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1、34個(gè)小學(xué)奧數(shù)必考公式 1、和差倍問題： 和差問題 和倍問題 差倍問題 已知條件 幾個(gè)數(shù)的和與差 幾個(gè)數(shù)的和與倍數(shù) 幾個(gè)數(shù)的差與倍數(shù) 公式適用范圍 已知兩個(gè)數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系 公式 ①(和－差)2=較小數(shù) 較小數(shù)＋差=較大數(shù) 和－較小數(shù)=較大數(shù) ②(和＋差)2=較大數(shù) 較大數(shù)－差=較小數(shù) 和－較大數(shù)=較小數(shù) 和(倍數(shù)＋1)=小數(shù) 小數(shù)倍數(shù)=大數(shù) 和－小數(shù)=大數(shù) 差(倍數(shù)-1)=小數(shù) 小數(shù)倍數(shù)=大數(shù) 小數(shù)＋差=大數(shù) 關(guān)鍵問題 求出同一條件下的 和與差 和與倍數(shù) 差與倍數(shù) 2、年齡問題的三個(gè)基本特征： ①兩個(gè)人的

2、年齡差是不變的； ②兩個(gè)人的年齡是同時(shí)增加或者同時(shí)減少的； ③兩個(gè)人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的； 3、歸一問題的基本特點(diǎn)： 問題中有一個(gè)不變的量，一般是那個(gè)“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”……等詞語來表示。 關(guān)鍵問題： 根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量； 4、植樹問題： 基本類型 在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹 在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹 在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹 封閉曲線上植樹 基本公式 棵數(shù)=段數(shù)＋1 棵距段數(shù)=總長(zhǎng) 棵數(shù)=段數(shù)－1 棵距段數(shù)=總長(zhǎng) 棵數(shù)=段數(shù) 棵距段數(shù)=總長(zhǎng) 關(guān)

3、鍵問題 確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系 5、雞兔同籠問題： 基本概念： 雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設(shè)問題，就是把假設(shè)錯(cuò)的那部分置換出來； 基本思路： ①假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）： ②假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個(gè)差是多少； ③每個(gè)事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的原因； ④再根據(jù)這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。 基本公式： ①把所有雞假設(shè)成兔子：雞數(shù)＝（兔腳數(shù)總頭數(shù)－總腳數(shù)）（兔腳數(shù)－雞腳數(shù)） ②把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)＝（總腳數(shù)一雞腳數(shù)總頭數(shù)）（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)） 關(guān)鍵問題：找出總量的差與

4、單位量的差。 6、盈虧問題： 基本概念： 一定量的對(duì)象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對(duì)象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭俊? 基本思路： 先將兩種分配方案進(jìn)行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個(gè)關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對(duì)象的總量。 基本題型： ①一次有余數(shù)，另一次不足； 基本公式：總份數(shù)＝（余數(shù)＋不足數(shù)）兩次每份數(shù)的差 ②當(dāng)兩次都有余數(shù)； 基本公式：總份數(shù)＝（較大余數(shù)一較小余數(shù)）兩次每份數(shù)的差 ③當(dāng)兩次都不足； 基本公式：總份數(shù)＝（較大不足數(shù)一

5、較小不足數(shù)）兩次每份數(shù)的差 基本特點(diǎn)： 對(duì)象總量和總的組數(shù)是不變的。 關(guān)鍵問題： 確定對(duì)象總量和總的組數(shù)。 7、牛吃草問題： 基本思路： 假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長(zhǎng)速度和總草量。 基本特點(diǎn)： 原草量和新草生長(zhǎng)速度是不變的； 關(guān)鍵問題： 確定兩個(gè)不變的量。 基本公式： 生長(zhǎng)量=（較長(zhǎng)時(shí)間長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù)-較短時(shí)間短時(shí)間牛頭數(shù)）（長(zhǎng)時(shí)間-短時(shí)間）； 總草量=較長(zhǎng)時(shí)間長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù)-較長(zhǎng)時(shí)間生長(zhǎng)量； 8、周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律： 周期現(xiàn)象： 事物在運(yùn)動(dòng)

