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1、1 第二章 數(shù)值模型 2.1 插值 2.2 線性最小二乘法 2.3 數(shù)值微分 2.4 數(shù)值積分 2.5 方程求根 A Joke Another Joke 4 計算機(jī)會 “ 算 ” 嗎？靠得住嗎？ 例：把 4開 n次方，再平方 n次，結(jié)果是 4？存在誤差？ 英國著名數(shù)值分析學(xué)家 Higham (1998): Can you count on computers? 精確計算： 解析結(jié)果 (Analytical) 近似 計 算： 數(shù)值 結(jié)果 (Numerical) ?4 22 n=55左右：結(jié)果變成 1 計 算功效 = 計算工具 * 計算方法 (算法

2、) 浮點(diǎn)運(yùn)算：舍入誤差 5 2.1 插值 1.插值的基本原理； 三種插值方法：拉格朗日插 值，分段線性 插值，三次樣條插值。 2.插值的 MATLAB 實(shí)現(xiàn) 及插值的應(yīng)用 。 6 什么是插值 (Interpolation)？從查函數(shù)表說起 查 函 數(shù) 表 x t dtex 2 2 2 1)( x 0 1 2 1 .0 0 .8 4 1 3 0 .8 4 3 8 0 .8 4 6 1 1 .1 0 .8 6 4 3 0 .8 6 6 5 0 .8 6 8 6 1 .2 0 .8 8 4 9 0 .8 8 6 9 0 .8 8 8 8 標(biāo)準(zhǔn)

3、正態(tài)分布函數(shù)表 求 (1.114) (1.114)=0.8665 (0.86860.8665)0.4=0.8673 插值 插值在圖像處理 /數(shù)控加工 /外觀設(shè)計等領(lǐng)域有重要應(yīng)用 7 插值的基本原理 插值問題的提法 已知 n+1個節(jié)點(diǎn) ,,1,0(),( njyx jj 其中 jx 互不相同，不妨設(shè) ), 10 bxxxa n 求任一插值點(diǎn) )(* jxx 處的插值 . *y 0 x 1x nx 0y 1y 節(jié)點(diǎn)可視為由 )( xgy 產(chǎn)生 , g表達(dá)式復(fù)雜 , 甚至無表達(dá)式 *x *y 8 0 x 1x nx 0y 1y 求解插值問題的基本思路

4、 構(gòu)造一個 (相對簡單的 )函數(shù) ),( xfy 通過全部節(jié)點(diǎn) ,即 ),1,0()( njyxf jj 再用 )(xf 計算插值，即 ).( ** xfy *x *y 插值的 基本原理 9 1.拉格朗日 (Lagrange)多項式插值 1.0 插值多項式 )1()( 0111 axaxaxaxL nnnnn n n n n n n nn y y Y a a A xx xx X 0 0 1 1 00 ,, 1 1 在什么條件下）(0)d e t ( X ),1,0()( njyxL jjn

5、 )2(YXA 求 ia 三種插值 方法 有唯一解)2( 10 1.1 拉格朗日插值多項式 ni xxxxxxxx xxxxxxxxxl niiiiii nii i 1,0, )())(()( )())(()()( 110 110 )3()()( 0 xlyxL i n i in jjnji yxLji ji xl )( ,0 ,1 )( 則若 又 （ 2） 有唯一解，故 （ 3） 與 （ 1） 相同。 基函數(shù) ()ilx )1()( 0111 axaxaxaxL nnnnn )2(YXA 三種插值 方法 11 ),(),( )!1( )

6、()()()( 0 )1( baxx n gxLxgxR n j j n nn 1 )1( )( n n Mg 減?。ù致缘乜矗┤绾问拐`差 )( xR n 平緩gjxx 接近 n j j n n xx n M xR 0 1 )!1( )( 三種插值 方法 1.2 誤差估計 增加n 12 1.3 拉格朗日插值多項式的振蕩 ?)(?)( xRxLn nn 55,1 1)( 2 xxxg 63.363.3),()(l i m xxgxL nn Runge現(xiàn)象 取 n=2,4,6,8,10,計 算 Ln(x), 畫出圖形 -5 0 5 -1.5 -1 -0

