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1、(精典整理)平行四邊形、矩形、菱形、正方形知識(shí)點(diǎn)總結(jié) - 公共管理 -
平行四邊形、矩形、菱形、正方形知識(shí)方法總結(jié)
一 .平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì):
平行四邊形矩形菱形正方形
圖形
1.邊:
1.邊:
1.邊:
1.邊:
且
;
且
;
且
;
且
;
2.角:
;
2.角:
;
2.角:
;
2.角:
;
一般
;
;
;
;
性質(zhì)
3.對(duì)角線
3.對(duì)角線
3.對(duì)角線
3.對(duì)角線
;
;
;
;
面積
二 .判斷(識(shí)別)方法小結(jié):
(1)識(shí)別平行四邊形的方法:(從邊、角、對(duì)角線3 方面)
①
2、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形;
A
D
②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;
O
B
C
③一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;
④兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形;
⑤對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。
(2) 識(shí)別矩形的方法: (從定義、特殊元素(角、對(duì)角線)
3
方面)
①有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形;
( Y
一個(gè) Rt
)
②對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形;
( Y
對(duì)角線 = )
③有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形;
( 3個(gè) Rt
)
④對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形。
( 對(duì)角線互相平分
對(duì)角線
3、 = )
1
(3)識(shí)別菱形的方法: (從定義、特殊元素(邊、對(duì)角線)3 方面)
①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形;( Y一組 鄰邊= )
②對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形;( Y對(duì)角線)
③四邊都相等的四邊形是菱形;( 4邊 = )
④對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形。( 對(duì)角線互相平分對(duì)角線)
(4) 識(shí)別正方形的方法: (從邊、角、對(duì)角線 3 方面)
抓本質(zhì): 矩形 + 菱形
①有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形;
( Y
一組 鄰邊 =
一個(gè) Rt
)
②對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形;
( Y
對(duì)角線
對(duì)角線
4、
)
③有一組鄰邊相等的矩形是正方形;
( 矩形
一組 鄰邊 = )
④對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形;
( 矩形
對(duì)角線
)
⑤有一個(gè)角是直角的菱形是正方形;
( 菱形
一個(gè) Rt
)
⑥對(duì)角線相等的菱形是正方形;
( 菱形
對(duì)角線
)
⑦對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形。
( 對(duì)角線互相平分
對(duì)角線
對(duì)角線
)
小結(jié):把以上識(shí)別方法的編號(hào)分別填入下圖中的每一條帶方向的線上:
(如平行四邊形的第一種識(shí)別
方法的編號(hào)為 (1) ①,其他方法類似)
三、其他性質(zhì):
1、平行四邊形、矩形、菱形、正方形(平行四邊形系列圖形):都具有
5、的
1)與面積有關(guān)的 :任意一條對(duì)角線分得的兩部分面積 ___________;兩條對(duì)角線分得的四部分面積 ________。
推廣: 若一條直線過平行四邊形(系列圖形)對(duì)角線的交點(diǎn),則直線被一組對(duì)邊截下的
線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn),且這條直線二等分平行四邊形(系列圖形)的面積。
2
( 2 )與對(duì)稱性有關(guān)的:平行四邊形、矩形、菱形、正方形(平行四邊形系列圖形)都是
____________________ 圖形;但只有:矩形、菱形、正方形為_________________ 圖形;平行四邊形
______________ 圖形。
即: 矩形、菱形、正方形既是_________
6、________ 圖形,又是 ____________圖形;平行四邊形只是
______________ 圖形。
○1 矩形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形,對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn),對(duì)稱軸是各邊的垂直
平分線。
○2 菱形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形,對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn),對(duì)稱軸是對(duì)角線所在
的直線。
○3 正方形是軸對(duì)稱圖形,其對(duì)稱軸為對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線或?qū)蔷€所在的直線,也是中心對(duì)稱圖
形,對(duì)稱中心為對(duì)角線的交點(diǎn)。
2、矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)
菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)
正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)
3、拓展知識(shí):
1)三角形
7、的中位線:連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線
2)三角形中位線定理:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,且等于第三邊的一半。
推廣(靈活應(yīng)用) :
A
(結(jié)合:三角形的中位線;三角形中位線定理;三角形相似)
E
以右圖△ ABC 為例,在 ○
D 為 AB 中點(diǎn)
D
○ E 為 AC 中點(diǎn)
C
1
2
1
B
3
4
2
( 3)菱形的面積:菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半。
推廣: 對(duì)角線互相垂直的四邊形面積等于對(duì)角線乘積的一半。
( 4)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
四、梯形:
1、定義:一組對(duì)邊平行,另一組對(duì)邊不平行的四邊形
8、叫做梯形。
2、等腰梯形:兩腰相等的梯形是等腰梯形。
3
3、直角梯形:有一個(gè)角是直角的梯形是直角梯形
4、等腰梯形的性質(zhì):
○1對(duì)稱性:等腰梯形是軸對(duì)稱圖形,上下底的中點(diǎn)連線所在的直線是對(duì)稱軸,
○2角:等腰梯形同一底邊上的兩個(gè)角相等;同腰上的兩個(gè)角互補(bǔ)。
○3 對(duì)角線:等腰梯形的兩條對(duì)角線相等。
○4 邊:兩腰相等;上下底不等。
5、等腰梯形的判定定理
同一底上兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形。
6、等腰梯形的判定方法:
○1 先判定它是梯形,○ 2 再用兩腰相等或同一底上的兩個(gè)角相等來判定它是等腰梯形。
7、梯形常見的輔助線(解決梯形問題常用的方法:)
解梯形
9、問題常用的輔助線:如圖
1.延長兩腰交于一點(diǎn)
作用:使梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題。
若是等腰梯形則得到等腰三角形。
2.平移一腰
作用:使梯形問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形及三角形問題。
3.作高
作用:使梯形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形及矩形問題。
4.平移一條對(duì)角線
作用:( 1)得到平行四邊形ACED ,使 CE=AD ,
BE 等于上、下底的和
2)S 梯形 ABCD =S△DBE
4
等積變形:當(dāng)有一腰中點(diǎn)時(shí),連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)與一腰中點(diǎn)并延長交一個(gè)底的延長線。
作用:可得△ ADE ≌△ FCE,
所以使 S 梯形 ABCD =S△ABF 。
.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練:
填空:
10、
1)兩條對(duì)角線 ___________________________ 的四邊形是平行四邊形;
2)兩條對(duì)角線 ___________________________ 的四邊形是矩形;
3)兩條對(duì)角線 ___________________________ 的四邊形是菱形;
4)兩條對(duì)角線 ___________________________ 的四邊形是正方形;
5)兩條對(duì)角線 ___________________________ 的平行四邊形是矩形;
6)兩條對(duì)角線 ___________________________ 的平行四邊形是菱形;
7)兩條對(duì)角線
11、___________________________ 的平行四邊形是正方形;
8)兩條對(duì)角線 ___________________________ 的矩形是正方形;
9)兩條對(duì)角線 ___________________________ 的菱形是正方形。
2 已知:如圖,在Y ABCD 中, E、 F 分別為邊 AB 、 CD 的中點(diǎn), BD 是對(duì)角線, AG ∥ DB 交 CB
的延長線于G.
