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1、數(shù)學(xué) 第 19講 矩形、菱形與正方形 遼寧專用 命題點(diǎn) 1 矩形的性質(zhì)與判定 1 ( 20 16 營(yíng)口 6 題 3 分 ) 如圖 , 矩形 ABC D 的對(duì)角線交于點(diǎn) O , 若 AC B 30 , AB 2 , 則 OC 的長(zhǎng)為 ( ) A 2 B 3 C 2 3 D 4 2 ( 2015 丹東 7 題 3 分 ) 過(guò)矩形 ABCD 的對(duì)角線 AC 的中點(diǎn) O 作 EF AC , 交 BC 邊于點(diǎn) E , 交 AD 邊于點(diǎn) F , 分別連接 AE 、 C F . 若 AB 3 , DCF 30 , 則 EF 的長(zhǎng)為 ( ) A 2
2、 B 3 C . 3 2 D . 3 A A 3 ( 2 016 葫蘆島 16 題 3 分 ) 如圖 , 四邊形 O ABC 為矩形 , 點(diǎn) A , C 分別在 x 軸和 y 軸上 , 連接 AC , 點(diǎn) B 的坐 標(biāo)為 ( 4 , 3 ) , C A O 的平分線 與 y 軸相交于點(diǎn) D , 則點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 _ _ ___ __ (0, 43) 4 (2016朝陽(yáng) 14題 3分 )如圖 , 在平面直角坐標(biāo)系中 , 矩形 ABCO的邊 OC, OA分別在 x軸、 y軸上 , 點(diǎn) E在邊 BC上 , 將該矩形沿 AE折疊 , 點(diǎn) B 恰好落在邊 OC上的 F處若 OA 8,
3、CF 4, 則點(diǎn) E的坐標(biāo)是 __________ ( 10, 3) 5 (2014葫蘆島 20題 8分 )如圖 , 在 ABC中 , AB AC, 點(diǎn) D(不與 點(diǎn) B重合 )在 BC上 , 點(diǎn) E是 AB的中點(diǎn) , 過(guò)點(diǎn) A作 AF BC交 DE延長(zhǎng)線于點(diǎn) F, 連接 AD, BF. (1)求證: AEF BED; (2)若 BD CD, 求證:四邊形 AFBD是矩形 證明: ( 1) AF BC , AF E E DB , E 為 AB 的中點(diǎn) , EA EB , 在 AE F 和 BED 中 , AF E E DB EA EB B
4、ED A EF , AE F BED ; (2) AEF BED, AF BD, AF BD, 四邊形 AFBD是平行四邊形 , AB AC, BD CD, AD BD, 四邊形 AFBD是矩形 命題點(diǎn) 2 菱形的性質(zhì)與判定 1 (2015沈陽(yáng) 7題 3分 )順次連接對(duì)角線相等的四邊形的各邊中點(diǎn) , 所 形成的四邊形是 ( ) A 平行四邊形 B 菱形 C 矩形 D 正方形 2 (2016大連 13題 3分 )如圖 , 在菱形 ABCD中 , AB 5, AC 8, 則 菱形的面積是 ___ 3 (2015丹東 14題 3分 )在菱形
5、 ABCD中 , 對(duì)角線 AC, BD的長(zhǎng)分別是 6 和 8, 則菱形的周長(zhǎng)是 ____ B 24 20 4 (2016沈陽(yáng) 19題 8分 )如圖 , ABC ABD, 點(diǎn) E在邊 AB上 , CE BD, 連接 DE.求證: (1) CEB CBE; (2)四邊形 BCED是菱形 證明: (1) ABC ABD, ABC ABD, CE BD, CEB DBE, CEB CBE; (2) ABC ABD, BC BD, CEB CBE, CE CB, CE BD CE BD, 四邊形 BCED是平行四邊形 , BC BD,
6、四邊形 BCED是菱形 5 (2016撫順 20題 12分 )如圖 , AE BF, AC平分 BAE, 且交 BF于 點(diǎn) C, BD平分 ABF, 且交 AE于點(diǎn) D, AC與 BD相交于點(diǎn) O, 連接 CD. (1)求 AOD的度數(shù); (2)求證:四邊形 ABCD是菱形 (1) 解: AE BF , BAE ABF 180 , AC 平分 BAD , BD 平分 ABC , BA O 1 2 BAE , ABO 1 2 ABC , AOD BAO A BO 1 2 BAE 1 2 ABC 1 2 180 90
7、 ; (2)證明: AE BF, DAC ACB, AC平分 BAD, BAC DAC, ACB BAC, AB BC, 同理可證: AB AD, AD BC, 又 AD BC, 四邊形 ABCD是平行四邊形 , AB BC, 四邊形 ABCD是菱形 6 (2015鐵嶺 20題 12分 )如圖 , 在矩形 ABCD中 , AB 8, AD 6, 點(diǎn) E、 F分別在邊 CD、 AB上 (1)若 DE BF, 求證:四邊形 AFCE是平行四邊形; (2)若四邊形 AFCE是菱形 , 求菱形 AFCE的周長(zhǎng) (1)證明: 四邊形 ABCD
