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1、第三章 平面一般力系,,1.理解力矩和力偶的概念 2.會(huì)熟練 計(jì)算力對(duì)點(diǎn)之矩 3.掌握合力矩定理 4.牢固掌握力偶的性質(zhì) 5.平面力偶系合成的方法及平衡條件,力矩及力偶矩,教學(xué)目標(biāo)：,,6、掌握力的平移定理； 7、了解平面任意力系簡(jiǎn)化的方法； 8、掌握平面任意力系簡(jiǎn)化的結(jié)果； 9、牢固掌握平面任意力系平衡方程,第一節(jié) 力矩的概念及合力矩定理,重 點(diǎn),1、力矩和力偶的概念 2、力對(duì)點(diǎn)之矩的計(jì)算,難 點(diǎn),1、力對(duì)點(diǎn)之矩的計(jì)算,,一、力對(duì)點(diǎn)之矩 1、概念 力可以使剛體移動(dòng)，也可以使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。力對(duì)剛體的移動(dòng)效應(yīng)取決于力的三要素。力對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)取決于什么呢？,力矩力和力臂的乘積,,正負(fù)號(hào)的規(guī)定：逆正

2、順負(fù) 力矩的性質(zhì) （1）力沿其作用線移動(dòng)，不改變它對(duì)點(diǎn)的矩 （2）當(dāng)力的作用過矩心時(shí)，力矩為零 （3）力對(duì)點(diǎn)之矩與矩心位置有關(guān)。,單位：Nm KNm,,,,d,F,2、合力矩定理平面匯交力系的合 力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于該力系中 的各分力對(duì)該點(diǎn)之矩的代數(shù)和,MA（R）=MA（F1）+MA（F2） =F1h/3-F2b =Rcos300h/3-Rsin300b =146.4KN,直接法在已知力臂的情況下， 用定義式進(jìn)行計(jì)算。,MO(R)=MO(F1)+MO(F2)+ +MO(Fn）=MO（F）,例：,間接法把力分解用合力矩定理 進(jìn)行計(jì)算,計(jì)算力矩的方法:,【例3-1】 圖3-3所示每lm

3、長(zhǎng)擋土墻所受土壓力的合力為,，方向如圖所示，求土壓力使墻傾覆的力矩。,【解】 土壓力,可使擋土墻繞A點(diǎn)傾覆，,，,故求土壓力,使墻傾覆的力矩，就是求,對(duì)A點(diǎn)的力矩。由已知尺寸求力臂d不方便，但如果將,分解為兩分力,和,,,,,,第二節(jié) 力偶及其基本性質(zhì),重 點(diǎn),力偶的基本性質(zhì)。,1、概念 力偶大小相等、方向相反、作用線不重合的兩個(gè)平行力稱為力偶,力偶矩量度力偶對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的一個(gè)物理量,,Fd 逆正順負(fù),力偶的作用效果是引起物體的轉(zhuǎn)動(dòng)，和力矩一樣，產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。,一、力偶及其性質(zhì),M=,(1)力偶沒有合力，不能用一個(gè)力來代替,不能與一個(gè)力平衡,力偶不是平衡力系.,力偶在任一軸上投影的代數(shù)

4、和 為零,因此,力偶只能用力偶平衡, 力偶對(duì)剛體只起轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng).,2、力偶的性質(zhì),(2)力偶對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩都等于力偶矩，與矩心 位置無關(guān),因此,只要保持m的大小和轉(zhuǎn)向不變,可以任意改變F和d的大小;只要保m的大小和轉(zhuǎn)向不變,力偶可以在其作用面內(nèi)任意移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。,C,MC(F、F）=Fd, 保持力偶矩不變，分別改變力和 力偶臂大小，其作用效果不變,, 只要保持力偶矩不變，力偶可在作用面內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，其對(duì)剛體的作用效果不變,,,, 只要保持力偶矩不變，力偶可在作用面內(nèi)任意移動(dòng)，其對(duì)剛體的作用效果不變,,力偶的三要素：,力偶的作用平面、轉(zhuǎn)向和力偶矩的大小,力矩是力使物體繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量,力

5、偶矩是力偶使物體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量,二者相同點(diǎn)： 單位統(tǒng)一,符號(hào)規(guī)定統(tǒng)一,二者主要區(qū)別：,力矩隨矩心位置的不同而變化。 力偶使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的效果與所選矩心的位置無關(guān),它完全由力偶矩這個(gè)代數(shù)量唯一確定。,力偶矩完全可以描述一個(gè)力偶，而力對(duì)點(diǎn)的矩卻不能完全描述一個(gè)力。,力矩與力偶的比較,第三節(jié) 力的平移,,力的平移定理,重 點(diǎn),難 點(diǎn),力的平移定理應(yīng)用,力的平移定理：可以把作用在剛體上點(diǎn)A的力,【例3-2】 如圖3-8(a)所示，在柱子的A點(diǎn)受有吊車梁傳來的集中 力,平移到柱軸上O點(diǎn)時(shí)所應(yīng)附加的力偶矩,= 100kN。求將這力,，其中e=0.4m。,【解】 根據(jù)力的平移定理，力,由A點(diǎn)平移到O點(diǎn)，必