求證:△ ADE ≌△ CBF;
若四邊形 BEDF 是菱形,猜測:四邊形 AGBD 是
什么特殊四邊形?并證明你的結(jié)論.
5
四邊形練習(xí)
1.
ABCD 中
12、,∠ A 的平分線分 BC 成 4cm 和 3cm 兩條線段,
則
ABCD 的周長為
.
2.如圖,在ABCD 中,∠ C=60o,DE ⊥AB 于 E,DF⊥ BC 于 F.
D
( 1)則∠ EDF=
C
;
( 2)若 AE=4 , CF=7 ,則
ABCD 周長 =
;
F
ABCD 面積 =
A
E
B
。
3. (1)
在平行四邊形 ABCD 中,若∠ C=∠ B+∠ D,則∠ A=
.
(2)
已知在
ABCD ,∠ A 比∠ B 小 20o,則∠ C 的度數(shù)是
.
(3)
在
ABCD 中,周長為 100cm, AB
13、-BC=20cm ,則 AB=
,
BC=.
( 4)在
ABCD 中,周長為 30cm,且 AB : BC=3 : 2,則 AB=
cm.
( 5)如圖, 若□ABCD 與□ EBCF 關(guān)于 BC 所在直線對(duì)稱,
A
D
∠ABE=90,則∠ F =
.
B
C
4.下列命題中,錯(cuò)誤的是(
)
E
F
A .矩形的對(duì)角線互相平分且相等
B.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形
C.等腰梯形的兩條對(duì)角線相等
D.等腰三角形底邊上的中點(diǎn)到兩腰的距離相等
5.在下列命題中,正確的是(
)
A .一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形
B .有一個(gè)角是直角的四邊形
14、是矩形
C.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
D .對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形
6.下列錯(cuò)誤的是
A .一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
B .一組對(duì)邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形
C. 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
D.一組鄰邊相等的矩形是正方形
7.下列命題中,真命題是(
)
A.兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形
B.兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形
C.兩條對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
6
D.兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
8.已知矩形的對(duì)角線長為
13,周長為
34,則這個(gè)矩形的面積為
.
9.如圖,梯形紙片
15、
ABCD, ∠ B=60, AD∥ BC, AB=AD=2, BC=6,將紙片折疊,使點(diǎn)
B 與點(diǎn) D 重合,
折痕為 AE,則 CE=___________.
A
D B
D
C
E
B
E
C
A
F
B
第 9 題圖
第 10
題圖
10.如圖,折疊矩形的一邊
CD,使點(diǎn) C 落在 AB上的點(diǎn) F 處,已知 AB=10cm, BC=8cm,則 EC的長為 ________.
11、如圖, AD 是△ ABC 的角平分線 .DE∥ AC 交 AB 于 E, DF ∥ AB 交 AC 于 F.四邊形 AEDF 是菱形
嗎?說明你的理由 .
16、
(不用全等,你可以做出來嗎?試試看)
12、如圖,已知ABCD 的對(duì)角線交于O,過 O 作直線交 AB、CD 的反向延長線于E、F,求證:OE=OF.
7
13、如圖,等腰△ABC 中, AB=AC,D 是 BC 邊上的一點(diǎn), DE ∥ AC ,DF∥ AB ,通過觀察分析線
DE , DF , AB 三者之間有什么關(guān)系?試說明你的結(jié)論成立的理由。
?。ú挥萌龋憧梢宰龀鰜韱??試試看)
14、如圖,在 □ ABCD 中, E、F 分別是 BC、AD 上的點(diǎn),且AE∥CF ,AE 與 CF 相等嗎?說明理由.
(不用全等,你可以做出來嗎?試試看)
15、四邊形ABCD 是等腰梯形,其中AD =BC,若 AD=5, CD=2, AB=8,求梯形ABCD 面積 .(關(guān)鍵
是會(huì)畫出正確的圖形)
8
16、以銳角△ ABC 的邊 AC、 AB 為邊向外作正方形ACDE 和正方形 ABGF ,連結(jié) BE、 CF,
1)試探索 BE 和 CF 的關(guān)系?并說明理由 .
2)你能找到哪兩個(gè)圖形可以通過旋轉(zhuǎn)而相互得到,并指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角.
9