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1、,6.1 投入產(chǎn)出模型 6.2 CT技術的圖像重建 6.3 原子彈爆炸的能量估計 6.4 市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型 6.5 減肥計劃節(jié)食與運動 6.6 按年齡分組的種群增長,第六章 代數(shù)方程與差分方程模型,國民經(jīng)濟各個部門之間存在著相互依存和制約關系，每個部門將其他部門的產(chǎn)品或半成品經(jīng)過加工（投入）變?yōu)樽约旱漠a(chǎn)品（產(chǎn)出）.,根據(jù)各部門間投入和產(chǎn)出的平衡關系，確定各部門的產(chǎn)出水平以滿足社會的需求 .,20世紀30年代由美國經(jīng)濟學家列昂節(jié)夫提出和研究.,從靜態(tài)擴展到動態(tài)，與數(shù)量經(jīng)濟分析方法日益融合，應用領域不斷擴大 .,6.1 投入產(chǎn)出模型,背景,建立靜態(tài)投入產(chǎn)出數(shù)學模型，討論具體應用.,投入產(chǎn)出表,

2、國民經(jīng)濟各部門間生產(chǎn)和消耗、投入和產(chǎn)出的數(shù)量關系,,,中國2002年投入產(chǎn)出表（產(chǎn)值單位：億元）,直接消耗系數(shù)表,一個部門的單位產(chǎn)出對各個部門的直接消耗,中國2002年直接消耗系數(shù)表,由投入產(chǎn)出表直接得到,農(nóng)業(yè)每1億元產(chǎn)出直接消耗0.159億元農(nóng)業(yè)產(chǎn)品,直接消耗0.171億元工業(yè)產(chǎn)品,反映國民經(jīng)濟各個部門之間的投入產(chǎn)出關系,,投入產(chǎn)出的數(shù)學模型,,xi第i部門的總產(chǎn)出,di對第i部門的外部需求,xij第i部門對第j部門的投入,aij直接消耗系數(shù)第j部門單位產(chǎn)出對第i部門的直接消耗,xij第j部門總產(chǎn)出對第i部門的直接消耗,每個部門的總產(chǎn)出等于總投入,xj第j部門的總投入,設共有n個部門,,,,

3、,,技術水平?jīng)]有明顯提高,模型應用,問題1 如果某年對農(nóng)業(yè)、工業(yè)、建筑業(yè)、運輸郵電、批零餐飲和其他服務的外部需求分別為1500, 4200, 3000, 500, 950, 3000億元, 問這6個部門的總產(chǎn)出分別應為多少？,d=(1500, 4200, 3000, 500, 950, 3000)T,A由直接消耗系數(shù)表給出,6個部門的總產(chǎn)出 x=(3277, 17872, 3210, 1672, 2478, 5888)（億元）.,,求解,,模型應用,,總產(chǎn)出對外部需求線性,,dd增加1個單位,x的增量,,若農(nóng)業(yè)的外部需求增加1單位,x為 的第1列,6個部門的總產(chǎn)出分別增加1.2266，0

4、.5624，0.0075，0.0549，0.0709，0.1325單位.,問題2 如果6個部門的外部需求分別增加1個單位, 問它們的總產(chǎn)出應分別增加多少？,求解,其余外部需求增加1單位,x為 的其余各列,6.2 CT技術的圖像重建,CT(計算機斷層成像 )技術是20世紀50至70年代由美國科學家科馬克和英國科學家豪斯費爾德發(fā)明的.,1971年第一代供臨床應用的CT設備問世.,螺旋式CT機等新型設備被醫(yī)療機構普遍采用.,CT技術在工業(yè)無損探測、資源勘探、生態(tài)監(jiān)測等領域也得到了廣泛的應用.,背景,什么是CT，它與傳統(tǒng)的X射線成像有什么區(qū)別？,一個半透明物體嵌入5個不同透明度的球,概念圖示,單

