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1、數(shù)字電子技術基礎電子課件,鄭州大學電子信息工程學院 2020年8月21日,第一章 邏輯代數(shù)基礎,1.1 概述,1.1.1 脈沖波形和數(shù)字波形 圖1.1.1幾種常見的脈沖波形，圖(a)為矩形波、圖(b)為鋸齒波、圖(c)為尖峰波、圖(d)為階梯波。,脈沖信號的參數(shù),通常規(guī)定：0表示矩形脈沖的低電平；1表示矩形脈沖的高電平，如圖1.1.3波形所示。,矩形脈沖數(shù)字表示法,1.1.2 數(shù)制和碼制,一、數(shù)制 每一位的構(gòu)成 從低位向高位的進位規(guī)則 我們常用到的： 十進制，二進制，八進制，十六進制,十進制，二進制，八進制，十六進制,逢二進一,逢八進一,逢十進一,逢十六進一,十進制數(shù)325.12用位

2、置計數(shù)法可以表示為 任意一個具有n為整數(shù)和m為小數(shù)的二進制數(shù)表示為 八進制有07個數(shù)碼，基數(shù)為8，它的計數(shù)規(guī)則是“逢八進一”。八進制一般表達式為,,,,十六進制數(shù)的符號有0、1、2、、8、9、A、B、C、D、E和F，其中符號09與十進制符號相同，字母AF表示1015。十六進制的計數(shù)規(guī)則“逢十六進一”，一般表示形式為 例如：,,,二、數(shù)制間的轉(zhuǎn)換 各種進制轉(zhuǎn)換為十進制 十進制轉(zhuǎn)換為二進制 所以,,二進制轉(zhuǎn)換與十六進制間的轉(zhuǎn)換 十六進制轉(zhuǎn)換為二進制正好和上述過程相反,,三、二進制數(shù)算術運算,算術運算 二進制數(shù)的0/1可以表示數(shù)量，進行 加，減，乘，除等運算 二進制數(shù)的正、負號也是

3、用0/1表示的。 在定點運算中，最高位為符號位（0為正，1為負） 如 +89 = （0 1011001） -89 = （1 1011001）,二進制數(shù)的補碼：,最高位為符號位（0為正，1為負） 正數(shù)的補碼和它的原碼相同 負數(shù)的補碼 = 數(shù)值位逐位求反 + 1 如 +5 = （0 0101） -5 = （1 1011） 通過補碼，將減一個數(shù)用加上該數(shù)的補碼來實現(xiàn),7 4 = 3 7 + 8 = 3 （舍棄進位） 4 + 8 = 12 產(chǎn)生進位的模 8是-4對模數(shù)12的補碼 特別要注意的是，運算過程中所有的數(shù)都用補碼表示。,1110 0110 = 1000 （14 - 6 = 8） 11

4、10 + 1010 = 11000 =1000（舍棄進位） （14 + 10 = 8） 0110 + 1010 =24 1010是- 0110對模24 （16） 的補碼,,16,8,4,12,14,2,6,10,,四、BCD碼（Binary Coded Decimal） 8421BCD碼與十進制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換是直接按位轉(zhuǎn)換，例如 BCD碼除842l碼外，常用的還有2421碼、余3碼、余3循環(huán)碼、BCD格雷碼等等,,,1.2 基本邏輯函數(shù)及運算定律,基本概念 邏輯：事物的因果關系 邏輯運算的數(shù)學基礎：邏輯代數(shù) 在二值邏輯中的變量取值： 0/1 邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量，用字母A、

5、B、C、表示。其取值只有0或者l兩種。這里的0和1不代表數(shù)量大小，而表示兩種不同的邏輯狀態(tài)，如，電平的高、低；晶體管的導通、截止；事件的真、假等等。,1.2.1 邏輯代數(shù)中的三種基本運算,與（AND） 或（OR） 非（NOT）,以A=1表示開關A合上，A=0表示開關A斷開；以Y=1表示燈亮，Y=0表示等不亮；三種電路的因果關系不同：,與,條件同時具備，結(jié)果發(fā)生 Y=A AND B = A&B=AB=AB,或,條件之一具備，結(jié)果發(fā)生 Y= A OR B = A+B,非,條件不具備，結(jié)果發(fā)生,幾種常用的復合邏輯運算,與非 或非 與或非,幾種常用的復合邏輯運算,異或 Y= A B