7、.5 0 0.5 1 1.5 2 y=1/(1+x 2 ) n=2 n=4 n=6 n=8 n=10 三種插值 方法 Runge.m 13 2.分段線性插值 xj xj-1 xj+1 x0 xn 其它,0 , , )( )()( 1 1 1 1 1 1 0 jj jj j jj jj j j n j jjn xxx xx xx xxx xx xx xl xlyxI 計算量與 n無關(guān) ; n越大，誤差越小 . nnn xxxxgxI 0),()(l i m 三種插值 方法 14 機(jī)翼下輪廓 線 3. 三次樣條插值 樣條

8、函數(shù)的由來 飛機(jī)、船體、汽車外形等的放樣（設(shè)計） 細(xì)木條：樣條 15 3. 三次樣條插值 ,1,,),()( 1 nixxxxsxS iii ,)()3 ),1,0()()2 ),1()()1 0 2 23 n ii iiiii xxCxS niyxS nidxcxbxaxs 數(shù)學(xué)樣條（ spline） iiii dcba n ,,, 4 個待定系數(shù) 3） )1,1()()( )()(),()( 1 11 nixsxs xsxsxsxs iiii iiiiiiii 3） 2）， 3）共 4n-2個方程 三種插值 方法 16 自然邊界條件）(0)()()4

9、 0 nxSxS )(,,,)4)3)2 xSdcba iiii 三次樣條插值確定 4n個系數(shù)需增加 2個條件 三次樣條 插值 ).()(l i m xgxSn 17 兩種插值方法小結(jié) 拉格朗日插值（高次多項式插值）： 曲線光滑；誤差估計有表達(dá)式；收斂性不能保證。 用于理論分析，實(shí)際意義不大 。 分段線性和三次樣條插值（低次多項式插值）： 曲線不光滑（三次樣條插值已大有改進(jìn)）；誤差估 計較難（對三次樣條插值）；收斂性有保證。 簡單實(shí)用，應(yīng)用廣泛 。 根據(jù)需要， 各取所需 。 18 1. 拉格朗日插值 :自編程序 ,如名為 lagr.m 的 M文件， 第一行為 f

10、unction y=lagr(x0,y0,x) 輸入 :節(jié)點(diǎn) x0,y0, 插值點(diǎn) x (均為 數(shù)組，長度自定義 )）； 輸出 :插值 y (與 x同長度數(shù)組 )）。 應(yīng)用時輸入 x0,y0,x后 ,運(yùn)行 y=lagr(x0,y0,x) 2. 分段線性插值 :已有程序 y=interp1(x0,y0,x) y=interp1(x0,y0,x,linear) 3. 三次樣條插值 :已有程序 y=interp1(x0,y0,x,spline) 或 y=spline(x0,y0,x) 用 MATLAB作插值計算

11、注： MATLAB有樣條工具箱（ Spline Toolbox） 19 用 MATLAB作插值計算 55,1 1)( 2 xxxg 為例，作三種插值的比較 以 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.5000 0.8000 0.8434 0.7500 0.8205 1.0000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 1.5000 0.3077 0.2353 0.3500 0.2973 2.0000 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000 2.5000 0.

12、1379 0.2538 0.1500 0.1401 3.0000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 3.5000 0.0755 -0.2262 0.0794 0.0745 4.0000 0.0588 0.0588 0.0588 0.0588 4.5000 0.0471 1.5787 0.0486 0.0484 5.0000 0.0385 0.0385 0.0385 0.0385 x y y1 y2 y3 用 n=11個節(jié) 點(diǎn)， m=21 個插值點(diǎn)，

13、三種方法作 插值，畫圖。 chazhi1 20 插值的應(yīng)用 加工時需要 x每 改變 0.05時的 y值 chazhi2 圖 1 零件的輪廓線 （ x間隔 0.2） 表 1 x間隔 0.2的加工坐標(biāo) x,y（圖 1右半部的數(shù)據(jù)） 數(shù)控機(jī)床加工零件 0.0,5.00 0.2,4.71 0.4,4.31 0.6,3.68 0.8,3.05 1.0,2.50 1.2,2.05 1.4,1.69 1.6,1.40 1.8,1.18 2.0,1.00 2.2,0.86 2.4,0.74 2.6,0.64 模型 將圖 1逆時針方向轉(zhuǎn) 90度，輪廓線上下 對稱，只需對上半部計算一個

