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1、2020/9/17,1,4-1 對流換熱概述 4-2 層流流動(dòng)換熱的微分方程組 4-3 對流換熱過程的相似理論 4-4 邊界層理論 4-5 紊流流動(dòng)換熱,第四章 對流換熱原理,2020/9/17,2,4-1 對流換熱概述,1 對流換熱過程,對流換熱定義：流體和與之接觸的固體壁面之間的熱量傳遞過程，是宏觀的熱對流與微觀的熱傳導(dǎo)的綜合傳熱過程。 對流換熱與熱對流不同，既有熱對流，也有導(dǎo)熱；不是基本傳熱方式 對流換熱實(shí)例：1) 暖氣管道; 2) 電子器件冷卻,2020/9/17,3,對流換熱的特點(diǎn)： (1) 導(dǎo)熱與熱對流同時(shí)存在的復(fù)雜熱傳遞過程 (2) 必須有直接接觸（流體與壁面）和宏觀運(yùn)動(dòng)；也必須

2、有溫差 特征：以簡單的對流換熱過程為例，對對流換熱過程的特征進(jìn)行粗略的分析。,2020/9/17,4,圖表示一個(gè)簡單的對流換熱過程。流體以來流速度u和來流溫度t流過一個(gè)溫度為tw的固體壁面。選取流體沿壁面流動(dòng)的方向?yàn)閤坐標(biāo)、垂直壁面方向?yàn)閥坐標(biāo)。,,,,,,,,2020/9/17,5,壁面對流體分子的吸附作用，使得壁面上的流體是處于不滑移的狀態(tài)（此論點(diǎn)對于極為稀薄的流體是不適用的）。,又由于粘性力的作用，使流體速度在垂直于壁面的方向上發(fā)生改變。流體速度從壁面上的零速度值逐步變化到來流的速度值。,同時(shí)，通過固體壁面的熱流也會(huì)在流體分子的作用下向流體擴(kuò)散(熱傳導(dǎo))，并不斷地被流體的流動(dòng)而帶到下游（

3、熱對流），也導(dǎo)致緊靠壁面處的流體溫度逐步從壁面溫度變化到來流溫度。,2020/9/17,6,2 對流換熱的分類,對流換熱：導(dǎo)熱 + 熱對流；壁面+流動(dòng) 流動(dòng)起因 自然對流：流體因各部分溫度不同而引起的密度差異所產(chǎn)生的流動(dòng)（Free convection） 強(qiáng)制對流：由外力（如：泵、風(fēng)機(jī)、水壓頭）作用所產(chǎn)生的流動(dòng)（Forced convection）,2020/9/17,7, 流動(dòng)狀態(tài) 層流：整個(gè)流場呈一簇互相平行的流線（Laminar flow） 湍流：流體質(zhì)點(diǎn)做復(fù)雜無規(guī)則的運(yùn)動(dòng) （Turbulent flow）,紊流流動(dòng)極為普遍 自然現(xiàn)象：收獲季節(jié)的麥浪滾滾，旗幟在微風(fēng)中輕輕飄揚(yáng)，以及裊裊炊

4、煙都是由空氣的紊流引起的。,,2020/9/17,8,2020/9/17,9, 流體有無相變 單相換熱 相變換熱：凝結(jié)、沸騰、升華、凝固、融化 流體運(yùn)動(dòng)是否與時(shí)間相關(guān) 非穩(wěn)態(tài)對流換熱：與時(shí)間有關(guān) 穩(wěn)態(tài)對流換熱：與時(shí)間無關(guān),2020/9/17,10, 流體與固體壁面的接觸方式,內(nèi)部流動(dòng)對流換熱：管內(nèi)或槽內(nèi) 外部流動(dòng)對流換熱：外掠平板、圓管、管束,2020/9/17,11,2020/9/17,12,3 對流換熱系數(shù)與對流換熱微分方程,當(dāng)流體與壁面溫度相差1時(shí)、每單位壁面面積上、單位時(shí)間內(nèi)所傳遞的熱量.,對流換熱系數(shù)(表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)),確定h及增強(qiáng)換熱的措施是對流換熱的核心問題,2020/9/17,

