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中考數(shù)學(xué)第一輪知識點習(xí)題復(fù)習(xí) 銳角三角函數(shù)和解直角三角形課件.ppt

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1、銳角三角函數(shù)和解直角三角形 第五章 圖形的性質(zhì) (一 ) 1 銳角三角函數(shù)的意義 : Rt ABC中 , 設(shè) C 90 , 為 Rt ABC的一個銳角 , 則: 的正弦 sin ____________; 的余弦 cos ____________; 的正切 tan ____________ 的對邊 斜邊 的鄰邊 斜邊 的對邊 的鄰邊 2 30 , 45 , 60 的三角函數(shù)值 如下表: 正弦 余弦 正切 30 __ 1 2 __ __ 3 2 __ __ 3 3 __ 45 __ 2 2 __ __ 2 2 __ __1 __ 60 _

2、_ 3 2 __ __ 1 2 __ __ 3 __ 3.同角三角函數(shù)之間的關(guān)系: sin2 cos2 ____; tan ____________ 互余兩角三角函數(shù)之間的關(guān)系 :若 90 (0 90 , 0 90 ), 則 sin cos, cos sin, tantan 1. 函數(shù)的增減性: (0 90 ) (1)sin, tan的值都隨 __________________; (2)cos隨 _____________________ 1 sin cos 增大而增大 增大而減小 4 解直角三角形的概念、方法: 解直角三角形:由直角三角形中除直角外的已知

3、元素 , 求出所有未知 元素的過程叫做解直角三角形 直角三角形中的邊角關(guān)系:在 Rt ABC中 , C 90 , A, B, C所對的邊分別為 a, b, c, 則: (1)邊與邊的關(guān)系: _________________; (2)角與角的關(guān)系: ______________________; (3)邊與角的關(guān)系: __________________________________________________________ a2 b2 c2 A B 90 si n A c os B ac , cos A si n B bc , ta n A ab ,

4、 tan B ba 5 直角三角形的邊角關(guān)系在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用 , 它經(jīng)常涉 及測量、工程、航海、航空等 , 其中包括了一些概念 , 一定要根據(jù)題 意明白其中的含義才能正確解題 (1)鉛垂線:重力線方向的直線; (2)水平線:與鉛垂線垂直的直線 , 一般情況下 , 地平面上的兩點確定 的直線我們認(rèn)為是水平線; (3)仰角:向上看時 , 視線與水平線的夾角; (4)俯角:向下看時 , 視線與水平線的夾角; ( 5 ) 坡角:坡面與水平面的夾角; ( 6 ) 坡度: 坡面的鉛直高度與水平寬度的比叫做坡度 ( 或坡比 ) , 一般情況 下 , 我們用 h 表示坡的鉛直高度 ,

5、 用 l 表示坡的水平寬度 , 用 i 表示坡 度 , 即 i h l tan , 顯然 , 坡度越大 , 坡角就越大 , 坡面也就越陡; (7)方向角:指北或指南的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于 90 的銳角 叫做方向角 注意:東北方向指北偏東 45 方向 , 東南方向指南偏東 45 方向 , 西 北方向指北偏西 45 方向 , 西南方向指南偏西 45 方向我們一般畫 圖的方位為“上北下南 , 左西右東” 1 當(dāng)有些 圖 形不是直角三角形 時 , 應(yīng) 大膽 嘗試 添加 輔 助 線 , 把它 們 分 割成一些直角三角形或矩形 , 把 實際問題轉(zhuǎn) 化 為 直角三角形 進(jìn) 行解決 2

6、解直角三角形的類型和解法 已知條件 圖 形 解法 一直角 邊 和一 銳 角 ( a , A ) B 90 A , c a sin A , b a tan A 已知斜 邊 和一個 銳 角 ( c , A ) B 90 A , a c si n A, b c cos A 已知兩直角 邊 ( a , b ) c a 2 b 2 , 由 t an A a b 求 A , B 90 A 已知斜 邊 和一條 直角 邊 ( c , a ) b c 2 a 2 , 由 si n A a c 求 A , B 90 A