14、函數(shù)在插值點(diǎn) 的值。 圖 2 逆時針方向轉(zhuǎn) 90度的結(jié)果 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 5 u v 令 v=x, u= -y 2.2 線性最小二乘法 例 汽車剎車距離建立了剎車距離 d與車速 v的關(guān)系： 221 vkvkd 方程個數(shù)超過了未知數(shù)個數(shù)，稱為 超定方程組 nivkvkd iii ,,2,1,221 數(shù)據(jù)擬合 已知一組數(shù)據(jù)，即平面上 n個點(diǎn) (xi,yi), i=1, n, 尋求 一個函數(shù)（曲線） y=f(x), 使 f(x)在某種準(zhǔn)則下與所有 數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近，

15、即曲線擬合得最好。 數(shù)據(jù)擬合問題的提法 (#) + + + + + + + + + x y y=f(x) (x i,yi) i 使點(diǎn) (xi,yi) 與曲線 y=f(x) 的距離 i盡量 小 ,i=1, n 曲線擬合與最小二乘準(zhǔn)則 ii i 使 f ( x ) 與 y ( i = 1 , 2 , , n ) 之 差 的 平 方 和 ( 即 圖 中 的 平 方 和 ) 最 小 先選定一組函數(shù) r1(x), r2(x), rm(x), m

16、為待定系數(shù)。 線性最小二乘法的基本思路 記 22 12 11 2 11 ( , , ) ( ) ( ) ( 2 ) nn m i i i ii nm k k i i ik J a a a f x y a r x y 按照 最小二乘準(zhǔn)則 , 問題歸結(jié)為：求 a1,a2, a m 使 J(a1,a2, a m) 最小。 線性最小二乘法的求解 ),1( 0 mk a J k )3( 0)()( 0)()( 1 1 1 1 1 n i m k iikkim n i m k iikki yxraxr yxraxr

17、 nmnmn m y y y a a a xrxr xrxr R 11 1 111 ,, )()( )()(記 )4()()3( yRaRR TT )2()(),,( 2 1 1 21 iik n i m k km yxraaaaJ )4()( yRaRR TT 當(dāng) RTR 可逆時 (4)有唯一解 )5()( 1 yRRRa TT 線性最小二乘法的求解 mnnmn m xrxr xrxr R )()( )()( 1 111 問題 怎樣選擇 r1(x), rm(x)， 以

18、保證系數(shù) a1,a m有唯一解？ a1,a m有唯一解 RTR可逆 Rank(RTR)=m Rank(R)=m R列滿秩 r1(x), rm(x)在 xi點(diǎn)線性無關(guān) (i=1, n) 分 析 為什么要規(guī)定 mn,會 如何 ? 若 mn， a有無窮多解 若 m

19、11 ,yRa T n T m yyy aaa , , 1 1 問題 分 析 線性最小二乘中的“線性”指的是什么？ 問題 f(x)對 a線性，于是求解線性方程組 yRaRR TT )( 基 函數(shù) r1(x), rm(x)的選取 1. 通過機(jī)理分析建立數(shù)學(xué)模型來確定 f(x) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + f=a1+a2x 2. 將數(shù)據(jù) (xi,yi) i=1, n 作圖，通過直觀判斷確定 f(x) f=a1+a2x+a3x2 f=a1+a2x+a3x2 f=a1+a2/x f

20、=a1exp(a2x) f=a1exp(a2x) f 對 a 非線性，怎么辦？ 28 2.3 數(shù)值微分 用離散方法近似計算函數(shù) y=f(x)在某點(diǎn) x=a的導(dǎo)數(shù)值 h afhafaf )()()( h hafafaf )()()( 前差公式 后差公式 h hafhafaf 2 )()()( 中點(diǎn)公式 )()(2)()()( 3 2 hOafhafhafhaf 誤差為 O(h) 誤差為 O(h) 誤差為 O(h2) 泰勒展開 : 29 函數(shù) y=f(x)在等間距 h的分點(diǎn) x0