6、變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。 周期： 我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時(shí)間叫周期。 關(guān)鍵問題： 確定循環(huán)周期。 閏 年：一年有366天； ①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除； 平 年：一年有365天。 ①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除； 9、平均數(shù)： 基本公式： ①平均數(shù)=總數(shù)量總份數(shù) 總數(shù)量=平均數(shù)總份數(shù) 總份數(shù)=總數(shù)量平均數(shù) ②平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)＋每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和總份數(shù) 基本算法： ①求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式①進(jìn)行計(jì)算. ②基準(zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系

7、，確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均數(shù)；最后求這個(gè)差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見基本公式② 10、抽屜原理： 抽屜原則一： 如果把（n+1）個(gè)物體放在n個(gè)抽屜里，那么必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。 例：把4個(gè)物體放在3個(gè)抽屜里，也就是把4分解成三個(gè)整數(shù)的和，那么就有以下四種情況： ①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1 觀察上面四種放物體的方式，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特點(diǎn)：總有那么一個(gè)抽屜里有2個(gè)或多于2個(gè)物體，也就是

8、說必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。 抽屜原則二： 如果把n個(gè)物體放在m個(gè)抽屜里，其中n>m，那么必有一個(gè)抽屜至少有: ①k=[n/m ]+1個(gè)物體：當(dāng)n不能被m整除時(shí)。 ②k=n/m個(gè)物體：當(dāng)n能被m整除時(shí)。 理解知識(shí)點(diǎn)： [X]表示不超過X的最大整數(shù)。 例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2； 關(guān)鍵問題： 構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進(jìn)行運(yùn)算。 11、定義新運(yùn)算： 基本概念： 定義一種新的運(yùn)算符號(hào)，這個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)包含有多種基本（混合）運(yùn)算。 基本思路： 嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把

9、已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后按照基本運(yùn)算過程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。 關(guān)鍵問題： 正確理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義。 注意事項(xiàng)： ①新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。 ②每個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中使用。 12、數(shù)列求和： 等差數(shù)列： 在一列數(shù)中，任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。 基本概念： 首項(xiàng)：等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)，一般用a1表示； 項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用n表示； 公差：數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用d表示； 通項(xiàng)：表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的公式，一般用an表示； 數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的

10、和，一般用Sn表示． 基本思路： 等差數(shù)列中涉及五個(gè)量：a1 ,an, d, n,sn,,通項(xiàng)公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可求出第四個(gè)；求和公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可以求這第四個(gè)。 基本公式： 通項(xiàng)公式：an = a1+（n－1）d； 通項(xiàng)＝首項(xiàng)＋（項(xiàng)數(shù)一1)公差； 數(shù)列和公式：sn,= (a1+ an)n2； 數(shù)列和＝（首項(xiàng)＋末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)2； 項(xiàng)數(shù)公式：n= (an+ a1)d＋1； 項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）公差＋1； 公差公式：d =（an－a1））（n－1）； 公差=（末項(xiàng)－首項(xiàng)）（項(xiàng)數(shù)－1）； 關(guān)鍵問題： 確定已知量和未知量，確定

11、使用的公式； 13、二進(jìn)制及其應(yīng)用： 十進(jìn)制： 用0～9十個(gè)數(shù)字表示，逢10進(jìn)1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2102+310+4。 =An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+……+A3102+A2101+A1100 注意：N0=１；N１=N（其中N是任意自然數(shù)） 二進(jìn)制： 用0～1兩個(gè)數(shù)字表示，逢2進(jìn)1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。 （2）= An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+

12、An-42n-5+An-62n-7 +……+A322+A221+A120 注意：An不是0就是1。 十進(jìn)制化成二進(jìn)制： ①根據(jù)二進(jìn)制滿2進(jìn)1的特點(diǎn)，用2連續(xù)去除這個(gè)數(shù)，直到商為0，然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。 ②先找出不大于該數(shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個(gè)差的2的n次方，依此方法一直找到差為0，按照二進(jìn)制展開式特點(diǎn)即可寫出。 14、加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù)： 加法原理： 如果完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有m1種不同方法，在第二類方法中有m2種不同方法……，在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1+ m2....