5、方向觀察無法確定球的數(shù)目和透明度,讓物體旋轉(zhuǎn)從多角度觀察能分辨出5個球及各自的透明度,人體內(nèi)臟,膠片,傳統(tǒng)的X射線成像原理,CT技術原理,探測器,X射線,X光管,人體內(nèi)臟,CT技術: 在不同深度的斷面上,從各個角度用探測器接收旋轉(zhuǎn)的X光管發(fā)出、穿過人體而使強度衰減的射線;,經(jīng)過測量和計算將人體器官和組織的影像重新構建.,圖像重建,X射線強度衰減與圖像重建的數(shù)學原理,射線強度的衰減率與強度成正比.,I射線強度,l物質(zhì)在射線方向的厚度,物質(zhì)對射線的衰減系數(shù),I0入射強度,射線沿直線L穿行, 穿過由不同衰減系數(shù)的物質(zhì)組成的非均勻物體(人體器官).,,,,X射線強度衰減與圖像重建的數(shù)學原理,右端數(shù)值可

6、從CT 的測量數(shù)據(jù)得到,,多條直線L的線積分,,FQ(q)與Q相距q的直線L的線積分Pf(L)對所有q的平均值,拉東變換,,,拉東逆變換,圖像重建,數(shù)學原理,實際上只能在有限條直線上得到投影(線積分).,圖像重建在數(shù)學方法上的進展，為CT技術在各個領域成功的和不斷拓廣的應用提供了必要條件.,圖像重建的代數(shù)模型,每個像素對射線的衰減系數(shù)是常數(shù),m個像素(j=1,, m),,n束射線(i=1,,n),Li的強度測量數(shù)據(jù),j像素j的衰減系數(shù),lj射線在像素j中的穿行長度,J(Li)射線Li穿過的像素j的集合,,圖像重建的代數(shù)模型,常用算法,設像素的邊長和射線的寬度均為,中心線法,aij射線Li的中心

7、線在像素j內(nèi)的長度lij與之比.,,面積法,aij射線Li的中心線在像素j內(nèi)的面積sij與之比.,,中心法,aij=1射線Li經(jīng)過像素j的中心點.,圖像重建的代數(shù)模型,中心法的簡化形式,假定射線的寬度為零, 間距,aij=1 Li經(jīng)過像素j內(nèi)任一點,,根據(jù)A和b, 由 確定像素的衰減系數(shù)向量x,m和n很大且m n, 方程有無窮多解,+ 測量誤差和噪聲,在x和e滿足的最優(yōu)準則下估計x,代數(shù)重建技術(ART),,6.3 原子彈爆炸的能量估計,1945年7月16日美國科學家在新墨西哥州阿拉莫戈多沙漠試爆了全球第一顆原子彈, 震驚世界!,當時資料是保密的, 無法準確估計爆炸的威力.,英國物理學家

8、泰勒研究了兩年后美國公開的錄像帶, 利用數(shù)學模型估計這次爆炸釋放的能量為19.2千噸.,后來公布爆炸實際釋放的能量21千噸,泰勒測量： 時刻t 所對應的“蘑菇云”的半徑r,原子彈爆炸的能量估計,爆炸產(chǎn)生的沖擊波以爆炸點為中心呈球面向四周傳播,爆炸的能量越大，在一定時刻沖擊波傳播得越遠.,沖擊波由爆炸形成的“蘑菇云”反映出來.,泰勒用量綱分析方法建立數(shù)學模型, 輔以小型試驗,又利用測量數(shù)據(jù)對爆炸的能量進行估計.,物理量的量綱,長度 l 的量綱記 L=l,質(zhì)量 m的量綱記 M=m,時間 t 的量綱記 T=t,動力學中基本量綱 L, M, T,,速度 v 的量綱 v=LT-1,導出量綱,,加速度 a

9、 的量綱 a=LT-2,力 f 的量綱 f=LMT-2,引力常數(shù) k 的量綱 k,對無量綱量，=1(=L0M0T0),量綱齊次原則,=fl2m-2=L3M-1T-2,在經(jīng)驗和實驗的基礎上利用物理定律的量綱齊次原則,確定各物理量之間的關系.,量綱齊次原則,等式兩端的量綱一致,量綱分析利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關系.,例：單擺運動,求擺動周期 t 的表達式,設物理量 t, m, l, g 之間有關系式,1, 2, 3 為待定系數(shù)，為無量綱量,,,(1)的量綱表達式,與 對比,,,對 x,y,z的兩組量測值x1,y1,z1 和x2,y2,z2, p1 = f( x1,y1,z1), p