6、,幾種常用的復合邏輯運算,同或 Y= A B,一、運算定律,1.2.2 邏輯代數(shù)的運算定律及規(guī)則,證明方法：推演 真值表,用真值表證明 的正確性。,二、邏輯代數(shù)的常用公式,,,,,,,,,,,,三、邏輯代數(shù)的基本規(guī)則,代入規(guī)則 ------在任何一個包含A的邏輯等式中，若以另外一個邏輯式代入式中A的位置，則等式依然成立。,應用舉例：,,反演規(guī)則 -------對任一邏輯式,變換順序 先括號，然后乘，最后加,不屬于單個變量的上的反號保留不變,應用舉例：,,一、邏輯函數(shù) Y=F(A,B,C,) ------若以邏輯變量為輸入，運算結(jié)果為輸出，則輸入變量值確定以后，輸出的取值也隨之而定

7、。輸入/輸出之間是一種函數(shù)關系。 注： 邏輯函數(shù)表達式的運算順序為先算括號內(nèi)，后括號外；先算與，后算或； 非號下面有一個括號時，括號可以省去，如 可以寫成,1.3 邏輯函數(shù)及其表示方法,,,二、邏輯函數(shù)的表示方法,真值表 邏輯式 邏輯圖 波形圖 卡諾圖 計算機軟件中的描述方式 各種表示方法之間可以相互轉(zhuǎn)換,真值表 由邏輯函數(shù)表達式轉(zhuǎn)換成真值表時，將輸入變量取值的所有組合狀態(tài)逐一代入邏輯表達式求出函數(shù)值，列成表，即可得到真值表。,邏輯式 將輸入/輸出之間的邏輯關系用與/或/非的運算式表示就得到邏輯式。 邏輯圖 用邏輯圖形符號表示邏輯運算關系，與邏輯電路的實現(xiàn)相對應。邏輯圖與邏輯函數(shù)表達式

8、也可以互相轉(zhuǎn)換 a 用邏輯圖形符號代替邏輯函數(shù)式中的運算符號，就可以畫出邏輯圖了 b 根據(jù)邏輯門的連接方式和每個門的邏輯功能逐級寫出它的表達式,波形圖 將輸入變量所有取值可能與對應輸出按時間順序排列起來畫成時間波形。,各種表現(xiàn)形式的相互轉(zhuǎn)換：,邏輯式 真值表,,【例1.3.1】已知邏輯函數(shù),列出真值表。,真值表 邏輯式： 找出真值表中使 Y=1 的輸入變量取值組合 每組輸入變量取值對應一個乘積項，其中取值為1的寫原變量，取值為0的寫反變量 將這些變量相加即得 Y 把輸入變量取值的所有組合逐個邏輯式中求出Y，列表,,,【例1.3.2】已知真值表如表1.3.2所示，寫出邏輯函數(shù)式。,,

9、邏輯圖 邏輯式 1. 用圖形符號代替邏輯式中的邏輯運算符,,邏輯式 邏輯圖 1. 用圖形符號代替邏輯式中的邏輯運算符 2. 從輸入到輸出逐級寫出每個圖形符號對應的邏輯運算式。,,最小項 m： m是乘積項 包含n個因子 n個變量均以原變量和反變量的形式在m中出現(xiàn)一次,對于n變量函數(shù) 有2n個最小項,1.3.2 邏輯函數(shù)的標準形式： 最小項之和 最大項之積,最小項舉例：,兩變量A, B的最小項 三變量A,B,C的最小項,最小項的編號：,最小項的性質(zhì),在輸入變量任一取值下，有且僅有一個最小項的值為1 全體最小項之和為1 任何兩個最小項之積為0 兩個相鄰的最小項之和可以合并，消去一對

10、因子，只留下公共因子。 ------相鄰：僅一個變量不同的最小項 如,邏輯函數(shù)最小項之和的形式：,例：,利用公式 可將任何一個函數(shù)化為,邏輯函數(shù)最小項之和的形式：,例：,最大項：,M是相加項 包含n個因子 n個變量均以原變量和反變量的形式在M中出現(xiàn)一次 如：兩變量A, B的最大項,對于n變量函數(shù) 2n個,最大項的性質(zhì),在輸入變量任一取值下，有且僅有一個最大項的值為0 全體最大項之積為0 任何兩個最大項之和為1,最大項編號方法是：把使最大項為0的那一組邏輯變量組合成二進制數(shù)，與這個二進制數(shù)對應的十進制數(shù)就是該最大項的編號。 n 個變量的最大項一共有 個,,從真值表歸納邏輯函數(shù),邏輯函數(shù)有

11、兩種標準表示形式，一是最小項的與或表達式，也稱為最小項之和形式；另一種是標準或與表達式，也稱為最大項之積形式。 一、從真值表求最小項之和形式 1、找出使邏輯函數(shù)為1的變量組合； 2、寫出使函數(shù)為1的變量取值組合對應的最小項； 3、將這些最小項相或，即得到標準的最小項之和表達式。,,二、從函數(shù)真值表求最大項之積形式的方法如下： 1、在真值表中找出邏輯函數(shù)為0的變量組合； 2、寫出對應于函數(shù)為0的最大項； 3、將所有最大項相與。 利用恒等式 可以把任何一個邏輯函數(shù)寫成最小項項之和形式.,,,,1.4 邏輯函數(shù)的公式化簡法,1.4.1 邏輯函數(shù)的最簡形式 最簡與或 ------包含

