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1、7.5 飲酒駕車,微分方程模型及非線性擬合實(shí)驗(yàn),問題,大李喝下啤酒后，酒精先從腸胃吸收進(jìn)入血液和體液中，然后從血液和體液向體外排出?？梢越⒍夷Ｐ?，將腸胃看成吸收室，將血液與體液看成中心室(見下圖)。,吸收和排出的過程都可以簡(jiǎn)化成一級(jí)反應(yīng)來處理，加起來得到體液內(nèi)酒精吸收和排出過程的數(shù)學(xué)模型。因?yàn)榭紤]到時(shí)短時(shí)間內(nèi)喝酒，所以忽略喝酒的時(shí)間，可使初始條件得以簡(jiǎn)化。,根據(jù)上面問題要求，可歸結(jié)為如下問題： 1、建立數(shù)學(xué)模型，并解釋大李在中午12點(diǎn)喝1瓶啤酒后，在下午6點(diǎn)檢查時(shí)體內(nèi)血液中的酒精含量小于20mg/10ml，符合“駕車標(biāo)準(zhǔn)”。 2、建立數(shù)學(xué)模型，并解釋大李在晚飯時(shí)再喝1瓶啤酒后，在凌晨2點(diǎn)檢

2、查時(shí)體內(nèi)血液中的酒精含量不小于20mg/100ml,不符合“飲酒駕車”的標(biāo)準(zhǔn)。,酒精量是指純酒精的質(zhì)量，單位為毫克(mg)；酒精含量是指純酒精的濃度，單位是毫克/百毫升(mg/100ml)； t:時(shí)刻(h)； x1(t):在時(shí)刻t吸收室(腸胃)內(nèi)的酒精量(mg)； k1:酒精從吸收室進(jìn)入中心室的速率系數(shù)； g0:在短時(shí)間內(nèi)喝下1瓶啤酒后吸收室內(nèi)的酒精量(mg)； y1(t):在時(shí)刻t中心室(血液和體液)的酒量(mg); K2:酒精從中心室向體外排出的速率系數(shù); V:中心室的容積(100ml).,（4）考慮到大李在下午6點(diǎn)接受檢查，之后由于離開檢查地點(diǎn)以及停車等待等原因耽誤了一定時(shí)間，因此假定大

3、李在晚8點(diǎn)吃晚飯 (即大李從第一次接受檢查到第二次喝酒之間相隔了2個(gè)小時(shí)),大李在短時(shí)間內(nèi)喝下2瓶啤酒后，酒精先從吸收室（腸胃）進(jìn)入中心室（血液與體液），然后從中心室向體外排出。忽略喝酒時(shí)間，并假設(shè)：,（1）吸收室在初始時(shí)刻t=0時(shí)，酒精量立即為2g0，酒精從吸收室進(jìn)入中心室的速率（吸收室在單位時(shí)間內(nèi)酒精量的減少量）與吸收室的酒精量成正比，比例系數(shù)為k1.,(2)中心室的容積V保持不變；在初始時(shí)刻t=0時(shí)，中心室酒精量為0;在任意時(shí)刻，酒精從中心室向體外排出的速率（中心室的單位時(shí)間內(nèi)酒精量的減少量）與中心室的酒精量成正比，比例系數(shù)為k2.,(3)在大李（體重為70kg）適度飲酒沒有酒精中毒的前

4、提下，假設(shè)k1和k2都是常數(shù)，與酒精量無關(guān)。,根據(jù)假設(shè)（1），吸收室的酒精量x1(t)滿足微分方程初值問題,,根據(jù)假設(shè)（2），中心室的酒精量y1(t)滿足微分方程初值問題：,,根據(jù)（7.5.1）和（7.5.2）得到微分方程組初值問題：,,解上述微分方程組初值問題，其matlab程序如下：,x1,y1=dsolve(Dx1=-k1*x1,Dy1=k1*x1-k2*y1,x1(0)=N*g(0),y1(0)=0) y,how=simple(x1,y1),y = N*g(0)*exp(-k1*t), k1*N*g(0)*(exp(-k2*t)-exp(-k1*t))/(k1-k2),程序運(yùn)行結(jié)果：,

5、程序求解結(jié)果整理為：,,返回,式（7.5.3）可以寫成,當(dāng)前任務(wù)就是，確定k,k1,k2,用MATLAB的函數(shù)nlinfit(非線性最小二乘擬合),根據(jù)賽題所給數(shù)據(jù)擬合式（7.5.4）的參數(shù)k1,k2和k.此問題的MATLAB程序如下：,f=(k,x)k(3).*(exp(-k(2).*x)-exp(-k(1).*x)); x=0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16; y=30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 38 35 28 25 18 15 12 10 7 7

6、 4; k0=2,1,80;%參數(shù)的初值 k=nlinfit(x,y,f,k0) plot(x,y,r*,0:0.01:18,f(k,0:0.01:18),k) xlabel(時(shí)間(h)) ylabel(酒精含量) title(血液中酒精含量的擬合圖) axis(0 18 0 90) legend(原始數(shù)據(jù),擬合曲線),參數(shù)k1，k2和k的擬合結(jié)果為:,k =2.0079 0.1855 114.432524,,參數(shù)的初值設(shè)定思路：,fc=(x)k(3).*(exp(-k(2).*x)-exp(-k(1).*x)); figure(2) plot(x,y-fc(x),ro,0 18,0 0,k)