10、2 = f( x2, y2,z2 ),,,為什么假設這種形式?,設p= f(x,y,z),,x,y,z的量綱單位縮小a,b,c倍,量綱齊次原則,單擺運動,單擺運動中 t, m, l, g 的一般表達式,,,基本解,,設 f(q1, q2, , qm) = 0,ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2,, m-r,F( 1, 2,, m-r ) = 0 與 f (q1, q2, , qm) =0 等價, F未定.,Pi定理 (Buckingham),是與量綱單位無關的物理定律，X1,X2, Xn 是基本量綱, nm, q1, q2, qm 的量綱可表為,量綱矩陣記作,記爆

11、炸能量為E，將“蘑菇云”近似看成一個球形.,時刻 t 球的半徑為 r,t, E,空氣密度, 大氣壓強P,基本量綱：L, M, T,,,原子彈爆炸能量估計的量綱分析方法建模,r與哪些因素有關？,量綱矩陣,,y=(1,-2/5,-1/5,1/5,0) y=(0,6/5,-2/5,-3/5,1)T,原子彈爆炸能量估計的量綱分析方法建模,,,,,,原子彈爆炸能量估計的數(shù)值計算,時間 t 非常短 能量 E 非常大,泰勒根據(jù)一些小型爆炸試驗的數(shù)據(jù)建議,用r, t 的實際數(shù)據(jù)做平均,空氣密度 =1.25 (kg/m3),1千噸(TNT能量) = 4.184*1012焦爾,,實際值21千噸,泰勒的計算,,最小

12、二乘法擬合 r=atb,,E=8.02761013 (焦耳)即19.2千噸,取y平均值得c=6.9038,,模型檢驗,b=0.4058,2/5,量綱分析法的評注,物理量的選取,基本量綱的選取,基本解的構造,結(jié)果的局限性, () = 0中包括哪些物理量是至關重要的.,基本量綱個數(shù)n; 選哪些基本量綱.,有目的地構造 Ay=0 的基本解.,方法的普適性,函數(shù)F和無量綱量未定.,不需要特定的專業(yè)知識.,物理模擬示例：波浪對航船的阻力,航船阻力 f,航船速度v, 船體尺寸l, 浸沒面積 s, 海水密度, 重力加速度g .,量綱分析在物理模擬中的應用,物理模擬: 按照一定的比例尺寸構造它的物理模型,通過

13、對模型的研究得出原型的結(jié)果.,量綱分析可以指導物理模擬中比例尺寸的確定.,,物理模擬示例：波浪對航船的阻力,定理,,原型船,模型船,模型船的 均已知,當原型船的 給定后計算 f,物理模擬,,,物理模擬示例：波浪對航船的阻力,原型船,模型船,,模擬條件,量測模型船阻力f，可計算 f.,無量綱化示例：火箭發(fā)射,星球表面豎直發(fā)射火箭。初速v, 星球半徑r, 星球表面重力加速度g.,研究火箭高度 x 隨時間 t 的變化規(guī)律.,t=0 時 x=0, 火箭質(zhì)量m1, 星球質(zhì)量m2,牛頓第二定律，萬有引力定律,,3個獨立參數(shù),用無量綱化方法減少獨立參數(shù)個數(shù),用參數(shù)r,v,g的組合,分

14、別構造與x,t具有相同量綱的xc, tc （特征尺度）,無量綱變量,如,令,xc, tc的不同構造,1）令,,為無量綱量,,用無量綱化方法減少獨立參數(shù)個數(shù),3）令,,2）令,,用無量綱化方法減少獨立參數(shù)個數(shù),1) 2) 3) 的共同點,1) 2) 3) 的重要差別,考察無量綱量,,,在1) 2) 3) 中能否忽略以為因子的項？,1),無解,無量綱化方法,2),3),1) 2) 3) 的重要差別,無量綱化方法,,原問題,,是原問題的近似解,1) 2) 3) 的重要差別,無量綱化方法,為什么3)能忽略項，得到原問題近似解，而1) 2)不能?,3）令,火箭到達最高點時間為v/g, 高度為v2/2g,