7、 3.解直角三角形小口 訣 : 有斜用弦 , 無斜用切 ,寧乘毋除,取原避中 有斜用弦:已知斜邊時用正弦或余弦; 無斜用切:與直角邊有關(guān),沒斜邊時用正切; 寧乘毋除:能用乘法時盡量回避除法運算,減小計算量和誤差; 取原避中:計算時盡量使用原始數(shù)據(jù),少用計算過程中得到的近似數(shù) 以減小誤差 1 ( 2014 錦州 ) 計算: tan 45 1 3 ( 3 1) 0 ____ 2 ( 2014 本溪 ) 在 ABC 中 , B 45 , cos A 1 2 , 則 C 的度數(shù)是 __ _ __ 3 ( 2013 鞍山 ) ABC 中 , C 90

8、 , AB 8 , c os A 3 4 , 則 BC 的長 __ _ __ 4 ( 2015 阜新 ) 如圖 , 為了測量樓的高度 , 自樓的頂部 A 看地面上的一點 B , 俯角為 30 , 已知地面上的這點與樓的水平距離 BC 為 30 m , 那么樓 的高度 AC 為 __ ____ __ _ __ m ( 結(jié)果保留根號 ) 2 3 75 2 7 10 3 5 (2015大連 )如圖 , 從一個建筑物的 A處測得 對面樓 BC的頂部 B的仰角為 32, 底部 C的俯角 為 45 , 觀測點與樓的水平距離 AD為 31 m, 則 樓 BC的高度約為 ______m (

9、結(jié)果取整數(shù) , 參考 數(shù)據(jù): sin32 0.5, cos32 0.8, tan32 0.6) 6 (2015撫順 )如圖 , 在 A處看建筑物 CD的頂 端 D的仰角為 , 且 tan 0.7, 向前行進(jìn) 3米到達(dá) B處 , 從 B處看 D的仰角為 45 (圖中各點均在同 一平面內(nèi) , A, B, C三點在同一條直線上 , CD AC), 則建筑物 CD的高度為 ____米 50 7 7 (2014撫順 )如圖 , 河流兩岸 a, b互相平行 , 點 A, B是河岸 a上的兩 座建筑物 , 點 C, D是河岸 b上的兩點 , A, B的距離約為 200米 , 某人在 河岸 b上的點 P處測

10、得 APC 75 , BPD 30 , 則河流的寬度約為 _______米 100 8 (2014阜新 )如圖 , 將矩形 ABCD沿 AE折疊 , 點 D恰好落在 BC邊 上的點 F處 , 如果 AB AD 2 3, 那么 tan EFC值是 ____ 52 9 ( 2015 盤錦 ) 如圖 , 小明家小區(qū)空地上有兩棵筆直的樹 CD , EF , 一天 , 他在 A 處測得樹頂 D 的仰角 DAC 30 , 在 B 處測得樹頂 F 的仰角 FBE 45 , 線段 BF 恰好經(jīng)過樹頂 D , 已知 A , B 兩處的距離為 2 米 , 兩棵樹之間的距離 CE 3 米 , A

11、 , B , C , E 四點在一條直線上 , 求樹 EF 的高度 ( 3 1.7 , 2 1.4 , 結(jié)果保留一位小數(shù) ) 解:設(shè) CD x 米 , 在 Rt BCD 中 , DBC 45 , BC CD x , 在 Rt D AC 中 , D AC 30 , ta n DAC CD AC , x 2 3 x , 解得 x 3 1 , BC CD 3 1 , 在 Rt FBE 中 , DBC 45 , FE BE BC CE 3 1 3 5.7 , 答:樹 EF 的高度約 為 5.7 米 10 (2015本溪 )

12、張老師利用休息時間組織學(xué)生測量山坡上一棵大樹 CD 的高度 , 如圖 , 山坡與水平面成 30 角 (即 MAN 30 ), 在山坡底部 A處測得大樹頂端點 C的仰角為 45 , 沿坡面前進(jìn) 20米 , 到達(dá) B處 , 又測 得樹頂端點 C的仰角為 60 (圖中各點均在同一平面內(nèi) ), 求這棵大樹 CD 的高度 (結(jié)果精確到 0.1米 , 參考數(shù)據(jù): 1.732) 解:如圖 , 過 B 作 BE CD 交 CD 延長線于 E , CAN 45 , MAN 30 , C AB 15 , CBE 60 , DBE 30 , CBD 30 , CBD