13、... +mn種不同的方法。 關(guān)鍵問題： 確定工作的分類方法。 基本特征： 每一種方法都可完成任務(wù)。 乘法原理： 如果完成一件任務(wù)需要分成n個(gè)步驟進(jìn)行，做第1步有m1種方法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1m2.......mn種不同的方法。 關(guān)鍵問題： 確定工作的完成步驟。 基本特征： 每一步只能完成任務(wù)的一部分。 直線： 一點(diǎn)在直線或空間沿一定方向或相反方向運(yùn)動(dòng)，形成的軌跡。 直線特點(diǎn)： 沒有端點(diǎn)，沒有長(zhǎng)度。 線段： 直線上任意兩點(diǎn)間的

14、距離。這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)。 線段特點(diǎn)： 有兩個(gè)端點(diǎn)，有長(zhǎng)度。 射線： 把直線的一端無限延長(zhǎng)。 射線特點(diǎn)： 只有一個(gè)端點(diǎn)；沒有長(zhǎng)度。 ①數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)＝1+2+3+…+（點(diǎn)數(shù)一1）； ②數(shù)角規(guī)律=1+2+3+…+（射線數(shù)一1）； ③數(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=長(zhǎng)的線段數(shù)寬的線段數(shù)： ④數(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=11+22+33+…+行數(shù)列數(shù) 15、質(zhì)數(shù)與合數(shù)： 質(zhì)數(shù)： 一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù)。 合數(shù)： 一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。 質(zhì)因數(shù)： 如果某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)

15、叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。 分解質(zhì)因數(shù)： 把一個(gè)數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。 分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式： N= ，其中a1、a2、a3……an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且a1

16、；其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。 最大公約數(shù)的性質(zhì)： 1、 幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。 2、 幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)。 3、 幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。 4、 幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)m，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以m。 例如：12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12； 18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18； 那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6； 那么12和18最大的公約數(shù)是：6，記作（12，18）=6； 求最大公約數(shù)基本方法： 1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相

17、同的因數(shù)連乘起來。 2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。 3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。 公倍數(shù)： 幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。 12的倍數(shù)有：12、24、36、48……； 18的倍數(shù)有：18、36、54、72……； 那么12和18的公倍數(shù)有：36、72、108……； 那么12和18最小的公倍數(shù)是36，記作[12，18]=36； 最小公倍數(shù)的性質(zhì)： 1、兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。 2、兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。

18、 求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分解質(zhì)因數(shù)的方法 17、數(shù)的整除： 基本概念和符號(hào)： 1、整除：如果一個(gè)整數(shù)a，除以一個(gè)自然數(shù)b，得到一個(gè)整數(shù)商c，而且沒有余數(shù)，那么叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。 2、常用符號(hào)：整除符號(hào)“|”，不能整除符號(hào)“ ”；因?yàn)榉?hào)“∵”，所以的符號(hào)“∴”； 整除判斷方法： 1.能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。 2.能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。 3.能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。 4.能被3、9整除：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。

19、 5.能被7整除： ①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。 ②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。 6.能被11整除： ①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。 ②奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。 ③逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。 7.能被13整除： ①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。 ②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。 整除的性質(zhì)： 1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被

20、c整除。 2.如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。 3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。 4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。 18、余數(shù)及其應(yīng)用： 基本概念： 對(duì)任意自然數(shù)a、b、q、r，如果使得ab=q……r，且0