5、13, 對流換熱過程微分方程式,壁面上的流體分子層由于受到固體壁面的吸附是處于不滑移的狀態(tài)，其流速應(yīng)為零，那么通過它的熱流量只能依靠導(dǎo)熱的方式傳遞。,由傅里葉定律,通過壁面流體層傳導(dǎo)的熱流量最終是以對流換熱的方式傳遞到流體中,2020/9/17,14,或,對流換熱過程微分方程式,h 取決于流體熱導(dǎo)率、溫度差和貼壁流體的溫度梯度 溫度梯度或溫度場與流速、流態(tài)、流動(dòng)起因、換熱面的幾何因素、流體物性均有關(guān)。 速度場和溫度場由對流換熱微分方程組確定：連續(xù)性方程、動(dòng)量方程、能量方程,2020/9/17,15,4-2 層流流動(dòng)換熱的微分方程組,為便于分析，只限于分析二維對流換熱,假設(shè)：a) 流體為不可壓縮

6、的牛頓型流體，（即：服從牛頓粘性定律的流體；而油漆、泥漿等不遵守該定律，稱非牛頓型流體）,b) 所有物性參數(shù)（、cp、、）為常量,2020/9/17,16,4個(gè)未知量：速度 u、v；溫度 t；壓力 p 需要4個(gè)方程: 連續(xù)性方程（1）; 動(dòng)量方程（2）;能量方程（1）,1 連續(xù)性方程,流體的連續(xù)流動(dòng)遵循質(zhì)量守恒規(guī)律。,從流場中 (x, y) 處取出邊長為 dx、dy 的微元體，并設(shè)定x方向的流體流速為u，而y方向上的流體流速為v 。 M 為質(zhì)量流量 kg/s,2020/9/17,17,,單位時(shí)間內(nèi)流入微元體的凈質(zhì)量 = 微元體內(nèi)流體質(zhì)量的變化。,單位時(shí)間內(nèi)、沿x軸方向流入微元體的凈質(zhì)量：,,2

7、020/9/17,18,單位時(shí)間內(nèi)、沿y軸方向流入微元體的凈質(zhì)量：,單位時(shí)間內(nèi)微元體內(nèi)流體質(zhì)量的變化:,2020/9/17,19,單位時(shí)間：流入微元體的凈質(zhì)量 = 微元體內(nèi)流體質(zhì)量的變化,連續(xù)性方程：,對于二維、穩(wěn)定、常物性流場 ：,2020/9/17,20,2 動(dòng)量微分方程,作用力 = 動(dòng)量變化率 F=d(mc)/d,動(dòng)量微分方程式描述流體速度場動(dòng)量守恒,動(dòng)量微分方程是納維埃和斯托克斯分別于1827和1845年推導(dǎo)的。 Navier-Stokes方程（N-S方程）,牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律：作用在微元體上各外力的總和等于控制體中流體動(dòng)量的變化率,控制體中流體動(dòng)量的變化率,2020/9/17,21,從

8、x方向進(jìn)入元體質(zhì)量流量在x方向上的動(dòng)量 ：,從x方向流出元體的質(zhì)量流量在x方向上的動(dòng)量,從y方向進(jìn)入元體的質(zhì)量流量在x方向上的動(dòng)量為 ：,從y方向流出元體的質(zhì)量流量在x方向上的動(dòng)量：,,,,,2020/9/17,22,x方向上的動(dòng)量改變量 ：,化簡過程中利用了連續(xù)性方程和忽略了高階小量。,同理，導(dǎo)出y方向上的動(dòng)量改變量 ：,作用于微元體上的外力,作用力：體積力、表面力,2020/9/17,23,體積力：重力、離心力、電磁力,設(shè)定單位體積流體的體積力為F，相應(yīng)在x和y方向上的分量分別為Fx和Fy。,在x方向上作用于微元體的體積力： 在y方向上作用于微元體的體積力：,表面力:作用于微元體表面上的力

9、。 通常用作用于單位表面積上的力來表示，稱之為應(yīng)力。包括粘性引起的切向應(yīng)力和法向應(yīng)力、壓力等。 法向應(yīng)力 中包括了壓力 p 和法向粘性應(yīng)力 。,2020/9/17,24,在物理空間中面矢量和力矢量各自有三個(gè)相互獨(dú)立的分量（方向），因而對應(yīng)組合可構(gòu)成應(yīng)力張量的九個(gè)分量。于是應(yīng)力張量可表示為,式中 為應(yīng)力張量，下標(biāo)i表示作用面的方向，下標(biāo)j則表示作用力的方向,通常將作用力和作用面方向一致的應(yīng)力分量稱為正應(yīng)力，而不一致的稱為切應(yīng)力。,2020/9/17,25,對于我們討論的二維流場應(yīng)力只剩下四個(gè)分量，記為,x為x方向上的正應(yīng)力（力與面方向一致）； y為y方向上的正應(yīng)力（力與面方向一致）