15、,大體上具有單位尺度,,無量綱化方法,選擇特征尺度的一般討論見：林家翹著自然科學中確定性問題的應用數(shù)學,無 量 綱 化,無量綱化是研究物理問題常用的數(shù)學方法.,選擇特征尺度主要依賴于物理知識和經(jīng)驗.,恰當?shù)剡x擇特征尺度可以減少獨立參數(shù)個數(shù)，還可以輔助確定舍棄哪些次要因素.,6.4 市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型,問 題,供大于求,現(xiàn) 象,商品數(shù)量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定?,當不穩(wěn)定時政府能采取什么干預手段使之穩(wěn)定?,,描述商品數(shù)量與價格的變化規(guī)律.,商品數(shù)量與價格在振蕩,蛛 網(wǎng) 模 型,xk第k時段商品數(shù)量；yk第k時段商品價格.,消費者的需求關系,生產(chǎn)者的供應關系,減函數(shù),增函數(shù),f與g的交點

16、P0(x0,y0) 平衡點,一旦xk=x0，則yk=y0,,xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0,,設x1偏離x0,x1,,,,,,,,P0是穩(wěn)定平衡點,P0是不穩(wěn)定平衡點,,曲線斜率,蛛 網(wǎng) 模 型,,在P0點附近用直線近似曲線,,,P0穩(wěn)定,P0不穩(wěn)定,,,方 程 模 型,方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致, 商品數(shù)量減少1單位, 價格上漲幅度, 價格上漲1單位, (下時段)供應的增量,考察 , 的含義, 消費者對需求的敏感程度, 生產(chǎn)者對價格的敏感程度,小, 有利于經(jīng)濟穩(wěn)定, 小, 有利于經(jīng)濟穩(wěn)定,結(jié)果解釋,xk第k時段商品數(shù)量；yk第k時段商品價格.,結(jié)果解釋,經(jīng)濟不穩(wěn)定時

17、政府的干預辦法,1. 使 盡量小，如 =0,以行政手段控制價格不變,2. 使 盡量小，如 =0,靠經(jīng)濟實力控制數(shù)量不變,結(jié)果解釋,模型的推廣,生產(chǎn)者根據(jù)當前時段和前一時段 的價格決定下一時段的產(chǎn)量.,生產(chǎn)者管理水平提高,設供應函數(shù)為,需求函數(shù)不變,,二階線性常系數(shù)差分方程,x0為平衡點,研究平衡點穩(wěn)定，即k, xkx0的條件,,方程通解,(c1, c2由初始條件確定),1, 2特征根，即方程 的根,平衡點穩(wěn)定，即k, xkx0的條件:,平衡點穩(wěn)定條件,比原來的條件 放寬了!,,模型的推廣,6.5 減肥計劃節(jié)食與運動,背景,多數(shù)減肥食品達不到減肥目標，或不能維持.,通過

18、控制飲食和適當?shù)倪\動，在不傷害身體 的前提下，達到減輕體重并維持下去的目標.,分析,體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起.,飲食（吸收熱量）引起體重增加.,代謝和運動（消耗熱量）引起體重減少.,體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m2). 18.525 超重; BMI30 肥胖.,模型假設,1）體重增加正比于吸收的熱量每8000千卡 增加體重1千克；,2）代謝引起的體重減少正比于體重每周每千克 體重消耗200千卡 320千卡(因人而異), 相當于70 千克的人每天消耗2000千卡 3200千卡；,3）運動引起的體重減少正比于體重，且與運動形式 有關；,4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1