21、與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。 19、余數(shù)、同余與周期： 同余的定義： ①若兩個(gè)整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱a、b對(duì)于模m同余。 ②已知三個(gè)整數(shù)a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對(duì)于模m同余，記作a≡b(mod m)，讀作a同余于b模m。 同余的性質(zhì)： ①自身性：a≡a(mod m)； ②對(duì)稱性：若a≡b(mod m)，則b≡a(mod m)； ③傳遞性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，則a≡ c(mod m)； ④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，則a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)； ⑤相

22、乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，則ac≡ bd(mod m)； ⑥乘方性：若a≡b(mod m)，則an≡bn(mod m)； ⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整數(shù)c，則ac≡ bc(mod mc)； 關(guān)于乘方的預(yù)備知識(shí)： ①若A=ab，則MA=Mab=（Ma）b ②若B=c+d則MB=Mc+d=McMd 被3、9、11除后的余數(shù)特征： ①一個(gè)自然數(shù)M，n表示M的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，則M≡n(mod 9)或（mod 3）； ②一個(gè)自然數(shù)M，X表示M的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mo

23、d 11)； 費(fèi)爾馬小定理： 如果p是質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)），a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-1≡1(mod p)。 20、分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用： 基本概念與性質(zhì)： 分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。 分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。 分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。 百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)。 常用方法： ①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結(jié)果）進(jìn)行思考。 ②對(duì)應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系。 ③轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)

24、用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系；把不同的標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。 ④假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況成立，計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最后結(jié)果。 ⑤量不變思維方法：在變化的各個(gè)量當(dāng)中，總有一個(gè)量是不變的，不論其他量如何變化，而這個(gè)量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。 ⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量

25、，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。 ⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理。 ⑧濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。 21、分?jǐn)?shù)大小的比較： 基本方法： ①通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。 ②通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較。 ③基準(zhǔn)數(shù)法：確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。 ④分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差一定時(shí)，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大。 ⑤倍率比較法：當(dāng)比較兩個(gè)分子或分母同時(shí)變化時(shí)分?jǐn)?shù)的大小，除了運(yùn)用以上方法外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較

26、分?jǐn)?shù)的大小。（具體運(yùn)用見同倍率變化規(guī)律） ⑥轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行比較。 ⑦倍數(shù)比較法：用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1進(jìn)行比較。 ⑧大小比較法：用一個(gè)分?jǐn)?shù)減去另一個(gè)分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0比較。 ⑨倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。 ⑩基準(zhǔn)數(shù)比較法：確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)，每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。 22、分?jǐn)?shù)拆分： 將一個(gè)分?jǐn)?shù)單位分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之和的公式： 23、完全平方數(shù)： 完全平方數(shù)特征： 1.末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。 2.除以3余0或余1；反之不成立。 3.除以4余0或余1；反之不成

27、立。 4.約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)；反之成立。 5.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。 6.奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。 7.兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。 平方差公式： X2-Y2=（X-Y）（X+Y） 完全平方和公式： （X+Y）2=X2+2XY+Y2 完全平方差公式： （X-Y）2=X2-2XY+Y2 24、比和比例： 比： 兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。比號(hào)前面的數(shù)叫比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫比的后項(xiàng)。 比值： 比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商，叫做比值。 比的性質(zhì)： 比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（零除外），

28、比值不變。 比例： 表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或 比例的性質(zhì)： 兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)積(交叉相乘)，ad=bc。 正比例： 若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也擴(kuò)大或縮小幾倍（AB的商不變時(shí)），則A與B成正比。 反比例： 若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也縮小或擴(kuò)大幾倍（AB的積不變時(shí)），則A與B成反比。 比例尺： 圖上距離與實(shí)際距離的比叫做比例尺。 按比例分配： 把幾個(gè)數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。 25、綜合行程： 基本概念： 行程問題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研究的是物體速度、時(shí)間、路程三者之間的關(guān)系. 基本公式： 路程