21、,2)( 11 nkh yyxf kkk h yyyxf h yyyxf nnn n 2 34)( 2 43)( 12210 0 ， 三點(diǎn)公式，誤差為 O(h2) 在中間點(diǎn) x1, , xn-1 在兩端點(diǎn) x0, xn 30 2.4 數(shù)值積分 許多函數(shù)“積不出來” ,只能用數(shù)值方法，如 dx x x dxe b a b a x s i n ,2 2 積分是重要的數(shù)學(xué)工具，是微分方程、概率 論等的基礎(chǔ)；在實(shí)際問題中有直接應(yīng)用。 對于用離散數(shù)據(jù)或者圖形表示的函數(shù) ， 計算積分只有求助于數(shù)值方法。 31 n ab fIIdxxfI n k knn n b a

22、 )(,l i m)( 1 數(shù) 值 積 分 的 基 本 思 路 回 憶 定 積 分 的 定 義 各種數(shù)值積分方法研究的是 k ),( ba 如何取值，區(qū)間 如何劃分， 使得既能保證一定精度，計算量又小。 n充分大時 In就是 I的數(shù)值積分 （計算功效：算得準(zhǔn)，算得快） 32 1.從矩形公式到梯形公式 數(shù)值積分 y y=f(x) x b a o )1( 1 0 n k kn fhL )(, ,10 kk nk xff n ab h bxxxxa )2( 1 n k kn fhR nn RL , 平均，得到 梯形公式 )3()( 2 0 1 1 n

23、 n k kn ff h fhT xk+1 xk xk-1 fk 33 2.辛普森 (Simpson)公式 （拋物線公式） 梯形公式相當(dāng)于用 分段線性插值函數(shù) 代替 )(xf 每段要用相鄰 兩小區(qū)間 端點(diǎn)的三個函數(shù)值 拋物線 公式 提高精度 分段二次插值函數(shù) 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2( , ), ( , ), ( , ) 0 , 1 , , 1 k k k k k kx f x f x f km 數(shù)值積分 y y=f(x) x b a o x2k f2k x2k+1 x2k+2 f2k+ 1 f2k+2 區(qū)間數(shù)必須為偶數(shù) mn 2 34 )4(

24、 2 ),24( 3 1 1 2 1 0 1220 m ab hffff h S m k k m k kmm 對 k求和 (共 m段 )，得（復(fù)合） 辛普森公式 ： )4( 3 )( 22122 22 2 kkk x x k fff h dxxs k k 二次插值函數(shù) sk(x) 構(gòu)造用 ),(),,(),,( 2222121222 kkkkkk fxfxfx 2.辛普森 (Simpson)公式（拋物線公式） 35 b a nnn TdxxfTITfR )(),( 梯形公式在每小段上是用 線性插值函數(shù) T(x)代替 f(x) ),(,),)((2 )()()(

25、11 kkkkkk xxxxxxxfxTxf 梯形公式 的誤差估計 )(2 0 1 1 n n k kn ff hfhT b a dxxf )( )( 12 ))(( 2 )( )()( 3 1 11 k x x kk k x x f h dxxxxx f dxxTxf k k k k 因?yàn)椋?(x-xk)(x-xk+1)在 (xk,xk+1)不變號，所以： 36 )5()( 12 |),(| 2 2 abMhTfR n 梯形公式 Tn的 誤差是 h2階的 ),(,)(m a x2 baxxfM 估計 h abn 因?yàn)? 1 0 3 )(

26、 12 |),(| n k kn f h TfR 梯形公式 的誤差 ))()((12 1)(12 1 2 afbfdxxfh TI b a n 1 0 3 )(12)( n k k b a nn f hTdxxfTI )5())()(( 12 2 afbfhTI n 37 同理可得： )6()( 180 |),(| 4 4 abM h SfR n 其中 ),(,)(m a x )4(4 baxxfM 辛普森公式 Sn的誤差是 h4階的 。 辛普森公式的誤差估計 38 梯形公式和辛普森公式的 收斂性 若對 I某個數(shù)值積分 In有 c h II p n n

