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1、工程流體力學(xué),主講: 馮 進(jìn) 長江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,5 理想流體動力學(xué),假設(shè)存在一種流體，其粘度為零，該流體稱為理想流體。客觀上是不存在這種流體的，但當(dāng)流體的粘度非常小且對運動過程的影響可以不考慮時，可以把它當(dāng)理想流體處理。,5.1 理想流體運動方程,在第三章，介紹歐拉法描述流體運動時，我們知道其加速度為： 其中：,,,,因此，理想流體的運動方程寫為：,例： 巳知流體流動的速度為： 質(zhì)量力僅有重力，求流體質(zhì)點在（2，3，1）位置上的壓力梯度。采用=1000kg/m3, g9.8m/s2。,例2：已知不可壓縮流體水平面上作有勢流流動，在X方向上的速度分量為ux=yt-x，且在xyo處，ux=u

2、y=0，pp0。試求to時流場的壓力分布。,一、伯努里方程 當(dāng)理想流體的壓強僅與密度有關(guān)時，我們稱它為理想正壓流體。理想正壓流體在有勢質(zhì)量力的作用下，其運動方程在定常及無旋兩種特殊情況下可以積分出來。理想流體運動方程：,5.2 理想流體的伯努里方程,當(dāng)理想流體為不可壓縮均質(zhì)流體時，則： 當(dāng)質(zhì)量力僅為重力時，則： 運動方程具有以下形式：,當(dāng)流體為理想、均質(zhì)不可壓、質(zhì)量力僅為重力且運動為定常時，上式變?yōu)椋? 將等式兩端點乘流線上任意點的切線方向的單位矢量 ，得：,沿流線積分得： C為積分常數(shù)，沿同一流線取相同值，不同流線取不同的值，這就是伯努里方程。伯努里方

3、程寫成：,當(dāng)流體為理想、均質(zhì)不可壓、質(zhì)量力僅為重力、定常且無旋時，運動方程寫成： 積分得： C為積分常數(shù)，在整個流場中取同一值。,二、伯努里方程的物理意義,上式表明單位質(zhì)量流體的總能量（動能、勢能和壓能的總和）在同一流線上守恒，如圖示。,例1：常用皮托管測量流速，皮托管測速原理如圖示，如果被測流體為不可壓縮流體。,根據(jù)伯努里方程有： 式中，z1=z2，且在第2點處u2=0。根據(jù)靜壓平衡原理，有 ，故：,三、總流伯努里方程,在同一過流斷面上各點的速度不一定相同。因此，上式適合于流束而不適合總流，總流是由無限個流束組成的，對每個流束進(jìn)行積分即可得出實際流體總流能

4、量方程式。 設(shè)微小流束的流量為dQ，單位時間內(nèi)通過微小流束任何過流斷面的流體重量為gdQ，將適合于流束的伯努里方程各項乘以gdQ，在總流的兩個過流斷面積分，即：,上式分兩項積分分別討論： 1.第一項積分： 只有在所取斷面上流動為均勻流或漸變流時，過流斷面上z+p/g為常數(shù)，積分才有可能。所以,2.第二項積分： 它為單位時間通過過流斷面A的流體動能的總和。由于流速u分布復(fù)雜，無法積分。一般采用動能修正系數(shù)，建立平均流速V的總動能與實際分布速度u的總動能相等，即：,式中： 其值取決于過流斷面流速分布，對理想流體1。 因此,總流的伯努里方程:,例1：液體自下而上流動，如圖示。液體的密度為，測

5、壓計的流體密度為，試求管中液體流量。,例2：一水槽在同一側(cè)面有兩個大小相同的孔口，上面的孔口離水面2m，下面孔口離水面4m，試求兩孔射流為定常運動時，在哪一點相交。,5.3 理想流體的拉格朗日積分,一、拉格朗日積分 當(dāng)流體為理想、均質(zhì)不可壓、質(zhì)量力僅為重力且無旋時，運動方程變?yōu)椋? 式中 為勢函數(shù)。,,積分上式得： C(t)為積分常數(shù)，僅與時間有關(guān)，同一時刻取同一常數(shù)值，這就是拉格朗日積分。 當(dāng)流體為理想、均質(zhì)不可壓、質(zhì)量力僅為重力、無旋且定常時，拉格朗日積分改寫成：,二、拉格朗日積分應(yīng)用,旁管出流的不定常過程如圖示。旁管為等直徑的水平管，水箱很大，近似認(rèn)為出流不影響液面高度，水

6、平管內(nèi)的流動近似認(rèn)為一維流動。根據(jù)連續(xù)性方程，有：,根據(jù)無旋流動，有： 當(dāng)X=L時，勢函數(shù)在B點處對時間的偏導(dǎo)數(shù)為：,在同一時刻，A、B 兩點的關(guān)系：,積分得： 當(dāng)t=0時，u=0，C=1。因此：,當(dāng) 時， 例2：已知不可壓縮流體作平面勢流流動，在X方向上的速度分量為ux =yt-x ，且在xyo處，ux=uy=0，pp0。試求to時流場的壓力分布。,解：流體為不可壓縮流體，根據(jù)質(zhì)量守恒方程，有： 根據(jù)勢流流動條件，有：,由于xyo處ux=uy=0條件，得C1(t)=0，所以 。求勢數(shù)：,所以: 由拉格朗日積分得：,當(dāng)xyo處，ux=uy=0，pp0。故：,當(dāng)to時，有：,5.4