7、 axis(0,18,-10,10),結(jié)果如圖：,從原始數(shù)據(jù)擬合圖、擬合誤差圖觀察發(fā)現(xiàn)擬合效果比較好。在擬合誤差圖中只有一個(gè)誤差在-10附近，其他誤差值都在（-6,6）之內(nèi)，且分布比較均勻，這說明引入的假設(shè)和建立的模型比較合理。,7.5.7.1問題(1)的應(yīng)用,在問題（1）中，大李在中午12點(diǎn)喝了1瓶啤酒（與“參考數(shù)據(jù)”中短時(shí)間內(nèi)喝下2瓶啤酒相比，喝酒量減少一半），此時(shí)：,,根據(jù)假設(shè)（3），k1和k2保持不變，根據(jù)式（7.5.5），大李的血液中酒精含量的經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)模型為：,,把t=6代入式（7.5.6），可以得到大李在下午6點(diǎn)被檢查時(shí)血液中酒精含量為：,,因此，此時(shí)大李符合“駕車標(biāo)準(zhǔn)”（不屬于“

8、飲酒駕車”）。,7.5.7.2 問題(2)的應(yīng)用,在問題（2）中，大李在晚飯時(shí)又喝了1瓶啤酒，根據(jù)模型假設(shè)中的“忽略喝酒時(shí)間”,假設(shè)這瓶啤酒是在短時(shí)間內(nèi)喝的。,由于問題中沒有給出具體的晚飯喝酒時(shí)間，假設(shè)在晚上s點(diǎn)吃飯時(shí)大李又喝了1瓶啤酒，注意s6,因?yàn)榇罄畈豢赡茉谙挛?點(diǎn)被檢查的同時(shí)喝酒,,根據(jù)假設(shè)（3），k1和k2保持不變，則有：,根據(jù)前面的結(jié)果有：,,模型求解,用MATLAB編程求解如下：,x2,y2=dsolve(Dx2=-k1*x2,Dy2=k1*x2-k2*y2, x2(0)=N*g(0)*(1+exp(-k1*s)),y2(0)=(k1*N*g(0) /(k1-k2))*(exp(

9、-k2*s)-exp(-k1*s))) y,how=simple(x2,y2),運(yùn)行結(jié)果：,y = N*g(0)*(1+exp(-k1*s))*exp(-k1*t), k1*N*g(0)*(exp(-k2*t)+exp(-k2*t-k2*s)-exp(-k1*t)-exp(-k1*t-k1*s))/(k1-k2),即：,,可變?yōu)椋?,其中,大李又喝了1瓶啤酒時(shí)，酒精含量與時(shí)間（時(shí)間t從第二次喝酒開始算，即t=14-s）的關(guān)系為：,,根據(jù)假設(shè)（4），大李在晚8點(diǎn)吃晚飯，把s=8,t=6代入式(7.5.9)，得大李在凌晨2點(diǎn)被檢查時(shí)血液中酒精含量為:,此時(shí)屬于“飲酒駕車”。,當(dāng)然，人們也許更關(guān)心大

10、李晚上“何時(shí)”再喝1瓶啤酒后，在凌晨2點(diǎn)檢查時(shí)體內(nèi)血液中的酒精含量等于20mg/100ml（即飲酒駕車的臨界時(shí)間）。此問題的MATLAB程序如下：,x=fzero(57.2163*((1+exp(-0.1855*(14-x))).*exp(-0.1855*x)-(1+exp(-2.0079*(14-x))).*exp(-2.0079*x))-20,7) T=14-x,x = 6.9584 T = 7.0416,運(yùn)行結(jié)果為：,因此，大李在晚上7.0416時(shí)之后再喝1瓶啤酒，在凌晨2點(diǎn)檢查時(shí)體內(nèi)血液中的酒精含量就會(huì)大于20mg/100ml（這樣大李在晚上8點(diǎn)再喝1瓶啤酒，在凌晨2點(diǎn)被檢查時(shí)就會(huì)被定

11、為“飲酒駕車”）。,綜合以上解釋了： （1）大李在中午12點(diǎn)喝了1瓶啤酒，下午6點(diǎn)檢查時(shí)血液中的酒精含量為18.799320(mg/100ml),被定為飲酒駕車。,結(jié)論：,本節(jié)在短時(shí)間內(nèi)喝酒情況下，建立了體液（含血液）中的酒精含量的數(shù)學(xué)模型.該模型基于微分方程，并對(duì)給出的數(shù)據(jù)利用非線性最小二乘數(shù)據(jù)擬合法，確定了酒精從腸胃進(jìn)入血液的速率系數(shù)和酒精從血液滲透出體外的速率系數(shù)，根據(jù)模型得到的結(jié)果基本符合實(shí)際。模型很好的描述了酒精在體內(nèi)的變化規(guī)律，在酒精攝入時(shí)能夠較為準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)出不同時(shí)間的血液酒精濃度。對(duì)駕駛?cè)藛T安排喝酒與開車的關(guān)系具有指導(dǎo)性作用，并能夠有效地防止酒后駕車的發(fā)生。,1、模型把復(fù)雜的生理循環(huán)問題轉(zhuǎn)化為酒精從腸胃（吸收室）到血液與體液（中心室）的簡(jiǎn)單變化；2、模型簡(jiǎn)明易懂，具有較好的通用性。,模型的優(yōu)點(diǎn)：,本模型存在近似誤差，是通過擬合產(chǎn)生的；另外模型未考慮不同的人對(duì)酒精的消耗速率可能存在的差異。,模型的缺點(diǎn)：,模型作一些修改后可以用于藥物動(dòng)力學(xué)問題，對(duì)藥物在體內(nèi)的濃度變化進(jìn)行研究具有一定的參考價(jià)值。,模型的推廣：,下節(jié)預(yù)告,,謝謝大家！,