6、須附加一力偶，,,負(fù)號(hào)表示該附加力偶的轉(zhuǎn)向是順時(shí)針的,第四節(jié) 平面力偶系的合成與平衡條件,平面力偶系平衡條件,重 點(diǎn),難 點(diǎn),平面力偶系平衡條件的靈活應(yīng)用,一、平面力偶系的合成,，,,,,分別將作用在點(diǎn)A和B的力合成,,,,設(shè)在同一平面內(nèi)有兩個(gè)力偶,和,它們的力偶臂各為d1和d2,這兩個(gè)力偶的矩分別為M1和M2,,求它們的合成結(jié)果,解：,,合力矩：,二平面力偶系的平衡條件 由合成結(jié)果可知，力偶系平衡時(shí)，其合力偶的矩等于零。因此，平面力偶系平衡的必要和充分條件是：所有各力偶矩的代數(shù)和等于零，即,,【例題3-3】 如圖3-10(a)所示的簡(jiǎn)支梁AB，受一力偶的作用。 已知力偶,，梁長(zhǎng),，梁的自重不

7、計(jì)。,求梁A、B支座處的反力。,【解】 取梁AB為研究對(duì)象，梁AB上作用一集中力偶M且保持平衡，由于力偶只能用力偶來平衡，則A、B處的支座反力必形成一對(duì)與已知力偶M反向的力偶,又B處的支座反力垂直于支持面，要形成與已知力偶M反向的 力偶，B處的支座反力,方向只能斜向上，A處的支座反力,的方向斜向下，作用線與,平行，且有,由平衡條件,，得：,,,解之得：,,(方向如圖所示),第五節(jié) 平面一般力系的簡(jiǎn)化與平衡條件,重 點(diǎn),1、平面任意力系簡(jiǎn)化的結(jié)果； 2、平面任意力系平衡方程的形式。,難 點(diǎn),1、平面任意力系簡(jiǎn)化的結(jié)果。 2、平面任意力系簡(jiǎn)化的平衡方程,概述 平面任意力系是指各力的作用線在同一平面

8、內(nèi)不完全匯交于一點(diǎn)也不完全相互平行的力系，也稱為平面一般力系,一. 平面任意力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化,=,=,平面任意力系,R=F=F,M0=M0=M0(F),1、平面任意力系向O點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果：,合力 R 原力系的主矢，通過O點(diǎn)。,合力偶矩 M0 原力系對(duì)于O點(diǎn)的主矩,結(jié)論：平面一般力系向其作用平面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化，得到一個(gè)力和一個(gè)力偶。這個(gè)力稱為原力系的主矢，作用于簡(jiǎn)化中心,等于原力系各力的矢量和；這個(gè)力偶的力偶矩稱為原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。等于原力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心之矩之和. 注意：主矢與簡(jiǎn)化中心位置無關(guān)，主矩則有關(guān)。因此說到力系的主矩時(shí)，必須指出是力系對(duì)于哪一點(diǎn)的主矩。,,主矢、主矩共同作

9、用等效于原力系,,,,,,M0=M0=M0(F1)+M0(F2)+M0(Fn)=M0(F),主矢的解析表達(dá)法,同理：,2、對(duì)簡(jiǎn)化結(jié)果進(jìn)行討論 （1）平面任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果是一個(gè)力偶的情形 R=0， M00 此時(shí)原力系只與一個(gè)力偶等效，這個(gè)力偶就是原力系的合力偶 （2）平面住意力系簡(jiǎn)化結(jié)果是一個(gè)力的情形 R0， M0=0 此時(shí)原力系只與一個(gè)力等效，這個(gè)力就是原力系的合力 R0 ， M00 由力的等效平移的逆過程可知，這個(gè)力和力偶可以合成為一個(gè)合力,情況 向O點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果 力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果 分類 主矢R 主矩MO （與簡(jiǎn)化中心無關(guān)）,,,,,,,,,3 R0 MO=0 合力R=R，作