27、 l i m （非零常數(shù)） 則稱 In是 p 階收斂的 。 梯形公式 2 階收斂，辛普森公式 4 階收斂。 c=0: 至少 p階收斂（超 p階收斂） 39 用 MATLAB 作數(shù)值積分 1 0 n k kn fhL n k kn fhR 1 矩形 公式 Sum(x) 輸入數(shù)組 x(即 fk),輸出 x的和 (數(shù) ) cumsum(x) 輸入數(shù)組 x,輸出 x的依次累加和 (數(shù)組 ) 梯形 公式 )(2 01 1 n n k kn ff hfhT trapz(x) 輸入數(shù)組 x,輸出按梯形公式 x的積分 (單位步長 ) trapz(x,y) 輸入同長度數(shù)組

28、x,y,輸出按梯形公式 y對 x的積分 (步長不一定相等 ) 40 用 MATLAB 作數(shù)值積分 m ab hffff h S m k k m k kmn 2),24(3 1 1 2 1 0 1220 辛普森公式 quad(fun,a,b,tol,trace) I,fn=quad() 用自適應(yīng)辛普森公式計算 tol為絕對誤差，缺省時為 10-6 Gauss-Lobatto公式 )()()( 1 2 1 bfAxfAafAG n n k kkn quadl(fun,a,b,tol,trace) I,fn=quadl() 用自適應(yīng) Gauss-Lobatto公式

29、計算 tol為絕對誤差，缺省時為 10-6 注意： fun.m中應(yīng)以自變量為矩陣的形式輸入 (點(diǎn)運(yùn)算 ) 41 矩形域上計算二重積分的命令： dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol) 廣義積分、二 重和三重積分 長方體上計算三重積分的命令： triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax, zmin,zmax,tol) 注： fun是被積函數(shù)，本身可以有自己的參數(shù) 廣義積分： 通過分析和控制誤差，轉(zhuǎn)換成普通積分 quadv(fun,a,b,tol,trace) 向量值積分： 42 用 MATLAB 作數(shù)值積分 例 . 計算

30、 4 0 1 1 s in dx x 1）矩形公式和梯形公式 將 (0, /4)100等分 2） 辛普森 公式 精確、方便 無法計算用數(shù)值給出的函數(shù)的積分 Jifen1a.m Jifen1b.m 精確值為 2 43 數(shù)值積分的應(yīng)用 實(shí)例 人造衛(wèi)星軌道長度 )20( s i n,c o s t tbytax 決定由 短半軸 長半軸 rss b a ,, 21 dttbtadtyxL 2 0 22222 0 22 c o ss i n44 軌道長度 y x o 近地點(diǎn) s1=439km,遠(yuǎn)地點(diǎn) s2= 2384km s1 s2 地球半徑 r=6371km r

31、 需要作數(shù)值積分 44 s1=439km, s2= 2384km, r=6371km y x o s1 s2 r s1 s2 y x o r a c b 決定由短半軸長半軸 rssba ,,,, 21 數(shù)值積分實(shí)例 人造衛(wèi)星軌道長度 dttbtaL 2 0 2222 c oss i n4 1222 ssra 7 7 8 2 . 5 2 12 ssra 1srac 焦距 2 12 ssc 7 7 2 1 . 522 cab 45 dttbtaL 2 0 2222 c oss i n4 用梯形公式和辛普森公式計算 只將區(qū)間 5等分，梯形公式就給出很好的結(jié)果 軌道長度

32、L=4.8707104千米 數(shù)值積分實(shí)例 人造衛(wèi)星軌道長度 Jifen2.m 2.4 非線性方程求解 方 程 ：包含未知數(shù)（或 /和未知函數(shù)）的等式 方程組 ：包含未知數(shù)（或 /和未知函數(shù)）的一組等式 不包含未知函數(shù)的方程組的一般形式： F(x)=0 x= (x1,x2,,x n)T, F(x)=(f1(x),f2(x),,f m(x))T (一般 m=n) 滿足方程（組）的未知數(shù)的取值稱為方程（組）的 解 ， 或稱為 F(x)的 零點(diǎn) 。 單變量方程（一元方程）： f(x)=0, “解”也稱為“ 根 ” 非線性方程的特點(diǎn) 方程根的特點(diǎn)： n次代數(shù)方程有且