10、； xy為作用于x表面上的y方向上的切應(yīng)力； yx為作用于y表面上的x方向上的切應(yīng)力。,2020/9/17,26,作用在x方向上表面力的凈值為 :,作用在y方向上表面力的凈值為,斯托克斯提出了歸納速度變形率與應(yīng)力之間的關(guān)系的黏性定律,2020/9/17,27,得出作用在微元體上表面力的凈值表達(dá)式：,x方向上,y方向上,動(dòng)量微分方程式,在x方向上,y方向上,2020/9/17,28,對于穩(wěn)態(tài)流動(dòng)：,只有重力場時(shí)：,3 能量微分方程,能量微分方程式描述流體溫度場能量守恒,導(dǎo)入與導(dǎo)出的凈熱量 + 熱對流傳遞的凈熱量 +內(nèi)熱源發(fā)熱量 = 總能量的增量 + 對外作膨脹功,2020/9/17,29,Q =

11、 E + W,,2020/9/17,30,Q = E + W,,,2020/9/17,31,Q導(dǎo)熱 + Q對流 = U熱力學(xué)能 + 推動(dòng)功 = H,耗散熱（ ）：由表面粘性應(yīng)力產(chǎn)生的摩擦力而轉(zhuǎn)變成的熱量。,對于二維不可壓縮常物性流體流場而言，微元體的能量平衡關(guān)系式為：,Q1為以傳導(dǎo)方式進(jìn)入元體的凈的熱流量； Q2為以對流方式進(jìn)入元體的凈的熱流量； Q3為元體粘性耗散功率變成的熱流量； H為元體的焓隨時(shí)間的變化率。,2020/9/17,32,以傳導(dǎo)方式進(jìn)入元體的凈熱流量,單位時(shí)間沿x軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量：,單位時(shí)間沿y軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量：,2020/9/17,33,以對流方式進(jìn)

12、入元體的凈熱流量,單位時(shí)間沿 x 方向熱對流傳遞到微元體凈熱量,單位時(shí)間沿y 方向熱對流傳遞到微元體的凈熱量：,2020/9/17,34,元體粘性耗散功率變成的熱流量,單位時(shí)間內(nèi)、微元體內(nèi)焓的增量：,2020/9/17,35,能量微分方程,2020/9/17,36,4層流流動(dòng)對流換熱微分方程組,（常物性、無內(nèi)熱源、二維、不可壓縮牛頓流體）,4個(gè)方程，4個(gè)未知量 ， 可求速度場和溫度場,2020/9/17,37,再引入換熱微分方程 (n為壁面的法線方向坐標(biāo))，最后可以求出流體與固體壁面之間的對流換熱系數(shù)，從而解決給定的對流換熱問題。,5 求解對流換熱問題的途徑,分析求解。 實(shí)驗(yàn)研究。

13、 數(shù)值求解。,6 對流換熱單值性條件,2020/9/17,38,單值性條件：能單值反映對流換熱過程特點(diǎn)的條件 完整數(shù)學(xué)描述：對流換熱微分方程組 + 單值性條件 單值性條件包括：幾何、物理、時(shí)間、邊界, 幾何條件：說明對流換熱過程中的幾何形狀和大小，平板、圓管；豎直圓管、水平圓管；長度、直徑等 物理?xiàng)l件：說明對流換熱過程物理特征，如：物性參數(shù) 、 、c 和 的數(shù)值，是否隨溫度 和壓力變化；有無內(nèi)熱源、大小和分布,2020/9/17,39,時(shí)間條件：說明在時(shí)間上對流換熱過程的特點(diǎn)，穩(wěn)態(tài)對流換熱過程不需要時(shí)間條件 與時(shí)間無關(guān) 邊界條件：說明對流換熱過程的邊界特點(diǎn)，邊界條件可分為二類：第一類、第二類邊