29、=速度時(shí)間；路程時(shí)間=速度；路程速度=時(shí)間 關(guān)鍵問題： 確定運(yùn)動(dòng)過程中的位置和方向。 相遇問題：速度和相遇時(shí)間=相遇路程（請(qǐng)寫出其他公式） 追及問題：追及時(shí)間＝路程差速度差（寫出其他公式） 流水問題：順?biāo)谐?（船速+水速）順?biāo)畷r(shí)間 逆水行程=（船速-水速）逆水時(shí)間 順?biāo)俣?船速+水速 逆水速度=船速-水速 靜水速度=（順?biāo)俣?逆水速度）2 水 速=（順?biāo)俣?逆水速度）2 流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照以上公式。 過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程，參照以上公式。 主要方法：畫線段圖法 基本題型： 已知路程（相遇路程、追及路程）、時(shí)

30、間（相遇時(shí)間、追及時(shí)間）、速度（速度和、速度差）中任意兩個(gè)量，求第三個(gè)量。 26、工程問題： 基本公式： ①工作總量=工作效率工作時(shí)間 ②工作效率=工作總量工作時(shí)間 ③工作時(shí)間=工作總量工作效率 基本思路： ①假設(shè)工作總量為“1”（和總工作量無關(guān)）； ②假設(shè)一個(gè)方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時(shí)間的最小公倍數(shù)），利用上述三個(gè)基本關(guān)系，可以簡(jiǎn)單地表示出工作效率及工作時(shí)間. 關(guān)鍵問題： 確定工作量、工作時(shí)間、工作效率間的兩兩對(duì)應(yīng)關(guān)系。 27、邏輯推理： 條件分析—假設(shè)法： 假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個(gè)假設(shè)去判斷，如果有與題設(shè)

31、條件矛盾的情況，說明該假設(shè)情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設(shè)a是偶數(shù)成立，在判斷過程中出現(xiàn)了矛盾，那么a一定是奇數(shù)。 條件分析—列表法： 當(dāng)題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完成時(shí)，就需要進(jìn)行列表來輔助分析。列表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個(gè)長(zhǎng)方形表格中，表格的行、列分別表示不同的對(duì)象與情況，觀察表格內(nèi)的題設(shè)情況，運(yùn)用邏輯規(guī)律進(jìn)行判斷。 條件分析—圖表法： 當(dāng)兩個(gè)對(duì)象之間只有兩種關(guān)系時(shí)，就可用連線表示兩個(gè)對(duì)象之間的關(guān)系，有連線則表示“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒有連線則表示否定的狀態(tài)。例如A和B兩人之間有認(rèn)識(shí)或不認(rèn)識(shí)兩種狀態(tài)，有連線表示認(rèn)識(shí)，沒有表示不認(rèn)識(shí)。

32、 邏輯計(jì)算： 在推理的過程中除了要進(jìn)行條件分析的推理之外，還要進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算，根據(jù)計(jì)算的結(jié)果為推理提供一個(gè)新的判斷篩選條件。 簡(jiǎn)單歸納與推理： 根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從特殊情況推廣到一般情況，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式，從而得到問題的解決。 28、幾何面積： 基本思路： 在一些面積的計(jì)算上，不能直接運(yùn)用公式的情況下，一般需要對(duì)圖形進(jìn)行割補(bǔ)，平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算；另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。 常用方法： 1.連輔助線方法 2.利用等底等高的兩個(gè)三角形面積相

33、等。 3.大膽假設(shè)（有些點(diǎn)的設(shè)置題目中說的是任意點(diǎn)，解題時(shí)可把任意點(diǎn)設(shè)置在特殊位置上）。 4.利用特殊規(guī)律 ①等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積） ②梯形對(duì)角線連線后，兩腰部分面積相等。 ③圓的面積占外接正方形面積的78.5%。 29、時(shí)鐘問題—快慢表問題： 基本思路： 1、按照行程問題中的思維方法解題； 2、不同的表當(dāng)成速度不同的運(yùn)動(dòng)物體； 3、路程的單位是分格（表一周為60分格）； 4、時(shí)間是標(biāo)準(zhǔn)表所經(jīng)過的時(shí)間； 5、合理利用行程問題中的比例關(guān)系； 30、時(shí)鐘問題—鐘面追及： 基