13、CAB ACB , CAB A CB 15 , AB BC 20 , 在 Rt BCE 中 , CBE 60 , BC 20 , CE BC sin CBE 20 3 2 10 3 , BE BC c os CBE 20 0.5 10 , 在 Rt DB E 中 , DBE 30 , BE 10 , DE BE tan DBE 10 3 3 10 3 3 , CD CE DE 10 3 10 3 3 20 3 3 1 1.5 , 答:這棵大樹 CD 的高度大約為 1 1. 5 米 11 ( 201 5

14、 錦州 ) 如圖 , 三沙市一艘海監(jiān)船某天在黃巖島 P 附近海域由南向北巡航 , 某一時刻航行到 A 處 , 測得 該島在北偏東 30 方向 , 海監(jiān)船以 20 海里 / 時的速度繼 續(xù)航行 , 2 小時后到達(dá) B 處 , 測得該島在北偏東 75 方 向 , 求此時海監(jiān)船與黃巖島 P 的距離 BP 的長 ( 參考數(shù) 據(jù): 2 1.41 4 , 結(jié)果精確到 0 .1) 解:過 B 作 BD AP 于 D , 由已知條件得: AB 20 2 40 , P 75 30 45 , 在 Rt AB D 中 , AB 40 , A 30 , BD 1 2 AB

15、 20 , 在 Rt BDP 中 , P 45 , PB 2 BD 20 2 28.3 ( 海 里 ) 答:此時海監(jiān)船與黃巖島 P 的距離 BP 的長約為 28. 3 海里 12 ( 2015 葫蘆 島 ) 如圖 , 小島 A 在港口 B 的北偏東 50 方向 , 小島 C 在港口 B 的北偏西 25 方向 , 一艘輪船以 每小時 20 海里的速度從港口 B 出發(fā)向小島 A 航行 , 經(jīng)過 5 小時到達(dá)小島 A , 這時測得小島 C 在小島 A 的北偏西 70 方向 , 求小島 A 距離小島 C 有多少海里? ( 最后結(jié)果精確到 1 海里 , 參考數(shù)據(jù): 2

16、1.1 414 , 3 1.7 32 ) 解:由題意得 , ABC 25 50 75 , B AC 180 70 50 60 , 在 ABC 中 , C 45 , 過點 B 作 BD AC , 垂足為點 D , AB 20 5 100 , 在 Rt AB D 中 , BAD 60 , BD AB s in 60 100 3 2 50 3 , AD AB c os 60 100 1 2 50 , 在 Rt BCD 中 , C 45 , CD BD 50 3 , AC AD CD 50

17、50 3 137 ( 海 里 ) , 答:小島 A 距離小島 C 約是 137 海里 銳角三角函數(shù)的定義 【 例 1】 ABC中 , a, b, c分別是 A, B, C的對邊 , 如果 a2 b2 c2, 那么下列結(jié)論正確的是 ( ) A csinA a B bcosB c C atanA b D ctanB b 【 點評 】 本題 主要考查了三角函數(shù)的定義和勾股定理的逆定理 解決本題 的關(guān)鍵是掌握好三角函數(shù)的定義 A 對應(yīng)訓(xùn)練 1 ( 2014 武漢 ) 如圖 , PA , PB 切 O 于 A , B 兩點 , CD 切 O 于點 E , 交 PA , PB

18、 于 C , D. 若 O 的半徑為 r , PC D 的周長等于 3r , 則 tan AP B 的值是 ( ) A . 5 12 13 B . 12 5 C . 3 5 13 D . 2 3 13 B 銳角三角函數(shù)的計算 【 例 2】 (1)tan30 sin60 cos230 sin245 tan45 . 解:原式 33 32 ( 32 ) 2 12 12 34 12 34 (2) ( 遼陽模擬 ) 已知 , 均為銳角 , 且滿足 | si n 12 | ( tan 1 ) 2 0 , 則 __ _ __ __ 75 【

19、點評 】 利用特殊角的三角函數(shù) 值進(jìn) 行數(shù)的運算 , 往往與 絕對值 、 乘方、開方、二次根式相 結(jié) 合 準(zhǔn)確地 記 住三角函數(shù) 值 是解決此 類題 目的關(guān) 鍵 , 所以必 須 熟 記 對應(yīng)訓(xùn)練 2 計算: c os 2 60 cos 6 01 si n 3 0 tan 2 45 si n 2 45 . 解:原式 ( 12 ) 2 1 2 1 12 1 12 14 解直角三角形 【例 3 】 ( 2 0 15 襄陽 ) 如圖 , AD 是 ABC 的中線 , ta n B 1 3 , c os C 2 2 , AC 2 . 求: (1)BC