10、用線過O點(diǎn)。,2 R=0 MO0 一個(gè)合力偶，M=MO。,1 R=0 MO=0 平衡狀態(tài)（力系對(duì)物體的移動(dòng) 和轉(zhuǎn)動(dòng)作用效果均為零）。,4 R0 MO0 一個(gè)合力，其大小為 R=R， 作用線到O點(diǎn)的距離為h=MO/R R在O點(diǎn)哪一邊，由MO符號(hào)決定,,,,,,平面力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果，只有三種可能：一個(gè)力；一個(gè)力偶；或?yàn)槠胶饬ο怠?（3）、平面任意力系平衡的情形 R=0 ，M0=0 則原力系是平衡力系，這種情形將在下一節(jié)中討論,內(nèi)容平面一般力系的 合力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)之 矩等于力系中各力對(duì)該 點(diǎn)之矩的代數(shù)和

11、,二、平面任意力系的合力矩定理,，,，,，,，,,例題3-4】將圖3-14(a)所示平面一般力系向O點(diǎn)簡(jiǎn)化，求其所得的主矢及主矩和力系合力的大小、方向及合力與O點(diǎn)的距離d，并在圖上畫出合力之作用線。圖中方格每格邊長(zhǎng)為5mm,,【解】 （1）向O點(diǎn)簡(jiǎn)化各力在x軸上的投影為：,,,,各力在x軸上的投影為：,,,,主矢的大小為,,,,,,主矢與x軸的夾角為,主矩的大小為,,,,（2）力系的合力 力系的合力大小與主矢的大小相等，方向與主矢平行。各力的 作用點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為,,平面任意力系平衡的必要和充分條件是：力系的主矢和力系對(duì)任一點(diǎn)的主矩都等于零。即：R=0 M0=0,,M0=M0=M0（F）,2、

12、平衡方程,得：,平衡方程的基本形式,稱為平面任意力系基本形式的平衡方程。因方程中僅含有一個(gè)力矩方程，故又稱為一矩式平衡方程。它表明平面任意力系平衡的必要和充分條件為：力系中所有各力在力系作用面內(nèi)兩個(gè)坐標(biāo)軸中每一軸上的投影的代數(shù)和等于零；力系中所有各力對(duì)于作用面內(nèi)任一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和等于零。,三、平面任意力系平衡條件及平衡方程,由 R=,1、平衡條件,平面任意力系的平衡方程，除了這種基本形式以外，還有如下兩種形式 。 二力矩式：FX=0 MA=0 條件：A、B連線不能垂直于X軸 MB=0 三力矩式： MA=0 MB=0 條件：A、B、C不能在一條直線

13、上 MC=0 無論哪種形式的平衡方程，都只有三個(gè)獨(dú)立的方程，所以，平面任意力系的平衡方程只能求解三未知量。,,,用平衡方程求解平衡問題的步驟： 1、選研究對(duì)象，并作其受力圖 2、列平衡方程 3、解方程 4、校核 用平衡方程求解平衡問題技巧： 1、X、Y軸盡量建立在與多個(gè)未知力平行或垂直的方向上； 2、列力矩式時(shí)，矩心選在未知力的交點(diǎn)上； 3、盡量不要求解聯(lián)立方程組；使得一個(gè)方程只有一個(gè)未知量,【例題3-5】 梁AB只在一端是固定端支座，在其他地方不存在任何約束，這樣的梁稱為懸臂梁。梁AB承受荷載作用，如圖3-15(a)所示。已知,，,，梁的自重不計(jì)，,求支座A處的反力。,【解】 （

14、1）取梁AB為研究對(duì)象，作受力圖如圖b所示。,（2）梁上的均布荷載可先合成為一個(gè)集中力,，其作用點(diǎn)在AC端的中點(diǎn)處，方向豎直向下,如圖c所示。,(3)設(shè)坐標(biāo)系,如圖3-15(c)所示，梁AB在荷載作用下保持平衡，由平衡條件得,a,b,c,,，,，,，,，,（方向向左）,（方向向上）,,,,，,（轉(zhuǎn)向?yàn)槟鏁r(shí)針方向）,,校核：,【例題3-6】 簡(jiǎn)支梁AB承受荷載作用，如圖3-16(a)所示。已知梁的自重為,，作用在梁的中點(diǎn)C處，在梁的AC段作用有,均布荷載q,在梁的BC段上受力偶作用，力偶矩,，求A、B處的支座反力。,【解】 （1）取梁AB為研究對(duì)象，作受力圖如圖b所示。 (2)梁AB在荷載作用下

15、保持平衡，由平衡條件得：,,，,,，,,，,解之得,，,，,a,b,,（3）校核：,【例題3-7】 外伸梁AB受荷載作用如圖a所示。已知均布荷載,，力偶矩,，集中力,，試求A、B處的支座反力。,【解】 （1）取梁AB為研究對(duì)象，作受力圖，如圖(b)所示。,(2)梁AB在荷載作用下保持平衡，由平衡條件得：,,，,,,，,a,b,，,：,,解之得,（方向向上），,(方向向下),（3）校核,【例題3-8】如圖a所示所示剛架（桿件都是由直桿組成，且桿件之間的結(jié)點(diǎn)不全為鉸結(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)稱為剛架）ABCD，承受線均布荷載q和集中力,作用，試求A、B處的支座反力。,【解】（1）取剛架ABCD為研究對(duì)象，作受力圖