34、本思路： 封閉曲線上的追及問題。 關(guān)鍵問題： ①確定分針與時(shí)針的初始位置； ②確定分針與時(shí)針的路程差； 基本方法： ①分格方法： 時(shí)鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每小格我們稱為1分格。分針每小時(shí)走60分格，即一周；而時(shí)針只走5分格，故分針每分鐘走1分格，時(shí)針每分鐘走1／12分格。 ②度數(shù)方法： 從角度觀點(diǎn)看，鐘面圓周一周是360，分針每分鐘轉(zhuǎn) 360/60度，即6，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)360/12X60度，即1/2度。 31、濃度與配比： 經(jīng)驗(yàn)總結(jié)： 在配比的過程中存在這樣的一個(gè)反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。 溶質(zhì)：溶解在其它物

35、質(zhì)里的物質(zhì)（例如糖、鹽、酒精等）叫溶質(zhì)。 溶劑：溶解其它物質(zhì)的物質(zhì)（例如水、汽油等）叫溶劑。 溶液：溶質(zhì)和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液。 基本公式： 溶液重量=溶質(zhì)重量+溶劑重量； 溶質(zhì)重量=溶液重量濃度； 濃度= 溶質(zhì)/溶液100%=溶質(zhì)/（溶劑+溶質(zhì)）100% 經(jīng)驗(yàn)總結(jié)： 在配比的過程中存在這樣的一個(gè)反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。 32、經(jīng)濟(jì)問題： 利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)=（賣價(jià)-成本）成本100%； 賣價(jià)=成本（1+利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)）； 成本=賣價(jià)（1+利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)）； 商品的定價(jià)按照期望的利潤(rùn)來確定； 定價(jià)=成本

36、（1+期望利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)）； 本金：儲(chǔ)蓄的金額； 利率：利息和本金的比； 利息=本金利率期數(shù)； 含稅價(jià)格=不含稅價(jià)格（1+增值稅稅率）； 33、不定方程： 一次不定方程： 含有兩個(gè)未知數(shù)的一個(gè)方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程； 常規(guī)方法： 觀察法、試驗(yàn)法、枚舉法； 多元不定方程： 含有三個(gè)未知數(shù)的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一； 多元不定方程解法： 根據(jù)已知條件確定一個(gè)未知數(shù)的值，或者消去一個(gè)未知數(shù)，這樣就把三元一次方程變成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可； 涉及知識(shí)點(diǎn)： 列方程、數(shù)的整除、

37、大小比較； 解不定方程的步驟： 1、列方程；2、消元；3、寫出表達(dá)式；4、確定范圍；5、確定特征；6、確定答案； 技巧總結(jié)： A、寫出表達(dá)式的技巧：用特征不明顯的未知數(shù)表示特征明顯的未知數(shù)，同時(shí)考慮用范圍小的未知數(shù)表示范圍大的未知數(shù)； B、消元技巧：消掉范圍大的未知數(shù)； 34、循環(huán)小數(shù)： 把循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)的規(guī)則： ①純循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)：將一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)作為分子，分母的各位都是9，9的個(gè)數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，最后能約分的再約分。 ②混循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)：分子是第二個(gè)循環(huán)節(jié)以前的小數(shù)部分的數(shù)字組成的數(shù)與不循環(huán)部分的數(shù)字所組成的數(shù)之差，分母的頭幾位數(shù)字是9，9的個(gè)數(shù)與一個(gè)循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，末幾位是0，0的個(gè)數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)相同。 分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)的判斷方法： ①一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分母中既含有質(zhì)因數(shù)2和5，又含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)必定是混循環(huán)小數(shù)。 ②一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分母中只含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)必定是純循環(huán)小數(shù)。