14、界條件 （1）第一類邊界條件：已知任一瞬間對流換熱過程邊界上的溫度值 （2）第二類邊界條件：已知任一瞬間對流換熱過程邊界上的熱流密度值,2020/9/17,40,4-3 對流換熱過程的相似理論,由于對流換熱是復(fù)雜的熱量交換過程，所涉及的變量參數(shù)比較多，常常給分析求解和實(shí)驗(yàn)研究帶來困難。 人們常采用相似原則對換熱過程的參數(shù)進(jìn)行歸類處理，將物性量，幾何量和過程量按物理過程的特征組合成無量綱的數(shù)，這些數(shù)常稱為準(zhǔn)則,2020/9/17,41,1 無量綱形式的對流換熱微分方程組,首先選取對流換熱過程中有關(guān)變量的特征值，將所有變量無量綱化，進(jìn)而導(dǎo)出無量綱形式的對流換熱微分方程組。 出現(xiàn)在無量綱方程組中的系

15、數(shù)項(xiàng)就是我們所需要無量綱數(shù)（或稱：無因次數(shù)），也就是無量綱準(zhǔn)則，它們是變量特征值和物性量的某種組合。 流場中的任一無量綱變量均可表示為其余無量綱變量和無量綱準(zhǔn)則的函數(shù)形式。,2020/9/17,42,以流體流過平板的對流換熱問題為例來進(jìn)行換熱過程的相似分析。,流體平行流過平板的對流換熱過程如圖所示，來流速度為u，來流溫度t，平板長度L, 平板溫度tW ，流體流過平板的壓力降為 p。,如果為二維、穩(wěn)態(tài)、流體物性為常數(shù)，且忽略黏性耗散項(xiàng)和體積力項(xiàng)，按圖中所示的坐標(biāo)流場的支配方程為,2020/9/17,43,2020/9/17,44,今選取板長L，來流流速u，溫度差t=tw-t 和壓力降 p=pin

16、-pout為變量的特征值,用這些無量綱變量去取代方程組中的相應(yīng)變量，可得出無量綱變量組成的方程組。,2020/9/17,45,2020/9/17,46,2020/9/17,47,對方程整理，可以得到無量綱化的方程組。,2020/9/17,48,2 無量綱準(zhǔn)則的表達(dá)式和物理意義,定義為歐拉數(shù)（Euler），它反映了流場壓力降與其動(dòng)壓頭之間的相對關(guān)系，體現(xiàn)了在流動(dòng)過程中動(dòng)量損失率的相對大小。,2020/9/17,49,稱為雷諾數(shù)，表征了給定流場的慣性力與其黏性力的對比關(guān)系，也就是反映了這兩種力的相對大小。,利用雷諾數(shù)可以判別一個(gè)給定流場的穩(wěn)定性，隨著慣性力的增大和黏性力的相對減小，雷諾數(shù)就會(huì)增大，

17、而大到一定程度流場就會(huì)失去穩(wěn)定，而使流動(dòng)從層流變?yōu)槲闪鳌?2020/9/17,50,稱為貝克萊（Peclet）準(zhǔn)則，記為Pe，它反映了給定流場的熱對流能力與其熱傳導(dǎo)能力的對比關(guān)系。它在能量微分方程中的作用相當(dāng)于雷諾數(shù)在動(dòng)量微分方程中的作用。,其中 :,稱為普朗特（Prandtl）數(shù)，它反映了流體的動(dòng)量擴(kuò)散能力與其熱擴(kuò)散能力的對比關(guān)系。,2020/9/17,51,努塞爾（Nusselt）準(zhǔn)則，它反映了給定流場的換熱能力與其導(dǎo)熱能力的對比關(guān)系。這是一個(gè)在對流換熱計(jì)算中必須要加以確定的準(zhǔn)則。,斯坦頓（Stanton）數(shù)，修正的努塞爾數(shù)，流體實(shí)際的換熱熱流密度與可傳遞之最大熱流密度之比。,2020/9

18、/17,52,努謝爾特準(zhǔn)則與非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱分析中的畢歐數(shù)形式上是相似的。 但是，Nu中的Lf為流場的特征尺寸，f為流體的導(dǎo)熱系數(shù)；,而Bi中的Ls為固體系統(tǒng)的特征尺寸，s為固體的導(dǎo)熱系數(shù)。 它們雖然都表示邊界上的無量綱溫度梯度，但一個(gè)在流體側(cè)一個(gè)在固體側(cè)。,2020/9/17,53,在運(yùn)用相似理論時(shí)，應(yīng)該注意：只有屬于同一類型的物理現(xiàn)象才有相似的可能性，也才能談相似問題。 所謂同類現(xiàn)象，就是指用相同形式和內(nèi)容的微分方程（控制方程+單值性條件方程）所描述的現(xiàn)象。 電場與溫度場： 微分方程相同；內(nèi)容不同 強(qiáng)制對流換熱與自然對流換熱：微分方程的形式和內(nèi)容都有差異 外掠平板和外掠圓管：控制方程相同；單值性

