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1、第一節(jié) 集合及其運(yùn)算,第一章 集合及其基數(shù),集合論產(chǎn)生于十九世紀(jì)七十年代，它是德國數(shù)學(xué)家康托爾（Cantor）創(chuàng)立的，不僅是分析學(xué)的基礎(chǔ)，同時，它的一般思想已滲入到數(shù)學(xué)的所有部門?！凹险撚^點(diǎn)”與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展不可分割地聯(lián)系在一起。,集合，指的是具有某種特定性質(zhì)的對象的全體，通常用大寫英文字母A，B，X，Y等表示；集合中的每個對象稱為該集合的元素。一般說來，我們總用小寫字母a,b,x,y表示集合中的元素。,集合與元素的關(guān)系：屬于或不屬于.,集合的定義,對于集合A，某一對象x如果是A的元素，則稱x屬于A，如果x不是A的元素，則稱x不屬于A。 集合的表示方法： 1. 列舉法； 2.描述法；

2、,例如，A是由具有性質(zhì)P的元素全體組成時，記為： 其中P可以是一段文字，也可以是某個數(shù)學(xué)式子。,1.集合的子集 假設(shè)A,B是兩個集合，如果A中的元素都是B中的元素，則稱A是B的子集，記作 。顯然，空集是任何集合的子集，任何集合是其自身的子集。 如果A是B的子集，且存在 ，則稱A是B的真子集，記作 。 如果A是B的子集，B又是A的子集，則稱A與B相等，記作A=B。,集合的運(yùn)算,定理1 的充要條件是 且 .,2交運(yùn)算 交集： 所有既屬于A，又屬于B的元素組成的集合稱為A與B的交集，記作 . 若 則稱A與B互不相交，,定理2 若 ， ,則 .

3、,集合族： 設(shè) 是一集合，對于每一 都相應(yīng)地給定了一個集合 ， 這樣得到許多集合，它們的總體稱為集合族，記為 或 ，這里 稱為指標(biāo)集.,類似定義其交集，即,例1 若,則,,例2 若 是全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，,則,,一簇集合 ，可類似定義其并集，即,3. 并運(yùn)算,,例1 若,則,例2 若,則,例 3,,,定理3,（1）交換律,（2）結(jié)合律,（3）分配律,（4）冪等律,定理4,（1）,（2） 若,（3） 若,（4）,(5),證明 （2）由并集的定義，若,則存在,而,從而 故,（5）若,由交的定義，,再由并的定義可知存在,于是,從而,所以,再證,略,(6),4

4、差運(yùn)算 由所有屬于A但不屬于B的元素組成的集合，稱為A減B的差集，記作A-B。即,注,特別地，若考慮的一切集合都是某一給定集合S的子集，集合A相對于S的余集稱為A的余集，簡記為,定理5,（1）,（2）,(3),(4),（其中S為全集）,簡記為Ac,定理6 De Morgan 公式,,,證明 （1） 若,設(shè),,,,,,反之，,當(dāng),,,,,域或代數(shù),對于一個給定的集合S，若F 是S的一族子集，它滿足下列條件,1）,2）,3）,則稱F是S的一些子集構(gòu)成的一個域或代數(shù).,,注,,2. 一串指的是可排序.,,故只需證明 確實(shí)是一個 域即可。,其次，,,集合序列的極限,1.序列的增減性,,,2.序列

5、的并和交,,,3.上極限和下極限,,,例1,證：對一切自然數(shù) ，顯然有 ，所以,因?yàn)閷θ我挥欣頂?shù) 其中 均為整數(shù)， 對任何 有 所以 這樣,定理8,,,,,,,,,,另一方面，,,,,,自己證,,,定理9,,證明,,,單減如何證？,上、下極限集,上極限集,例：設(shè)A2n=0,1 A2n+1=1,2; 則上極限集為0,2,下極限集,例：設(shè)A2n=0,1 A2n+1=1,2; 則上極限集為0,2, 下極限集為1,上極限集,單調(diào)增集列極限分析,當(dāng)An為單調(diào)增加集列時,單調(diào)減集列極限分析,當(dāng)An為單調(diào)減小集列時,例3,笛卡爾乘積,集合的特征函數(shù)(示性函數(shù)),設(shè)S是一非空集合，A是S的一個子集。,,,重要性質(zhì),,,,,