20、的長; (2) si n A DC 的值 解:過點 A 作 AE BC 于點 E , co s C 2 2 , C 45 , 在 Rt ACE 中 , CE AC c os C 1 , AE CE 1 , 在 Rt ABE 中 , tan B 1 3 , 即 AE BE 1 3 , BE 3AE 3 , BC BE CE 4 ( 2) AD 是 ABC 的中線 , CD 1 2 BC 2 , DE CD CE 1 , AE BC , DE AE , A DC 45 , sin A DC 2 2 【 點評 】

21、 將三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形時,注意盡量不要破壞所給條件 對應(yīng)訓(xùn)練 3 ( 錦州模擬 ) 在 ABC 中 , AD 是 BC 邊上的高 , C 45 , si n B 1 3 , AD 1. 求 BC 的長 解:在 Rt ABD 中 , si n B AD AB 1 3 , 又 AD 1 , AB 3 , BD 2 AB 2 AD 2 , BD 3 2 1 2 2 2 . 在 Rt A DC 中 , C 45 , CD AD 1. BC BD DC 2 2 1 解直角三角形的實際運用 【例 4 】 ( 20 14

22、廣安 ) 為鄧小平誕辰 1 10 周年獻(xiàn)禮 , 廣安市政府對城市建 設(shè)進(jìn)行了整改 , 如圖 , 已知斜坡 AB 長 60 2 米 , 坡角 ( 即 BAC) 為 45 , BC AC , 現(xiàn)計劃在斜坡中點 D 處挖去部分斜坡 , 修建一個平行于水平線 CA 的休閑平臺 DE 和一條新的斜坡 BE( 下面兩個小題結(jié)果都保留根號 ) (1) 若修建的斜坡 BE 的坡比為 3 1 , 求休閑平臺 DE 的長是多少米? (2) 一座建筑物 GH 距離 A 點 33 米遠(yuǎn) ( 即 AG 33 米 ) , 小亮在 D 點測得建 筑物頂部 H 的仰角 ( 即 H DM) 為 30 . 點

23、 B , C , A , G , H 在同一個平面 內(nèi) , 點 C , A , G 在同一條直線上 , 且 HG CG , 問建筑物 GH 高為多少 米? 解: ( 1) FM CG , B DF BAC 45 , 斜坡 AB 長 60 2 米 , D 是 AB 的中點 , BD 30 2 米 , DF BD cos BD F 30 2 2 2 30( 米 ) , BF DF 30 米 , 斜坡 BE 的坡比為 3 1 , BF EF 3 1 , 解得 EF 10 3 ( 米 ) , DE DF EF ( 30 10 3 ) 米答:

24、休閑平臺 DE 的長 是 (30 10 3 ) 米 (2) 設(shè) GH x 米 , 則 MH GH GM (x 30) 米 , DM AG AP 33 30 63 ( 米 ) , 在 Rt D MH 中 , t an 30 MH DM , 即 x 30 63 3 3 , 解得 x 30 21 3 , 答:建筑物 GH 的高為 ( 30 21 3 ) 米 【 點評 】 此 題 考 查 了坡度、坡角 問題 以及俯角、仰角的定 義 要注意 根據(jù) 題 意構(gòu)造直角三角形 , 并解直角三角形;注意掌握數(shù)形 結(jié) 合思想與 方程思想的 應(yīng) 用 對應(yīng)訓(xùn)練 4 (

25、2015 鞍山 ) 如圖 , 一艘海上巡邏船在 A 地巡航 , 測得 A 地在觀測站 B 的南偏東 45 方向上 , 在觀測站 C 的南偏西 60 方向上 , 觀測站 B 在觀 測站 C 的正西方向 , 此時 A 地與觀測站 B 的距離為 20 2 n mile / h . ( 1 ) 求 A 地與觀測站 C 的距離是多少海里 ( 2 ) 現(xiàn)收到故障船 D 的求救信號 , 要求巡邏船從 A 地馬上前去救援 ( C , A , D 共線 ) , 已知 D 船位于觀測站 B 的南偏西 15 方向上 , 巡邏船的速度是 12 n mile / h , 求巡邏船從 A 地到達(dá)故障船 D 處需