8、為矩形 , AB CD, AB CD, DE BF, AF CE, AF CE, 四邊形 AFCE是平行四邊形; (2) 解: 四邊形 AF CE 是菱形 , AE CE , 設(shè) DE x , 則 AE 6 2 x 2 , CE 8 x , 則 6 2 x 2 8 x , 解得: x 7 4 , 則菱形的邊長(zhǎng)為: 8 7 4 25 4 , 菱形周長(zhǎng)為: 4 25 4 25 , 故菱形 AF C E 的周長(zhǎng)為 25. 命題點(diǎn) 3 正方形的性質(zhì)與判定 1 ( 2014 鞍山 8 題 3 分 ) 如圖 , 在正方形紙片 ABC D 中
9、 , 對(duì)角線 AC 、 BD 交于點(diǎn) O , 折疊正方形紙片 ABC D , 使 AD 落在 BD 上 , 點(diǎn) A 恰好 與 BD 上的 F 重合展開(kāi)后 , 折痕 DE 分別交 AB , AC 于點(diǎn) E , G. 連接 GF . 下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 ( ) A A GE 67.5 B 四邊形 A EFG 是菱形 C BE 2OF D S DOG S 四邊形 OG EF 2 1 D 2 (2015鐵嶺 12題 3分 )在平面直角坐標(biāo)系中 , 正方形 ABCD的頂點(diǎn) A、 B、 C的坐標(biāo)分別為 ( 1, 1)、 ( 1, 1)、 (1, 1), 則頂點(diǎn) D的
10、坐標(biāo)為 _______ 3 ( 201 6 丹東 15 題 3 分 ) 如圖 , 正方形 ABC D 邊長(zhǎng)為 3 , 連接 AC , AE 平分 C A D , 交 BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E , FA AE , 交 CB 延長(zhǎng)線于點(diǎn) F , 則 EF 的長(zhǎng)為 ___ __ (1, 1) 6 2 4 (2016撫順 17題 3分 )如圖 , 點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (4, 4), 作 BA x軸 , BC y軸 , 垂足分別為 A、 C, 點(diǎn) D為線段 OA的中點(diǎn) , 點(diǎn) P從點(diǎn) A出發(fā) , 在線段 AB, BC上沿 ABC 運(yùn)動(dòng) , 當(dāng) OP CD時(shí) , 點(diǎn) P的坐標(biāo)為 __________
11、______ (4, 2)或 (2, 4) 5 (2016阜新 21題 10分 )如圖 , 在正方形 ABCD中 , 點(diǎn) E為對(duì)角線 AC上 的一點(diǎn) , 連接 BE、 DE. (1)如圖 , 求證: BCE DCE; (2)如圖 , 延長(zhǎng) BE交直線 CD于交點(diǎn) F, G在直線 AB上 , 且 FG FB. 求證: DE FG; 已知正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為 2, 若點(diǎn) E在對(duì)角線 AC上移動(dòng) , 當(dāng) BFG 為等邊三角形時(shí) , 求線段 DE的長(zhǎng) (直接寫出結(jié)果 , 不必寫出解答過(guò)程 ) (1)證明: ABCD是正方形 , AB BC AD, ABC 90 AC
12、B 45 , 同理 , ACD 45 , ACD ACB, 又 BC CD, CE CE, BCE DCE; ( 2 ) ABC D 是正方形 , AB CD , D FG FG B , C FB FBG , FG FB , F GB FBG , D FG CFB , 設(shè) DE , FG 交于點(diǎn) O , 則 FDO FBC , F OD FCB 90 , DE FG ; 解: 2 3 2. 【例 1 】 ( 2016 威海 ) 如圖 , 在矩形 AB CD 中 , AB 4 , BC 6 , 點(diǎn)
13、 E 為 BC 的中點(diǎn) , 將 AB E 沿 AE 折疊 , 使點(diǎn) B 落在矩形內(nèi)點(diǎn) F 處 , 連 接 CF , 則 CF 的長(zhǎng)為 ( ) A . 9 5 B . 12 5 C . 16 5 D . 18 5 D 【 分析 】 連接 BF, 構(gòu)造 BCF, 根據(jù)已知條件易求得 AE的長(zhǎng) , 在 Rt ABE中 , 利用面積公式求出 BM的長(zhǎng) , 由折疊的性質(zhì)知 EF BE且 BE EC, 根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半可得 BCF是直角三角形 , 最 后由勾股定理即可求解 【 方法指導(dǎo) 】 與矩形有關(guān)的計(jì)算: (1)若題目中涉及矩形的折疊 , 要注 意折疊前后對(duì)應(yīng)線段
14、相等 , 即被折疊的角折疊之后在任何位置依舊是直 角; (2)矩形四個(gè)角都是直角 , 則想到將所求或涉及的線段放在直角三角形 中 , 即常用到勾股定理 , 特殊角三角函數(shù)的計(jì)算; (3)常結(jié)合矩形對(duì)角線相等且互相平分的性質(zhì) , 故可根據(jù)矩形對(duì)角線的 關(guān)系應(yīng)用全等三角形的判定或等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1 如圖 , 四邊形 ABCD的對(duì)角線互相平分 , 要使它成為矩形 , 那么 需要添加的條件是 ( ) A AB CD B AD BC C AB BC D AC BD D 2 ( 2 016 蘇州改編 ) 矩形 OA B C 在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所 示 , 點(diǎn)