19、條件不同,2020/9/17,54,,判斷兩個(gè)現(xiàn)象是否相似的條件：凡同類現(xiàn)象、單值性條件相似、同名已定特征數(shù)相等，那么現(xiàn)象必定相似。據(jù)此，如果兩個(gè)現(xiàn)象彼此相似，它們的同名準(zhǔn)則數(shù)必然相等。,2020/9/17,55,3 無量綱方程組的解及換熱準(zhǔn)則關(guān)系式,2020/9/17,56,從上式不難看出，在計(jì)算幾何形狀相似的流動(dòng)換熱問題時(shí)，如果只是求取其平均的換熱性能，就可以歸結(jié)為確定幾個(gè)準(zhǔn)則之間的某種函數(shù)關(guān)系，最后得出平均的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)和總體的換熱熱流量。 由于無量綱準(zhǔn)則是由過程量、幾何量和物性量組成的，從而使實(shí)驗(yàn)研究的變量數(shù)目顯著減少，這對減少實(shí)驗(yàn)工作量和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理時(shí)間是至關(guān)重要的。,2020/9/

20、17,57,4 特征尺寸，特征流速和定性溫度,對流動(dòng)換熱微分方程組進(jìn)行無量綱化時(shí)，選定了對應(yīng)變量的特征值，然后進(jìn)行無量綱化的工作，這些特征參數(shù)是流場的代表性的數(shù)值，分別表征了流場的幾何特征、流動(dòng)特征和換熱特征。,特征尺寸，它反映了流場的幾何特征，對于不同的流場特征尺寸的選擇是不同的。如，對流體平行流過平板選擇沿流動(dòng)方向上的長度尺寸；管內(nèi)流體流動(dòng)選擇垂直于流動(dòng)方向的管內(nèi)直徑；對于流體繞流圓柱體流動(dòng)選擇流動(dòng)方向上的圓柱體外直徑。,2020/9/17,58,特征流速，它反映了流體流場的流動(dòng)特征。不同的流場其流動(dòng)特征不同，所選擇的特征流速是不同的。 如，流體流過平板，來流速度被選擇為特征尺寸； 流體管

21、內(nèi)流動(dòng)，管子截面上的平均流速可作為特征流速； 流體繞流圓柱體流動(dòng)，來流速度可選擇為特征流速。,2020/9/17,59,定性溫度，無量綱準(zhǔn)則中的物性量是溫度的函數(shù)，確定物性量數(shù)值的溫度稱為定性溫度。對于不同的流場定性溫度的選擇是不同的。 外部流動(dòng)常選擇來流流體溫度和固體壁面溫度的算術(shù)平均值，稱為膜溫度； 內(nèi)部流動(dòng)常選擇管內(nèi)流體進(jìn)出口溫度的平均值（算術(shù)平均值或?qū)?shù)平均值），當(dāng)然也有例外。,2020/9/17,60,由于對流換熱問題的復(fù)雜性，實(shí)驗(yàn)研究是解決換熱問題的主要方法。 在工程上大量使用的對流換熱準(zhǔn)則關(guān)系式都是通過實(shí)驗(yàn)獲得的。,我們從無量綱微分方程組推出了一般化的準(zhǔn)則關(guān)系式 。但這是一個(gè)

22、原則性的式子，要得到某種類型的對流換熱問題在給定范圍內(nèi)的具體的準(zhǔn)則關(guān)系式，在多數(shù)情況下還必須通過實(shí)驗(yàn)的辦法來確定。,5 對流換熱準(zhǔn)則關(guān)系式的實(shí)驗(yàn)獲取方法,2020/9/17,61,圖中給出了平板在風(fēng)洞中進(jìn)行換熱實(shí)驗(yàn)的示意圖。,為了得出該換熱問題的準(zhǔn)則關(guān)系式，必須測量的物理量有：流體來流速度u,來流溫度t,平板表面溫度tw,平板的長度L和寬度B，以及平板的加熱量Q（通過測量電加熱器的電流I和電壓V而得出）。,可由 得到,必須在不同的工況下獲得不同的換熱系數(shù)值 。,2020/9/17,62,如果認(rèn)為準(zhǔn)則關(guān)系式有 這樣的形式。這是一種先驗(yàn)的處理辦法，但是，這給擬合準(zhǔn)則