26、要多長時間 ( 結(jié)果保留小數(shù)點后一位 , 參考數(shù)據(jù): 2 1.41 , 3 1.73 , 5 2.2 4 ) 解: ( 1 ) 過點 A 作 AE BC 于點 E , 由題意可知 ABE 45 , A CE 30 , 在 Rt AEB 中 , AB 20 2 n mile , 所以 AE AB sin ABE 20 2 2 2 20 ( n mile ) , 在 Rt AE C 中 , AC AE sin ACE 20 1 2 40 ( n mile ) , 所 以 A 地與觀測站 C 的距離是 40 n mile ( 2 ) 過點 A 作

27、 AF BD 于點 F , 由題意可知 ABF 45 15 60 , 在 Rt AF B 中 , AF AB sin ABF 20 2 3 2 10 6 ( n mile ) , 因為 BAC 180 45 30 105 , 所以 D 105 60 45 , 在 Rt A F D 中 , AD AF sin D 10 6 2 2 20 3 ( n mile ) , 20 3 12 5 3 3 2.9 ( h ) , 所以巡邏船從 A 地到達(dá)故障船 D 處需要 2.9 h 7.運用三角函數(shù)解決實際應(yīng)用問題 試題 (

28、2015 鐵嶺 ) 如圖 , 大樓 AN 上懸掛一條幅 AB , 小穎在坡面 D 處 測得條幅頂部 A 的仰角為 30 , 沿坡面向下走到坡腳 E 處 , 然后向大樓 方向繼續(xù)行走 10 米來到 C 處 , 測得條幅的底部 B 的仰角為 45 , 此時 小穎距大樓底端 N 處 20 米 , 已知坡面 DE 20 米 , 山坡的坡度 i 1 3 ( 即 tan DEM 1 3 ) , 且 D , M , E , C , N , B , A 在同一平面內(nèi) , E , C , N 在同一條直線上 , 求條幅的長度 ( 結(jié)果精確到 1 米 , 參考數(shù)據(jù): 3 1.7 3 , 2

29、1.4 1 ) 審題視角 (1)分清已知條件和未知條件 (待求 ); (2)將問題集中到一個直角三角形中; (3)利用直角三角形的邊角之間關(guān)系 (三角函數(shù) )求解 規(guī)范解題 解:過點 D 作 DH AN 于 H , 過點 E 作 FE DH 于 F , 坡面 DE 20 米 , 山坡的坡度 i 1 3 , EF 10 米 , DF 10 3 米 , DH DF EC CN (10 3 3 0) 米 , A DH 30 , AH 3 3 DH (10 10 3 ) 米 , AN AH EF (20 10 3 ) 米 , BCN

30、 45 , CN BN 20 米 , AB AN BN 10 3 1 7( 米 ) , 答:條幅的長度是 17 米 答題思路 解直角三角形 應(yīng) 用 題 的一般步 驟為 : 第一步:分析 理解 題 意 , 分清已知與未知 , 畫出示意 圖 ; 第二步:建模 根據(jù)已知條件與求解目 標(biāo) , 把已知條件與求解量盡量 集中在有關(guān)的三角形中 , 建立一個解直角三角形的數(shù)學(xué)模型; 第三步:求解 利用三角函數(shù)有序地解出三角形 , 求得數(shù)學(xué)模型的解 ; 第四步: 檢驗 檢驗 上述所求的解是否符合 實際 意 義 , 從而得出 實際 問題 的解 . 20.忽略直角三角形出錯

31、 試題 在 A B C 中 , A , B , C 的對邊分別為 a , b , c , 且 a b c 3 4 5 , 求證: si n A si n B 75 . 錯解 設(shè) a 3k , b 4k , c 5k , 則 si n A ac 3k5k 35 , si n B bc 4k5k 45 , si n A si n B 35 45 75 . 剖析 本題中沒有說明 C 90 ,而直接應(yīng)用正弦、余弦函數(shù)的定 義是錯誤的,應(yīng)先證明 ABC為直角三角形,且 C 90 后才能用 定義 正解 設(shè) a 3k , b 4k , c 5k ( k 0 ) , a 2 b 2 ( 3k ) 2 ( 4k ) 2 25k 2 c 2 , ABC 是以 c 為斜邊的直角三角形 C 90 , 則 si n A a c 3k 5k 3 5 , si n B b c 4k 5k 4 5 , si n A si n B 3 5 4 5 7 5

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