33、只有 n個根 (包括復(fù)根、重根 )； 5次以上的代數(shù)方程無求根公式； 超越方程有無根，有幾個根通常難以判斷。 方程分類： 代數(shù)方程 : a0 xn+a1xn-1++a n=0； 超越方程 ：包含超越函數(shù) (如 sinx, lnx)的方程； 非線性方程 ： n(2)次代數(shù)方程和超越方程。 A Joke: “Find x” I cant believe the teacher marked him wrong, he found it. http://haha.nu/funny/funny-math/ Another Joke: “Find x” Smart enough!

34、 http://haha.nu/funny/funny-math/ 實(shí)例 1 路燈照明 道路兩側(cè)分別安裝路燈，在漆黑的夜晚，當(dāng)兩只路燈開啟時， 兩只路燈連線的路面上最暗的點(diǎn)和最亮的點(diǎn)在哪里？ h2 P2 P 1 s h1 如果 P2的高度可以在 3米到 9米之間變化，如何使路面上最暗 點(diǎn)的亮度最大？ 如果兩只路燈的高度均可以在 3米到 9米之間變化呢？ s=20(米 ) P1=2, P2=3(千瓦 ) h1=5, h2=6(米 ) 實(shí)例 1 路燈照明 建立坐標(biāo)系如圖，兩個光源在點(diǎn) Q(x,0)的照度分別為 (k是由量綱單位決定的比 例系數(shù)，不妨記 k=1) 2 2 22 2

35、2 1 11 1 s i n,s i n r PkI r PkI 點(diǎn) Q的照度 2222222121 )(, xshrxhr x x 2 1 O h2 P2 r1 P1 s r2 h 1 y Q 22 1 1 1 1 1s i n xh h r h 22 2 2 2 2 2 )(s i n xsh h r h 3222 22 322 1 11 )( )( xsh hP xh hPxC 實(shí)例 1 路燈照明 為求最暗點(diǎn)和最亮點(diǎn)，先求 C(x)的駐點(diǎn) x x 2 1 O

36、 h2 P2 r1 P1 s r2 h 1 y 令 C (x)=0：解析解難以求出，需數(shù)值求解 Q 322 2 22 322 1 11 )( )( xsh hP xh hP xC 5222 22 522 1 11 )( )(33)( xsh xshP xh xhPxC 根的隔離 :二分 法 解方程 f(x)=0第一步 確定根的大致范圍 圖形法：作 f(x)圖形 ,觀察 f(x)與 x軸的交點(diǎn) 非線性方程的基本解法 -2 - 1 . 5 -1 - 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 - 5 0 - 4 0 - 3

37、 0 - 2 0 - 1 0 0 10 20 30 01281362 2346 xxxxx 圖形法 有 4個根分別位于 x= -1.75, -0.75, 1.00， 2.40附近 若對于 ba , 有 0)()( bfaf , 則在 ),( ba 內(nèi) )( xf 至少有一個零點(diǎn)，即 0)( xf 至少有一個根。 二分法 的 原理 二分法 的實(shí)現(xiàn) 不足 收斂速度較慢 0)( af 0)( bf 0)( 0 xf0)( 0 xf ),(),(),( 11 nn bababa 011 , xbaa bbxa 101 , 區(qū)間每次縮小一半， n足 夠大時，可確定根的范圍 a

38、 b )(xf x xa b )(xf 0 x 0 x 中點(diǎn) ),(:0 bax 非線性方程的基本解法 例 1 014)( 2 xxxf 2 1 14)( xxx , 迭代公式： 2 1 14 kk xx )1/(14)(2 xxx ，迭代公式： )1/(141 kk xx )12/()14()( 23 xxxxxx , 迭代公式： )12/()14( 21 kkkkk xxxxx 6)4(,2)3( ff )4,3(x存在根 )( xx 非線性方程 迭代 法的基本思想 將原方程 0)( xf 改寫成容易迭代的形式 )( xx , 選 合適的初值 0 x ,