23、關(guān)系式帶來較大的方便。 最小二乘法是常用的線性擬合方法 。 采用幾何作圖的方法亦可以求解 。,2020/9/17,63,對于幾何結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的對流換熱過程，特征尺寸無法從已知的幾何尺度中選取，通常的做法是采用當(dāng)量尺寸。如異型管槽內(nèi)的流動(dòng)換熱，其當(dāng)量直徑定義為,式中f為流體流通面積；P為流體的潤濕周邊。,2020/9/17,64,2020/9/17,65,2020/9/17,66,4-4 邊界層（Boundary layer）理論,邊界層的概念是1904年德國科學(xué)家普朗特提出的。,1 邊界層定義 速度邊界層 (a) 定義,流體流過固體壁面時(shí)，由于壁面層流體分子的不滑移特性，在流體黏性力的作用下，

24、近壁流體流速在垂直于壁面的方向上會(huì)從壁面處的零速度逐步變化到來流速度。,2020/9/17,67,垂直于壁面的方向上流體流速發(fā)生顯著變化的流體薄層定義為速度邊界層。,普朗特通過觀察發(fā)現(xiàn)，對于低黏度的流體，如水和空氣等，在以較大的流速流過固體壁面時(shí)，在壁面上流體速度發(fā)生顯著變化的流體層是非常薄的。,2020/9/17,68,流體流過固體壁面的流場就人為地分成兩個(gè)不同的區(qū)域。,其一是邊界層流動(dòng)區(qū)，這里流體的黏性力與流體的慣性力共同作用，引起流體速度發(fā)生顯著變化； 其二是勢流區(qū)，這里流體黏性力的作用非常微弱，可視為無黏性的理想流體流動(dòng)，也就是勢流流動(dòng)。,2020/9/17,69,(b)邊界層的厚度,

25、當(dāng)速度變化達(dá)到 時(shí)的空間位置為速度邊界層的外邊緣，那么從這一點(diǎn)到壁面的距離就是邊界層的厚度,?。嚎諝馔饴悠桨澹?u=10m/s：,熱（溫度）邊界層 (a) 定義,當(dāng)流體流過平板而平板的溫度tw與來流流體的溫度t不相等時(shí)，在壁面上方也能形成溫度發(fā)生顯著變化的薄層，常稱為熱邊界層。,2020/9/17,70,(b)熱邊界層厚度,當(dāng)壁面與流體之間的溫差達(dá)到壁面與來流流體之間的溫差的0.99倍時(shí)，即 ，此位置就是邊界層的外邊緣，而該點(diǎn)到壁面之間的距離則是熱邊界層的厚度,記為,層流：溫度呈拋物線分布 湍流：溫度呈冪函數(shù)分布,湍流邊界層貼壁處溫度梯度明顯大,湍流換熱比層流換熱強(qiáng)！,202

26、0/9/17,71,2 邊界層微分方程組,引入邊界層概念可使換熱微分方程組得以簡化,數(shù)量級(jí)分析order of magnitude ：比較方程中各量或各項(xiàng)的量級(jí)的相對大?。槐Ａ袅考?jí)較大的量或項(xiàng)；舍去那些量級(jí)小的項(xiàng)，方程大大簡化,無量綱形式的微分方程組對于流體平行流過平板形成的邊界層流動(dòng)換熱問題也是同樣適用的。,2020/9/17,72,2020/9/17,73,5個(gè)基本量的數(shù)量級(jí)：,主流速度：,溫度：,壁面特征長度：,邊界層厚度：,x與L相當(dāng)，即：,0(1)、0()表示數(shù)量級(jí)為1和 ，1 。 “” 相當(dāng)于,2020/9/17,74,u沿邊界層厚度由0到u:,主流方向上的無量綱速度 的數(shù)量