19、.5千克, 每周吸收熱量不要小于10000千卡.,某甲體重100千克，目前每周吸收20000千卡熱量，體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥至75千克.,第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減少,直至達到下限（10000千卡）；,第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達到目標.,2）若要加快進程，第二階段增加運動，試安排計劃.,1）在不運動的情況下安排一個兩階段計劃.,減肥計劃,3）給出達到目標后維持體重的方案.,確定某甲的代謝消耗系數(shù),即每周每千克體重消耗 20000/100=200千卡,基本模型,w(k) 第k周(末)體重,c(k) 第k周吸收熱量, 代謝消耗系數(shù)(因人而異),1）不運動情況的兩階段

20、減肥計劃,每周吸收20000千卡 w=100千克不變,,=1/8000(千克/千卡),第一階段: w(k)每周減1千克, c(k)減至下限10000千卡,第一階段10周, 每周減1千克，第10周末體重90千克,,,吸收熱量為,1）不運動情況的兩階段減肥計劃,,第二階段：每周c(k)保持Cm, w(k)減至75千克,1）不運動情況的兩階段減肥計劃,基本模型,,第二階段：每周c(k)保持Cm, w(k)減至75千克,第二階段19周, 每周吸收熱量保持10000千卡, 體重按 減少至75千克.,運動 t=24 (每周跳舞8小時或自行車

21、10小時), 14周即可.,2）第二階段增加運動的減肥計劃,t每周運動時間(小時),取t=0.003, 即t=24,=1/8000(千克/千卡), =0.025,增加運動相當于提高代謝消耗系數(shù),2）第二階段增加運動的減肥計劃,提高12%,減肥所需時間從19周降至14周,減少25%,這個模型的結(jié)果對代謝消耗系數(shù)很敏感.,應用該模型時要仔細確定代謝消耗系數(shù) (對不同的人; 對同一人在不同的環(huán)境).,3）達到目標體重75千克后維持不變的方案,每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)C，使體重w不變,,,不運動,運動(內(nèi)容同前),6.6 按年齡分組的種群增長,不同年齡組的繁殖率和死亡率不同.,建立差分方程模型，

22、討論穩(wěn)定狀況下種群的增長規(guī)律.,假設與建模,種群按年齡大小等分為n個年齡組，記i=1,2,,n,時間離散為時段，長度與年齡組區(qū)間相等，記k=1,2,,以雌性個體數(shù)量為對象.,第i 年齡組1雌性個體在1時段內(nèi)的繁殖率為bi,第i 年齡組在1時段內(nèi)的死亡率為di, 存活率為si=1- di,假設 與 建模,xi(k)時段k第i 年齡組的種群數(shù)量,按年齡組的分布向量,預測任意時段種群按年齡組的分布,Leslie矩陣(L矩陣),(設至少1個bi0),穩(wěn)定狀態(tài)分析的數(shù)學知識,L矩陣存在正單特征根1，,若L矩陣存在bi, bi+10, 則,P的第1列是x*,,特征向量,解釋,L對角化,穩(wěn)態(tài)分析k充分大種群

23、按年齡組的分布, 種群按年齡組的分布趨向穩(wěn)定，x*稱穩(wěn)定分布, 與初始分布無關。, 各年齡組種群數(shù)量按同一倍數(shù)增減， 稱固有增長率,,3）=1時, 各年齡組種群數(shù)量不變, 1個個體在整個存活期 內(nèi)的繁殖數(shù)量為1,穩(wěn)態(tài)分析,存活率 si是同一時段的 xi+1與 xi之比,（與si 的定義 比較）,,3）=1時,人口模型,連續(xù)型人口模型的離散形式,xi(k)k年i 歲的女性人數(shù)(模型只考慮女性人口).,bi(k)k年i 歲女性生育率(每人平均生育女兒數(shù)).,dii 歲女性死亡率，si=1-di存活率,i1, i2生育區(qū)間,k年育齡女性平均生育女兒數(shù),總合生育率(生育胎次),年齡分布向量,hi生育模式,人口模型,存活率矩陣,生育模式矩陣,x(k)狀態(tài)變量, (k)控制變量,雙線性方程(對x(k), (k)線性),原模型,