39、進(jìn)行迭代： ),2,1,0()(1 kxx kk x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 1 3.0000 5.0000 - 1 1.0000 - 107.0000 2 3.0000 3.5000 3.1 1 1 1 3.4054 3.1779 3.3510 3 3.0000 3.2857 3.2749 3.2749 3.2749 3.2749 1 根本不收斂； 2 雖呈現(xiàn)收斂趨勢，但很慢； 3 收斂很快。 2749.32)571(,2)41411( *2,1 xx 非線性方程的 迭代 法（例） 迭代法的 幾何解釋 y= (x) x* x y y=x 0 x1 x0 P

40、0(x0,x1) x2 P1(x1,x2) x3 P2 P3 x y y=x y= (x) 0 x* x0 x1 x2 x3 P0 P1 P3 xk收斂于 x* xk不 收斂于 x* 取決于曲線 (x)的斜率 )( ** xx 不動點(diǎn) ,1,0),(1 kxx kk 迭代法的 收斂性 設(shè) )( xy 在 bxa 連續(xù)，且 bya ，若存在 1L 使 ,)( Lx 則 )( xx 在 bxa 有唯一解 * x ，且 1 ） 對于 ),( 0 bax ，迭代公式 )2,1,0()( 1 kxx kk 產(chǎn)生 的序列 k x 收斂于 * x ； 2 ） 01 *** 1

41、 1 , xx L L xxxxLxx k kkk 。 局部收斂性 ： 只要 )( x 在 * x 的一個鄰域連續(xù)且 ,1)( * x 則對于該鄰域內(nèi)的任意初值 0 x ，序列 k x 就收斂于 *x 。 L不易確定 放寬定理條件，縮小初值范圍 迭代法的 收斂速度（收斂階） 記 *xxe kk ，若 01lim c e e p k k k （ p 為一正數(shù)） 稱序列 kx p 階收斂。 顯然， p 越大收斂越快 。 pk p kk xxp xxxxxx )( ! )())(()()( *)(*** 0)( * x , kx 0)(,0)()( *)(

42、*)1(* xxx pp ， kx p 階收斂 pk p kk ep xexe ! )()( *)(* 1 1階收斂 (線性收斂 ) 結(jié)論： (x)的構(gòu)造決定收斂速度 )12/()14()( 23 xxxxx 迭代法的 收斂速度（例） )1/(14)(2 xx 014)( 2 xxxf 例題 階收斂10)(, )1( 14)( * 222 kxxxx 階收斂20)( ,0)(, )12( )14(2 )( * 3 * 32 2 3 kxx x x xx x 牛頓切線法 )( xf 在 kx 作 T a y l o r 展開，去掉 2

43、 階及 2 階以上項得 ))(()()( kkk xxxfxfxf )( )()(, )( )()()( * * * 2* ** * xf xfx xf xfxfx 牛頓切線法 2階收斂 ,0)( * xf 0)(),( ** xfxf 0)(,0)( ** xx 若 x*為單根 設(shè) 0)( k xf ，用 1k x 代替右端的 x ，由 0)( xf 得 )( )( 1 k k kk xf xf xx ， 即令 )( )( )( xf xf xx xk xk+1 M N x O y=f(x) y f(xk) 牛頓 割線法 用差商 1 1

44、 )()( kk kk xx xfxf 代替 )( k xf )()( ))(( 1 1 1 kk kkk kk xfxf xxxf xx x * 為單根時收斂階數(shù)是 1 . 6 1 8 y O x k+1 x y=f(x) P Q xk-1 xk 若 x*為重根 0)( * x 牛頓切線法 1階收斂 收斂速度比牛頓切線法稍慢 0)()( ** xfxf 重數(shù)越高，收斂越慢 解非線性方程組的牛頓法 TnTn xfxfxFxxxxF )(),()(,,,0)( 11 ))(()()( 11 kkkkk xxxfxfxf )( )(1 k k kk