15、B 的坐標(biāo)為 (3 , 4 ) , D 是 OA 的中點(diǎn) , 點(diǎn) E 在 AB 上 , 當(dāng) C DE 的周長(zhǎng)最小時(shí) , 點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 _ ___ ___ (3, 43) 【例 2 】 如圖 , 菱形 AB CD 中 , 點(diǎn) O 是對(duì)角線 AC 的三等分點(diǎn) , 連接 OB 、 OD , 且 OB OC O D. 已知 AC 3 , 那么菱形的邊長(zhǎng)為 ( ) A . 3 B 2 C . 5 1 2 D . 3 2 【分析】 由菱形的性質(zhì)易得 CAB A CB , 根據(jù)已知條件得 OB OC 1 3 AC , 由等腰三角形的性質(zhì)得 BOC ABC , 根
16、據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比 例列比例式即可求出菱形的邊長(zhǎng) A 【 方法指導(dǎo) 】 1.菱形判定的一般思路:首先判定四邊形是平行四邊形 , 然后根據(jù)平行四邊形的鄰邊相等 , 來(lái)判定是菱形 , 這是判定菱形的最 基本思路 , 同時(shí)也可以考慮其他判定方法 , 例如若能判定對(duì)角線垂直即 可應(yīng)用對(duì)角線來(lái)判定; 2 應(yīng)用菱形性質(zhì)計(jì)算的一般思路:菱形四邊相等;菱形對(duì)角線相互垂 直:常借助勾股定理和銳角三角函數(shù)來(lái)求線段的長(zhǎng) , 有一個(gè)角為 60 的 菱形 , 60 所對(duì)的對(duì)角線將菱形分成兩個(gè)全等的等邊三角形也可以根 據(jù)菱形既是軸對(duì)稱圖形 , 又是中心對(duì)稱圖形 , 結(jié)合它的對(duì)稱性得出一些 結(jié)論 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1 (201
17、6遵義 )如圖 , 在 ABCD中 , 對(duì)角線 AC與 BD交于點(diǎn) O, 若增 加一個(gè)條件 , 使 ABCD成為菱形 , 下列給出的條件不正確的是 ( ) A AB AD B AC BD C AC BD D BAC DAC C 2 如圖 , AE BF, AC平分 BAE, 交 BF于點(diǎn) C, BD平分 ABC, 交 AE于點(diǎn) D, 連接 CD. (1)求證:四邊形 ABCD是菱形; (2)若 AB 5, AC 6, 求 AE, BF之間的距離 (1)證明: AE BF, ADB DBC, DAC BCA, AC、 BD分別是 BAD、 ABC的平分線 ,
18、 DAC BAC, ABD DBC, BAC ACB, ABD ADB, AB BC, AB AD, AD BC, AD BC, 四邊形 ABCD是平行四邊形 , AD AB, 四邊形 ABCD是菱形; (2) 解:如圖 , 過(guò) A 作 AM BC 于 M , 則 AM 的長(zhǎng)是 AE , BF 之間 的距離 , AC 、 BD 交于點(diǎn) O , 四邊形 AB CD 是菱形 , AC BD , AO OC 1 2 AC 1 2 6 3 , AB 5 , 在 Rt A OB 中 , 由勾股定理得: BO 4 , BD
19、 2BO 8 , 菱形 ABC D 的面積為 1 2 AC BD 1 2 6 8 24 , 四邊形 AB CD 是菱 形 , BC AB 5 , 5 AM 24 , AM 24 5 , 即 AE , B F 之間的距離是 24 5 . 【 例 3】 如圖 , 在正方形 ABCD中 , E、 F分別是邊 BC、 CD上的點(diǎn) , EAF 45 , ECF的周長(zhǎng)為 4, 則正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 【 分析 】 將 DAF繞點(diǎn) A順時(shí)針轉(zhuǎn) 90 時(shí)到 BAF位置后 , 再根據(jù)旋 轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出 EAF 45 , 進(jìn)而得出 FAE EAF, 即可 EF EC FC FC CE EF FC BC BF 4, 得出正方形邊長(zhǎng)即可 A 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1 (2016畢節(jié) )如圖 , 正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為 9, 將正方形折疊 , 使頂 點(diǎn) D落在 BC邊上的點(diǎn) E處 , 折痕為 GH.若 BE EC 2 1, 則線段 CH的長(zhǎng) 是 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 B 2 如圖 , 正方形 ABC D 和正方形 C EF G 中 , 點(diǎn) D 在 CG 上 , BC 1 , CE 3 , H 是 AF 的中點(diǎn) , 那么 CH 的長(zhǎng)是 ___ _ 5