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1、16.4 角的平分線（1）,生活中有很多數(shù)學問題： 小明家居住在一棟居民樓的一樓，剛好位于一條自來水管和天然氣管道所成角的平分線上的P點，要從P點建兩條管道，分別與自來水管道和天然氣管道相連. 問題1：怎樣修建管道最短？ 問題2：新修的兩條管道長度有什么關(guān)系，畫來看看.,,,,,自來水,天然氣,,創(chuàng)設(shè)情境,,,,,,,,,探索,角平分線定義：一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。,O,B,,,,情境問題,什么叫做角平分線？,c,不利用工具，請你將一張用紙片做的角分成兩個相等的角。你有什么辦法？,再打開紙片 ，看看折痕與這個角有何關(guān)系？,（對折）,折疊法,你有哪些方法可以

2、找到角平分線？,一、探索作已知角的平分線的方法,度量法 可以用量角器來畫一個角的平分線,一、探索作已知角的平分線的方法,工人師傅常用如圖所示的簡易角平分儀（有兩對邊相等），來畫角的平分線. 將A點放在角的頂點處，AB和AD沿角的兩邊放下，過AC畫一條射線AE，AE即為BAD的平分線.你能說明它的道理嗎?,,,A,D,B,C,E,探索作已知角的平分線的方法,,,,證明： 在ACD和ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共邊） ACD ACB（SSS） CAD=CAB（全等三角形的 對應(yīng)邊相等） AC平分DAB（角平分線的定義

3、）,,探索作已知角的平分線的方法,根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個角的平分線？（不用角平分儀或量角器）,O,探究新知,,,,,,N,O,M,C,E,,角平分線的畫法：,（）分別以M，N為圓心大于MN一半的長為半徑作弧兩弧在AOB的內(nèi)部交于C,（3）作射線OC， 則射線OC即為所要求 的AOB的角平分線. 你也來試一試！,,A,B,,,,,,()以O(shè)為圓心，適當長為半徑作弧，交OA于M，交OB于N,探索作已知角的平分線的方法,,想一想：為什么OC是角平分線呢？,已知：OM=ON，MC=NC. 求證：OC平分AOB.,證明：連接CM，CN 在OMC和ONC中， OM=ON， MC=NC，

4、OC=OC， OMCONC （SSS） MOC=NOC 即：OC平分AOB,,A,B,,,,,,,,,,探索作已知角的平分線的方法,想一想： 你會平分一個平角嗎？此時它的角平分線和角的一邊有什么關(guān)系？,1平分平角AOB 2通過上面的步驟，得到射線OC以后，把它反向延長得到直線CD，直線CD與直線AB是什么關(guān)系？ 3結(jié)論：作平角的平分線即可平分平角，由此也得到過直線上一點作這條直線的垂線的方法。,,,實踐應(yīng)用(1),探究角平分線的性質(zhì),(1)實驗：將AOB對折，再折出一個直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？,(2)猜想:角的平分線上

5、的點到角的兩邊的距離相等.,你能寫出你猜想的題設(shè)和結(jié)論，并能證明你的猜想嗎？,探究角平分線的性質(zhì),證明：OC平分 AOB （已知） 1= 2（角平分線的定義） PD OA，PE OB（已知） PDO= PEO（垂直的定義） 在PDO和PEO中 PDO= PEO（已證） 1= 2 （已證） OP=OP （公共邊） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）,,已知：如圖，OC平分AOB，點P在OC上，PDOA于點D，PEOB于點E 求證: PD=PE,(3)驗證猜想:,探究角平分線的性質(zhì),角平分線上的點到角兩邊的距離相

6、等。,(4)得到角平分線的性質(zhì)：,,判斷正誤，并說明理由： （1）如圖1，P在射線OC上，PEOA，PFOB，則PE=PF. （2）如圖2，P是AOB的平分線OC上的一點，E、F分別在OA、OB上，則PE=PF.,圖1,（3）如圖3，在AOB的平分線OC上任取一點P，若P到OA的距離為3cm，則P到OB的距離邊為3cm.,,4.實踐與應(yīng)用,,運用本節(jié)課所學的知識回答課前引例中的問題： 問題：引例中兩條管道的長度有什么關(guān)系？理由是什么？,,,,自來水,天然氣,,,,,例題講解 例1 如圖，在ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DEAB，DFAC，垂足分別是E，F(xiàn).求證：EB=FC.,,,,,,,A,F,C,D,B,E,,,,,,,變題1：如圖，ABC中，AD是BAC的平分線， C90， DEAB于E，F(xiàn) 在AC上，且BD=DF，求證：CF=EB.,變題2：如圖，ABC中， AD是BAC的平分線， C90，DEAB于E，BC=8，BD=5，求DE.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,