16、如圖b所示。 (2) 剛架ABCD在荷載作用下保持平衡，由平衡條件得：,,，,,，,,，,解之得,（方向向左），,（方向向上），,(方向向上),,（3）校核：,,第六節(jié) 平面平行力系的平衡條件,平面平行力系的平衡方程,注：力系不平行y軸（或x軸）,第七節(jié) 物體系統(tǒng)的平衡問題,一、物系平衡問題,物體系統(tǒng)（簡(jiǎn)稱物系）：由多個(gè)物體通過約束而組合在一起的結(jié)構(gòu)（或機(jī)構(gòu)）。,物體系統(tǒng)平衡時(shí)，組成物系的每一個(gè)構(gòu)件也必為平衡狀態(tài)，在一般情況下，只單獨(dú)以整體或只以系統(tǒng)內(nèi)的某一部分為研究對(duì)象，都不能求出全部的未知量。在此情況下，一般是選取多個(gè)研究對(duì)象，逐步求解。,求解物體系統(tǒng)的平衡問題，就是計(jì)算出物體系統(tǒng)的內(nèi)、外

17、約束反力。解決問題的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)剡x取研究對(duì)象，一般有兩種選取的方法： 1.先取整個(gè)物體系統(tǒng)作為研究對(duì)象，求得某些未知量；再取其中某部分物體(一個(gè)物體或幾個(gè)物體的組合)作為研究對(duì)象，求出其他未知量。 2.先取某部分物體作為研究對(duì)象，再取其他部分物體或整體作為研究對(duì)象，逐步求得所有的未知量。,,,，,【例題3-9】 組合梁受荷載如圖3-22(a)所示。已知,,求A、B、D處的支座反力。,【解】 組合梁由兩段AC、CD在C處用鉸連接，在A、C、D三處各有三個(gè)支座約,(1)取梁CD段為研究對(duì)象，如圖(b)所示，由平衡條件得,,，,,，,,，,，,（方向向上），,(方向向上),解之得,、,、,(2)取

18、梁AC段為研究對(duì)象，如圖3-22(c)所示，將,反向加載給梁AC段， 則作用在C處的,由平衡條件得,,，,,，,,，,，,,解之得,（方向向上），,(方向向上),(3)校核 取梁整體為研究對(duì)象，如圖d所示，由平衡條件得,，,，,【例題3-10】 鋼筋混凝土三鉸剛架受荷載作用，如圖a所示，已知,，求A、B處的支座反力。,【解】 三鉸拱由左、右兩半拱組成。分別分析整個(gè)三鉸拱和左、右兩半拱的受力，畫出它們的受力圖，如圖(b)、(c)、(d)所示,(1)取整個(gè)三鉸拱為研究對(duì)象圖(b)，由平衡條件得,,，,,，,，,,解之得,,（方向向上），,(方向向上)，,(2)取左半拱為研究對(duì)象，如圖(c)所示，由

19、平衡條件得,,,解之得,,（方向向右），,(方向向左),,(3)校核 取左半拱為研究對(duì)象，如圖d所示，由平衡條件得,體系統(tǒng)平衡問題的解題特點(diǎn)歸納如下： 1.適當(dāng)選取研究對(duì)象 如整個(gè)系統(tǒng)的外約束反力未知量不超過三個(gè)，或者雖然超過三個(gè)但不拆開也能求出一部分未知量時(shí)，可先選擇整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象。 如整個(gè)系統(tǒng)的外約束反力未知量超過三個(gè)，必須拆開才能求出全部未知量時(shí)，通常先選擇受力情形最簡(jiǎn)單的某一部分(一個(gè)物體或幾個(gè)物體)作為研究對(duì)象，且最好這個(gè)研究對(duì)象所包含的未知量個(gè)數(shù)不超過此研究對(duì)象所受的力系的獨(dú)立平衡方程的數(shù)目。需要將系統(tǒng)拆開時(shí)，要在各個(gè)物體連接處拆開，而不應(yīng)將物體或桿件切斷，但對(duì)二力桿可以切斷。,,選取研究對(duì)象的具體方法是：先分析整個(gè)系統(tǒng)及系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)物體的受力情況，畫出它們的受力圖，然后選取研究對(duì)象。 2.畫受力圖 畫出研究對(duì)象所受的全部外力，不畫研究對(duì)象中各物體之間相互作用的內(nèi)力。兩個(gè)物體間相互作用的力要符合作用與反作用關(guān)系。,