45、 xf xfxx 解方程 f(x)=0 的 牛頓切線法 推廣到解方程組 nixx x xf xx x xf xfxf k n k n n k i kk k ik i k i ,2,1),( )( )( )( )()( 1 1 1 1 1 1 實(shí)例 1 路燈照明 討論 1： 若 P1=P2, 則 x=0.5s (中點(diǎn) )， 與直覺符合 思考： 更多路燈的情形（如籃球場四周安裝照明燈） )(212 xsh xh 211 3 23 1 3 1 PP sPx x x 2 1 O h2 P2 r

46、1 P1 s r2 h 1 y Q 討論 2： 2/221 tgtg 613521 （這個角度與路燈的功率和道路寬度均無關(guān) ） 作 業(yè) 1. 推導(dǎo)計算二重積分的復(fù)合梯形公式。積分區(qū)域是一個矩形 區(qū)域 a, b c, d，被積函數(shù)是 f(x, y)。 2. 某地區(qū)為估計某礦物的儲量，在該地區(qū)內(nèi)進(jìn)行勘探，得到 如下數(shù)據(jù)，請估計出此地區(qū)內(nèi)（ 1 x 4， 1 y 5）該 礦物的儲量。 編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X坐標(biāo) /km 1 1 1 1 1 2 2 2 2 Y坐標(biāo) /km 1 2 3 4 5 1 2 3 4 礦物體 厚度 H/m 13.72 25.

47、80 8.47 25.27 22.32 15.47 21.33 14.49 24.83 66 編號 10 11 12 13 14 15 16 17 18 X坐標(biāo) /km 2 3 3 3 3 3 4 4 4 Y坐標(biāo) /km 5 1 2 3 4 5 1 2 3 礦物體 厚度 H/m 26.19 23.28 26.48 29.14 12.04 14.58 19.96 23.73 16.35 編號 19 20 X坐標(biāo) /km 4 4 Y坐標(biāo) /km 4 5 礦物體 厚度 H/m 18.01 16.29 Problems 1. Using Monte Carlo simulation , write

48、an algorithm to calculate an approximation to Pi. 2. Using Monte Carlo simulation, write an algorithm to calculate the volume trapped between the two paraboloids: ,8 22 yxz 22 3 yxz Note that the two paraboloids intersect on the elliptic cylinder: 42 22 yx 68 3. 為了計算瑞士的國土面積，根據(jù)瑞士地圖首先對地圖作出 如下測量：以由

49、西向東方向?yàn)?x軸，由南向北方向?yàn)?y軸，選 擇方便的原點(diǎn)，并從最西邊界點(diǎn)到最東邊界點(diǎn)在 x軸上的區(qū)間 適當(dāng)?shù)貏澐譃槿舾啥?，在每個分點(diǎn)的 y方向測出南邊界點(diǎn)和北 邊界點(diǎn)的 y坐標(biāo) y1和 y2，這樣就得到下表中的數(shù)據(jù)（單位 mm）。根據(jù)地圖的比例知 18mm相當(dāng)于 40km，試用測量數(shù)據(jù) 計算瑞士國土的近似面積，與它的精確值 41288平方公里比較。 x 7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56. 0 61.0 68.5 76.5 80.5 91.0 y1 44 45 47 50 50 38 30 30 34 36 34 41 45 46 y2 44

50、 59 70 72 93 100 110 110 110 117 118 116 118 118 x 96 101.0 104.0 106.5 111.5 118 123.5 136.5 142 146.0 150 157 158 y1 43 37 33 28 32 65 55 54 52 50 66 66 68 y2 121 124 121 121 121 122 116 83 81 82 86 85 68 4. 彈簧在力 F的作用下伸長 x，一定范圍內(nèi)服從虎克定律： F與 x成正比，即 F=kx， k為彈性系數(shù)?，F(xiàn)在得到一組 x,F數(shù) 據(jù)，由數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)當(dāng) F大到一定數(shù)值后，就不服從這個定律 了。試由數(shù)據(jù)確定 k，并給出不服從虎克定律時的近似公 式。 X 1 2 4 7 9 12 13 15 17 F 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1