27、級(jí)為1,由連續(xù)性方程 :,可以得出v的數(shù)量級(jí)為,2020/9/17,75,x方向上的動(dòng)量方程變?yōu)椋?2020/9/17,76,,,2020/9/17,77,這就使得動(dòng)量方程和能量方程變成了拋物型的非線性微分方程；,微分方程組經(jīng)過在邊界層中簡化后，由于動(dòng)量方程和能量方程分別略去了主流方向上的動(dòng)量擴(kuò)散項(xiàng)和熱量擴(kuò)散項(xiàng)，從而構(gòu)成上游影響下游而下游不影響上游的物理特征。,2020/9/17,78,由于動(dòng)量方程由兩個(gè)變成為一個(gè)，而且 項(xiàng)可在邊界層的外邊緣上利用伯努利方程求解，于是方程組在給定的邊值條件下可以進(jìn)行分析求解，所得結(jié)果為邊界層的精確解。 對于外掠平板的層流流動(dòng)，主流場速度是均速u ，溫度是均溫t

28、 ；并假定平板為恒溫tw。,注意：層流,2020/9/17,79,比較邊界層無量綱的動(dòng)量方程和能量方程：,在忽略動(dòng)量方程壓力項(xiàng)后，溫度邊界層的厚度與速度邊界層的厚度的相對大小則取決于普朗特?cái)?shù)的大小。 當(dāng)Pr=1時(shí)，動(dòng)量方程與能量方程完全相同。即速度分布的解與溫度分布完全相同，此時(shí)速度邊界層厚度等于溫度邊界層厚度。,2020/9/17,80,當(dāng)Pr1時(shí)，Pr= ，a，粘性擴(kuò)散 熱量擴(kuò)散，速度邊界層厚度溫度邊界層厚度。,當(dāng)Pr<1時(shí)，Pr=/a，

29、921年，馮卡門提出了邊界層動(dòng)量積分方程。 1936年，克魯齊林求解了邊界層能量積分方程。所得的結(jié)果稱為邊界層問題的近似解 。 邊界層積分方程一般可由兩種方法獲得：其一是將動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律應(yīng)用于控制體；其二是對邊界層微分方程直接進(jìn)行積分。,2020/9/17,82,對一固定x，將能量方程從y = 0到y(tǒng) = 積分得：,采用對微分方程積分得到積分方程 能量方程為：,2020/9/17,83,由分部積分：,2020/9/17,84,將v轉(zhuǎn)化為u，利用,,,2020/9/17,85,式中的擴(kuò)散項(xiàng)為：,代入(b)式得：,上式左邊可進(jìn)一步簡化為：,最后能量積分方程為：,2020/9/17,86

30、,邊界層積分方程組求解示例,作為邊界層積分方程組求解的示例，仍以穩(wěn)態(tài)常物性流體強(qiáng)制掠過平板層流時(shí)的換熱作為討論對象。 壁面具有定壁溫的邊界條件。,在常物性條件下。動(dòng)量積分方程不受溫度場的影響，可先單獨(dú)求解，解出層流邊界層厚度及摩擦系數(shù)，然后求解能量積分方程，解出熱邊界層厚度及換熱系數(shù)。 求解流動(dòng)邊界層厚度及摩擦系數(shù),2020/9/17,87,在本問題中，u為常數(shù)，動(dòng)量積分方程式（1）左邊的第二項(xiàng)為0。再引入 ，式（1）為,為求解上式，還需補(bǔ)充邊界層速度分布函數(shù)u=f(y)。選用以下有4個(gè)任意常數(shù)的多項(xiàng)式作為速度分布的表達(dá)式:,2020/9/17,88,式中，4個(gè)待定常數(shù)由邊界條件及邊

31、界層特性的推論確定，即,由此求得4個(gè)待定常數(shù)為,于是速度分布表達(dá)式為,2020/9/17,89,積分得,分離變量，注意到x=0時(shí)=0，得,無量綱表達(dá)式為,其中Rex= ux/,其特性尺度為離平板前緣的距離x。,在x處的壁面局部切應(yīng)力,2020/9/17,90,要使邊界層的厚度遠(yuǎn)小于流動(dòng)方向上的尺度（即 ），也就是所說的邊界層是一個(gè)薄層，這就要求雷諾數(shù)必須足夠的大,因此，對于流體流過平板，滿足邊界層假設(shè)的條件就是雷諾數(shù)足夠大。 由此也就知道，當(dāng)速度很小、黏性很大時(shí)或在平板的前沿，邊界層是難以滿足薄層性條件。,2020/9/17,91,隨著x的增大，（x）也逐步增大，同時(shí)黏性力對流場的控制