12、的乘積項已經(jīng)最少，每個乘積項的因子也最少，稱為最簡的與--或邏輯式。,1.4.2 常用公式化簡法 反復應用基本公式和常用公式，消去多余的乘積項和多余的因子。 1、并項法 解：,,,,,2、吸收法 利用 可以將兩項合并為一項，并消去一個變量 解： 3、消因子法 利用常用公式 可將 中的 消去,,,,,,,,4、消項法 利用常用公式 將多余項 消去 解： 5 配項法 利用重復律 和互補律 ，將一項拆成兩項，然后與其他項合并，重新組合之后再化簡。,,,,,,,,用配項法化簡邏輯函數(shù) 解：,,,,1.5 邏輯

13、函數(shù)的卡諾圖化簡,1.5.1 邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法 實質(zhì)：將邏輯函數(shù)的最小項之和的以圖形的方式表示出來 以2n個小方塊分別代表 n 變量的所有最小項，并將它們排列成矩陣，而且使幾何位置相鄰的兩個最小項在邏輯上也是相鄰的（只有一個變量不同），就得到表示n變量全部最小項的卡諾圖。,表示最小項的卡諾圖,2變量卡諾圖 3變量的卡諾圖,4變量的卡諾圖,5變量的卡諾圖,用卡諾圖表示邏輯函數(shù),把邏輯函數(shù)寫成最小項之和形式，然后在卡諾圖方格中，找出對應的最小項的位置，并填入1，在其余位置上填入0，就得到了該邏輯函數(shù)的卡諾圖。 任何一個邏輯函數(shù)等于它的卡諾圖中填入1的最小項之和,用卡諾圖表示邏

14、輯函數(shù),例：,用卡諾圖表示邏輯函數(shù),1.5.2 用卡諾圖化簡函數(shù),依據(jù)：具有相鄰性的最小項可合并，消去不同因子。 在卡諾圖中，最小項的相鄰性可以從圖形中直觀地反映出來。,合并最小項的原則： 兩個相鄰最小項可合并為一項，消去一對因子 四個排成矩形的相鄰最小項可合并為一項，消去兩對因子 八個相鄰最小項可合并為一項，消去三對因子,兩個相鄰最小項可合并為一項，消去一對因子,1、畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖 2、找出可以合并的最小項 3、選取可以合并的乘積項。選取的原則是： 畫矩形圈時應包含所有的最小項，即應覆蓋卡諾圖中所有的1 ； 方格中的1可以被一個以上的圈所包圍 ； 圈的個數(shù)盡可能的少。這是因為每

15、一個圈對應于一個乘積項，圈的個數(shù)越少，乘積項的個數(shù)就越少 ； 圈圍成的面積盡可能的大，但必須為 個方格。這是因為圈越大，合并時消去的變量個數(shù)越多，乘積項的因子也越少 ；,用卡諾圖化簡的步驟：,,例：,A,BC,例：,,,,,A,BC,例：,,,,,A,BC,,例：,,,化 簡 結(jié) 果 不 唯 一,用卡諾圖化簡下式為最簡與或函數(shù)式 首先畫出函數(shù)的卡諾圖 ，如圖：,,其次，找出可以合并的最小項。將可以合并的最小項用圈畫出，如圖（a）（b）所示，其中圖（a）為不正確的圈法，因為圈的個數(shù)為四個，不是最少的；而圖（b）是正確的圈法，只有三個圈，即合并后有三個乘積項。合并最小項得到,,例： 畫出Y的卡

16、諾圖：,,,,約束項 任意項 邏輯函數(shù)中的無關項：約束項和任意項可以寫入函數(shù)式，也可不包含在函數(shù)式中，因此統(tǒng)稱為無關項。,在邏輯函數(shù)中，對輸入變量取值的限制，在這些取值下為1的最小項稱為約束項,在輸入變量某些取值下，函數(shù)值為1或為0不影響邏輯電路的功能，在這些取值下為1的最小項稱為任意項,,具有約束項的邏輯函數(shù)化簡,無關項在邏輯函數(shù)化簡中的應用,合理地利用無關項，可得更簡單的化簡結(jié)果 加入（或去掉）無關項，應使化簡后的項數(shù)最少，每項因子最少. 從卡諾圖上直觀地看，加入無關項的目的是為矩形圈最大，矩形組合數(shù)最少,例：用卡諾圖化簡帶約束條件的邏輯函數(shù) 約束條件： 解 畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖 ：,,,,,