∣MF1∣=2∣F1F2∣,若 cos∠MF1F2=?516,則該雙曲線的離心率為 ?? A. 2 B. 3 C. 2 D. 92 11. 已知雙曲線 x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的離心率為 32,過右焦點 F 作漸近線的垂線,垂足為 M,若 △FOM 的面

5、積為 5,其中 O 為坐標(biāo)原點,則雙曲線的方程為 ?? A. x2?4y25=1 B. x22?2y25=1 C. x24?y25=1 D. x216?y220=1 二、多選題(共1小題) 12. 已知雙曲線 C 過點 3,2 且漸近線為 y=±33x,則下列結(jié)論正確的是 ?? A. C 的方程為 x23?y2=1 B. C 的離心率為 3 C. 曲線 y=ex?2?1 經(jīng)過 C 的一個焦點 D. 直線 x?2y?1=0 與 C 有兩個公共點 三、填空題(共11小題) 13. 設(shè) F1,F(xiàn)2 分別是雙曲 x2a2?y2b2=1a>0,b>0

6、的左、右焦點,P 為雙曲線上一點.若 ∣PF1∣=2∣PF2∣,則雙曲線的離心率 e 的取值范圍是 ?. 14. 在 △ABC 中,AB=4,BC=62,∠CBA=π4,若雙曲線 Γ 以 AB 為實軸,且過點 C,則 Γ 的焦距為 ?. 15. 過點 M?6,3 且和雙曲線 x2?2y2=2 有相同的漸近線的雙曲線方程為 ?. 16. 已知雙曲線 C:x2a2?y2b2=1 的焦距為 10,點 P2,1 在 C 的漸近線上,則雙曲線 C 的方程為 ?.

7、 17. 雙曲線 x2a2?y29=1a>0 的一條漸近線方程為 y=35x,則 a= ?. 18. 雙曲線 x2?y2b2=1b>0 的一條漸近線方程為 y=3x,則 b= ?. 19. 已知雙曲線 C 的焦點為 F10,2,F(xiàn)20,?2,實軸長為 2,則雙曲線 C 的離心率是 ?;若點 Q 是雙曲線 C 的漸近線上一點,且 F1Q⊥F2Q,則 △QF1F2 的面積為 ?. 20. 已知雙曲線過點 4,3,且漸近線方程為 y=±12x,則該

8、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ?. 21. 設(shè)雙曲線 x29?y216=1 的右頂點為 A,右焦點為 F.過點 F 平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點 B,則 △AFB 的面積為 ?. 22. 雙曲線 x2a2?y2b2=1a>0,b>0 的漸近線為正方形 OABC 的邊 OA,OC 所在的直線,點 B 為該雙曲線的焦點.若正方形 OABC 的邊長為 2,則 a= ?. 23. 已知雙曲線 C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點為 A,以 A 為圓心,b 為半徑作圓

9、 A,圓 A 與雙曲線 C 的一條漸近線交于 M,N 兩點.若 ∠MAN=60°,則 C 的離心率為 ?. 四、解答題(共3小題) 24. 求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. (1)焦點在 x 軸上,虛軸長為 12,離心率為 54; (2)頂點間的距離為 6,漸近線方程為 y=±32x. 25. 設(shè)雙曲線 C:x2a2?y2=1a>0 與直線 l:x+y=1 相交于兩個不同的點 A,B,求雙曲線的離心率 e 的取值范圍. 26. 已知等軸雙曲線 C:x2?y2=a2a>0 的右焦點為 F,O 為坐標(biāo)原點,過 F 作一條漸近線的

10、垂線 FP 且垂足為 P,OP=2. (1)假設(shè)過點 F 且方向向量為 d=1,2 的直線 l 交雙曲線 C 于 A,B 兩點,求 OA?OB 的值; (2)假設(shè)過點 F 的動直線 l 與雙曲線 C 交于 M,N 兩點,試問:在 x 軸上是否存在定點 P,使得 PM?PN 為常數(shù)?若存在,求出點 P 的坐標(biāo);若不存在,試說明理由. 答案 1. A 【解析】±ba=±3, b=m=23, e=42=2. 2. B 【解析】由拋物線的方程可得焦點 F 的坐標(biāo) p2,0, 由題意直線 l 的方程為:y=2x?p2,即 2x?y?p=0, 由題意設(shè) Ny022p,

11、y0, 由題意可得 2?y022p?42?y0+02?p=0,y02=?12,y022p+4, 整理可得 y0=?16?2p5,???① 再由 ∣MF∣=∣FN∣(中垂線的性質(zhì)),∣MF∣=p2+4,∣NF∣=y022p+p2, 所以 y022p=4,所以 y02=8p,???② 由①②可得 ?16?2p52=8p, 解得:p=32(舍)或 p=2, 所以拋物線的方程為:y2=4x. 3. C 【解析】因為雙曲線 x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的虛軸長為 2,焦距為 23, 所以 b=1,c=3, 所以 a=c2?b2=2, 所以雙曲線的漸近線方程為 y=

12、±bax=±12x=±22x. 4. D 5. A 【解析】因為雙曲線 C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線為 y=±bax, 所以 ba=2, 所以離心率 e=ca=a2+b2a2=1+b2a2=5. 6. B 【解析】由雙曲線 C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)得其左焦點 F1?c,0, 直線 l:x5+y4=1 的斜率為 ?45, 過 F1 和 0,?b 的直線斜率為 ?bc, 又過 F1 和 0,?b 的直線與 l 平行, 所以 ?bc=?45,可得 cb=54, 在雙曲線中,b2=c2?a2, 可得 c2c2?a2=2516,

13、 可得 c2a2=259, 所以雙曲線的離心率 e=ca=53. 7. C 【解析】F1?5,0,F(xiàn)25,0,∣F1F2∣=10 , 因為 3∣PF1∣=4∣PF2∣ ,所以設(shè) ∣PF2∣=x ,則 ∣PF1∣=43x , 由雙曲線的性質(zhì)知 43x?x=2,解得 x=6, 所以 ∣PF1∣=8,∣PF2∣6 ,所以 ∠F1PF2=90° , 所以 △PF1F2的面積=12×8×6=24 . 8. D 9. D 【解析】漸近線方程是 x±ay=0,設(shè) Pm,n,過點 P 且平行于 x+ay=0 的直線為 l,則 l 的方程為 x+ay?m?an=0,設(shè) l 與漸近線

14、x?ay=0 的交點為 A,則 Am+an2,m+an2a,∣OA∣=m+an21+1a2,P 點到 OA 的距離是 d=∣m?an∣1+a2.因為 ∣OA∣?d=1,所以 m+an2?1+1a2?∣m?an∣1+a2=1,因為 m2a2?n2=1,所以 a=2,所以 c=5,所以 e=52. 10. C 【解析】設(shè)雙曲線的焦距為 2c,則 ∣MF1∣=7∣F1F2∣=4c, 由雙曲線的定義知,∣MF2∣﹣∣MF1∣=2a, 所以 ∣MF2∣=4c+2a, 在 △MF1F2 中,由余弦定理知 cos∠MF1F2=∣MF1∣2+∣F1F2∣2?∣MF2∣22∣MF1∣?∣F1F2∣,

15、 即 ?516=4c2+2c2?4c+2a22×4c×2c, 化簡得,4a2+16ac?9c2=0, 解得 c=2a 或 c=?29a(舍), 所以雙曲線的離心率 e=ca=2. 11. C 12. A, C 【解析】設(shè)雙曲線 C 的方程為 x2a2?y2b2=1,根據(jù)條件可知 ba=33, 所以方程可化為 x23b2?y2b2=1,將點 3,2 代入得 b2=1, 所以 a2=3,所以雙曲線 C 的方程為 x23?y2=1,故A對; 離心率 e=ca=a2+b2a2=3+13=233,故B錯; 雙曲線 C 的焦點為 2,0,?2,0,將 x=2 代入得 y=

16、e0?1=0,所以C對; 聯(lián)立 x23?y2=1,x?2y?1=0, 整理得 y2?22y+2=0, 則 Δ=8?8=0,故只有一個公共點,故D錯. 13. 1,3 【解析】因為 ∣PF1∣=2∣PF2∣, 所以點 P 在雙曲線的右支上.又由雙曲線的定義得 ∣PF1∣?∣PF2∣=2a, 所以 ∣PF1∣=4a,∣PF2∣=2a. 因為 ∣PF1∣+∣PF2∣≥2c, 所以 6a≥2c,即 ca≤3.又 e>1, 所以 10,b>0, 根據(jù)題意 2a=4,a=2. 在

17、△ABC 中,AB=4,BC=62,∠CBA=π4, 所以 C?4,6,雙曲線過點 C,則 164?36b2=1, 所以 b2=12, 所以 c2=a2+b2=16, 所以 c=4,則 Γ 的焦距為 8. 15. x218?y29=1 【解析】設(shè)雙曲線方程為 x2?2y2=λ,雙曲線過點 M?6,3, 則 λ=x2?2y2=36?2×9=18, 故雙曲線方程為 x2?2y2=18,即 x218?y29=1. 16. x220?y25=1 【解析】因為雙曲線 C 的焦距為 10,點 P2,1 在 C 的漸近線上, 所以 a2+b2=25,2ba=1, 解得 b=5,

18、a=25, 所以雙曲線 C 的方程為 x220?y25=1. 17. 5 【解析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得漸近線方程為 y=±3ax,解得 a=5. 18. 3 19. 2,23 20. x24?y2=1 【解析】法一:雙曲線的漸近線方程為 y=±12x, 所以可設(shè)雙曲線的方程為 x2?4y2=λλ≠0, 因為雙曲線過點 4,3, 所以 λ=16?4×32=4, 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x24?y2=1. 法二: 因為漸近線 y=12x 過點 4,2,而 3<2, 所以點 4,3 在漸近線 y=12x 的下方,在 y=?12x 的上方(如圖). 所以雙曲

19、線的焦點在 x 軸上, 故可設(shè)雙曲線方程為 x2a2?y2b2=1a>0,b>0, 由已知條件可得 ba=12,16a2?3b2=1, 解得 a2=4,b2=1, 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x24?y2=1. 21. 3215 【解析】a2=9,b2=16,故 c=5, 所以 A3,0,F(xiàn)5,0, 不妨設(shè) BF 的方程為 y=43x?5, 代入雙曲線方程解得:B175,?3215. 所以 S△AFB=12∣AF∣?∣yB∣=12×2×3215=3215. 22. 2 【解析】不妨令 B 為雙曲線的右焦點,A 在第一象限,則雙曲線如圖所示. 因為四邊形 OAB

20、C 為正方形,∣OA∣=2, 所以 c=∣OB∣=22,∠AOB=π4. 因為直線 OA 是漸近線,方程為 y=bax, 所以 ba=tan∠AOB=1,即 a=b. 又因為 a2+b2=c2=8, 所以 a=2. 23. 233 【解析】如圖所示, AP⊥MN,MN 為雙曲線的漸近線 y=bax 上的點,Aa,0,AM=AN=b, 因為 AP⊥MN, 所以 ∠PAN=30°, Aa,0 到直線 y=bax 的距離 AP=∣b∣1+b2a2, 在 Rt△PAN 中,cosPAN=PANA, 代入計算得 a2=3b2,即 a=3b, 由 c2=a2+b2 得

21、 c=2b, 所以 e=ca=2b3b=233. 24. (1) 設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2a2?y2b2=1a>0,b>0. 由題意,得 2b=12,ca=54,a2+b2=c2, 解得 a=8,b=6,負(fù)值已舍去,c=10. 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x264?y236=1. ??????(2) 方法一:當(dāng)焦點在 x 軸上時,設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2a2?y2b2=1a>0,b>0. 由題意,得 2a=6,ba=32, 解得 a=3,b=92. 所以焦點在 x 軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x29?y2814=1. 同理可求得焦點在 y 軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方

22、程為 y29?x24=1. 方法二:設(shè)以 y=±32x 為漸近線的雙曲線的方程為 x24?y29=λλ≠0. 當(dāng) λ>0 時,24λ=6,解得 λ=94. 此時,所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x29?y2814=1. 當(dāng) λ<0 時,2?9λ=6,解得 λ=?1. 此時,所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y29?x24=1. 25. 由 x+y=1 得 y=1?x, 代入雙曲線的方程 x2?a2y2=a2 并整理得 1?a2x2+2a2x?2a2=0. 因為 l 與雙曲線有兩個不同的交點, 所以 1?a2≠0,4a4+8a21?a2>0, 解得 a2<2 且 a2≠1. 所以 e=c

23、a=a2+1a=1+1a2>62 且 e≠2. 故雙曲線的離心率 e 的取值范圍為 e>2 或 620, 因為雙曲線為等軸雙曲線,則漸近線為 y=±x, 由對稱性可知,右焦點 F 到兩條漸近線距離相等,且 ∠POF=π4. 所以 △OPF 為等腰直角三角形,則由 OP=2?OF=c=2, 又因為等軸雙曲線中,c2=2a2?a2=2, 所以等軸雙曲線 C 的方程為:x2?y2=2. 設(shè) Ax1,y1,Bx2,y2 為雙曲線 C 與直線 l 的兩個交點, 因為 F2,0,直線 l 的方向向量為 d=1,2, 所以直線 l

24、的方程為 x?21=y2,即 y=2x?2, 代入雙曲線 C 的方程,可得 x2?4x?22=2?3x2?16x+18=0, 所以 x1+x2=163,x1x2=6,而 OA?OB=x1x2+y1y2=x1x2+x1?2x2?2=5x1x2?8x1+x2+16=103. ??????(2) 假設(shè)存在定點 P,使得 PM?PN 為常數(shù), 其中 Mx1,y1,Nx2,y2 為雙曲線 C 與直線 l 的兩個交點的坐標(biāo). ①當(dāng)直線 l 與 x 軸不垂直時,設(shè)直線 l 的方程為 y=kx?2, 代入雙曲線 C 的方程,可得 1?k2x2+4k2x?4k2+2=0, 由題意可知,k=±1

25、,則有 x1+x2=4k2k2?1,x1x2=4k2+2k2?1, 所以 PM?PN=x1?mx2?m+k2x1?2x2?2=4k2+1x1x2?2k2+mx1+x2+4k2+m2=k2+14k2+2k2?1?4k22k2+mk2?1+4k2+m2=21?2mk2+2k2?1+m2=41?mk2?1+m2+21?2m, 要使 PM?PN 是與 k 無關(guān)的常數(shù),當(dāng)且僅當(dāng) m=1,此時,PM?PN=?1; ②當(dāng)直線 l 與 x 軸垂直時,可得點 M2,2,N2,?2, 若 m=1,PM?PN=?1 亦為常數(shù). 綜上可知,在 x 軸上是否存在定點 P1,0,使得 PM?PN=?1 為常數(shù). 第10頁(共10 頁)

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