32、作用也逐步減弱，從而使邊界層內(nèi)的流動(dòng)變得紊亂。,把邊界層從層流過渡到紊流的x值稱為臨界值，記為xc，其所對應(yīng)的雷諾數(shù)稱為臨界雷諾數(shù)，即,2020/9/17,92,流體平行流過平板的臨界雷諾數(shù)大約是,2020/9/17,93,求解熱邊界層厚度及換熱系數(shù),先求解熱邊界層厚度。為從式（2）求解熱邊界層厚度，除u=f(y)已由式（4）確定外，還需要補(bǔ)充熱邊界層內(nèi)的溫度分布函數(shù)t=f(y)。對此，亦選用帶4個(gè)常數(shù)的多項(xiàng)式：,2020/9/17,94,式中，4個(gè)待定常數(shù)由邊界條件及熱邊界層特性的推論確定，即,y=0時(shí) t=tw且,y=時(shí)t= t且,由此求得4個(gè)待定常數(shù)為,g=0,若用以tw為基準(zhǔn)點(diǎn)的過余溫

33、度=t-tw來表達(dá)，則溫度分布表達(dá)式為,e=tw,2020/9/17,95,能量積分方程式（2）用過余溫度表示為,進(jìn)一步求解中，令熱邊界層厚度與流動(dòng)邊界層厚度之比t/=，并假定1的流體顯然是適用的。,最后得到：,2020/9/17,96,在同一位置上熱邊界層厚度與速度邊界層厚度的相對大小與流體的普朗特?cái)?shù)Pr有關(guān)，也就是與流體的熱擴(kuò)散特性和動(dòng)量擴(kuò)散特性的相對大小有關(guān)。,由此式可以看出，熱邊界層是否滿足薄層性的條件，除了Rex足夠大之外還取決于普朗特?cái)?shù)的大小，當(dāng)普朗特?cái)?shù)非常小時(shí)（Pr<<1）,熱邊界層相對于速度邊界層就很厚，反之則很薄。,2020/9/17,97,熱邊界層也會(huì)因?yàn)樗俣冗吔鐚訌膶恿鬓D(zhuǎn)

34、變?yōu)槲闪鞫霈F(xiàn)紊流熱傳遞狀態(tài)下的熱邊界層。 按照普朗特的假設(shè)，在紊流狀態(tài)下速度邊界層與熱邊界層具有相同的數(shù)量級(jí)，即,其次求解局部換熱系數(shù)hx,2020/9/17,98,其無量綱表達(dá)形式為 ：,最后求解平均換熱系數(shù)h,計(jì)算物性參數(shù)用的定性溫度為邊界層平均溫度,2020/9/17,99,例題4-2 溫度為30的空氣以0.5m/s的速度平行掠過長250mm、溫度為50的平板，試求出平板末端流動(dòng)邊界層和熱邊界層的厚度及空氣與單位寬度平板的換熱量。 解：,邊界層的平均溫度為,空氣40的物性參數(shù)分別為v=16.96x10-6m2/s , =2.76x102W/m.k, Pr=0.699,在離平板前沿250

35、mm處，雷諾數(shù)為,2020/9/17,100,邊界層為層流。流動(dòng)邊界層的厚度為,熱邊界層的厚度為,可見，空氣的熱邊界層比流動(dòng)邊界層略厚。,整個(gè)平板的平均表面?zhèn)鳠嵯禂?shù),2020/9/17,101,1m寬平板與空氣的換熱量為,2020/9/17,102,從前面不難發(fā)現(xiàn)，要使邊界層的厚度遠(yuǎn)小于流動(dòng)方向上的尺度（即 ），也就是所說的邊界層是一個(gè)薄層，這就要求雷諾數(shù)必須足夠的大（ ）。因此，對于流體流過平板，滿足邊界層假設(shè)的條件就是雷諾數(shù)足夠大。由此也就知道，當(dāng)速度很小、粘性很大時(shí)，或在平板的前沿，邊界層是難以滿足薄層性條件。,思考題1： 高粘度的油類流體，沿平板作低速流動(dòng)，該情況下邊界層理論是否仍然適用？,2020/9/17,103,思考題2：流體沿平板作層流流動(dòng)，熱邊界層理論在什么條件下適用？,由此式可以看出，熱邊界層是否滿足薄層性的條件，除了 足夠大之外，還取決于普朗特?cái)?shù)的大小，當(dāng)普朗特?cái)?shù)非常小時(shí)（ ），熱邊界層相對于速度邊界層就很厚，反之則很薄。,2020/9/17,104,第四章作業(yè),習(xí)題：4-2，4-3，4-14，4-15,