7、 動量守恒方程及其應(yīng)用,一、動量守恒方程 根據(jù)動量守恒原理，動量對時間的變化率等于在流體質(zhì)點受到的作用力。因此，對控制體系統(tǒng)內(nèi)任一質(zhì)點的受到的作用力求和可表示為：,其中：,因此，動量定理可以寫成下列表達(dá)式：,上式就是動量守恒方程。動量守恒方程在直角坐標(biāo)系下，有：,二、動量守恒方程的應(yīng)用,當(dāng)動量守恒方程應(yīng)用于流管時，動量守恒方程右邊第一項的存在阻礙了應(yīng)用動量方程的積分。因為要求右邊第一項的積分，必須知道V內(nèi)的各點的詳細(xì)流動狀況。這就是為什么在不定常運動時通常不應(yīng)用動量方程的原因。當(dāng)定常時，上式變?yōu)椋?對于流管（如圖示），除流管兩端面dQ不為零外，其余為零。流管外的流體對流管的作用力：,常用過流

8、截面上平均速度代替u，這時： 在三個坐標(biāo)上的分量為：,對不可壓縮均質(zhì)流體，Q2=Q1=Q，2=1=。則：,,例1：在水平平面上的450彎管（如圖示），入口直徑為d1=600mm，出口直徑為d2=300mm，入口表壓強p1=1.4bar，出口表壓強p2=0，流量Q=0.425m3/s，不考慮摩擦，試求液體對彎管的作用力。,解：首先求液體受到的作用力。,設(shè)管壁對液體的作用力為F，則： 根據(jù)作用力與反作用力關(guān)系，可求出液體對管壁的作用力。,例2： 水從水頭為h1大容器通過小孔流出(大容器的水位可以認(rèn)為是不變的)，射流沖擊在一塊大平板上，它蓋住了第二個大容器的小孔，該容器水平面到小孔的距離

9、為h2 ，設(shè)兩個小孔的面積都一樣。若h2給定，求射流作用在平板上的力剛好與板后的力平衡時h1為多少？,例3：水平面上自由射流與平板相遇，如圖所示。已知射流速度V1=20m/s，總流量Q1=24L/s及Q2=8L/s ，=1000kg/m3，不計水的粘性，并假定流動定常，在足夠遠(yuǎn)處V2和V3均勻。求Q3、V2、V3和；平板上所受到的力。,例4： 如圖所示，水從3m寬的矩形水渠閥門流下，流量為13m3s，閘門前后的水位分別為2m和lm。試求作用在閘門上的力，并指出在閘門上的壓力分布是否符合靜壓分布規(guī)律。,5.5 動量矩定理及其應(yīng)用,一、動量矩方程 動量對某一參照點的矩稱為動量矩。因此，對控制體系

10、統(tǒng)內(nèi)任一點的動量對某一參照點的矩求和可表示為：,同動量方程的原因一樣，動量矩方程只用于定常流動，這時上式變?yōu)椋?對于流管（如圖示），除兩過流截面有流體流入和流出外，無流體穿過流管表面。故流管內(nèi)的動量矩可表示為：,常用平均速度代替u，這時： 當(dāng)為不可壓縮流體時，Q2=Q1=Q，2=1=。則,二、動量矩方程的應(yīng)用 例1：離心泵葉輪如圖示，研究其進(jìn)出口的動量矩。 解：進(jìn)出口的過流斷面為園弧面，其法向線為徑向。 1）作進(jìn)出口速度三角形,進(jìn)出口子午面流速： ， 。其中 ， 。 圓周速度： ， 2）求絕對速度C1和C2,3）根據(jù)動量矩方程，有： 對于不可壓縮流體，1=2= ，Q1=Q2=Q。故：,理論輸出功率： 理論壓頭：,例2： 噴水器如圖所示，每個噴咀的流量為0.01m3/s，若不計摩擦阻力，求旋臂的轉(zhuǎn)動速率。,解：噴口相對旋臂的速度： 兩出口流體對旋轉(zhuǎn)中心的力矩分別為M1和M2，根據(jù)動量矩方程得：,當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到最大值時，有：,例3：如圖所示，軸流風(fēng)扇以1200 rmin運轉(zhuǎn)，葉尖直徑為1.1m，葉轂直徑為0.8m，葉片進(jìn)口和出口角分別為300和600，絕對速度的進(jìn)口角為300。若流體通過轉(zhuǎn)子軸向速度無變化，并應(yīng)用葉片平均直徑處的特性進(jìn)行計算，試求：(1)進(jìn)、出口速度三角形； (2)轉(zhuǎn)子葉片形狀；(3)體積流量；(4)轉(zhuǎn)子力矩；(5)所需功率。,