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通過(guò)優(yōu)化柔性橢球體對(duì)欠驅(qū)動(dòng)冗余度機(jī)械臂的自重構(gòu)
何廣平 北方工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 北京 100041
陸震 北京航空航天大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院 北京 100083
摘要：根據(jù)優(yōu)化技術(shù)，欠驅(qū)動(dòng)冗余度機(jī)械臂的多模型特征、柔性操作的測(cè)量、自重構(gòu)的控制方法已被調(diào)查研究。分析了空間關(guān)節(jié)的結(jié)構(gòu)變形和欠驅(qū)動(dòng)冗余度機(jī)械臂柔性操作之間的關(guān)系，處于鎖定模式下欠驅(qū)動(dòng)冗余度機(jī)械臂的一種新型柔性橢球體操作的測(cè)量被提出，能應(yīng)用于獲得自重構(gòu)控制的最理想結(jié)構(gòu)。因此，基于簡(jiǎn)諧振動(dòng)隨時(shí)間變化非線性控制方法認(rèn)為能完成其自重構(gòu)。被動(dòng)關(guān)節(jié)三連桿欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂等仿真例子在一些調(diào)查方面起重要作用。
關(guān)鍵詞：欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂 自重構(gòu) 優(yōu)化 非線性控制
0 前言
欠驅(qū)動(dòng)裝置和機(jī)械臂能應(yīng)用于許多領(lǐng)域，例如太空技術(shù)、合作機(jī)械人、變形裝置。在太空領(lǐng)域里，由于沒(méi)有失去有用功能或了解系統(tǒng)的自重構(gòu)。當(dāng)驅(qū)動(dòng)構(gòu)件出現(xiàn)一些問(wèn)題時(shí)，基于欠驅(qū)動(dòng)技術(shù)的誤差出現(xiàn)是不可避免的。欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂也能被設(shè)計(jì)為合作機(jī)器人，也就是說(shuō)COBOT。COBOT 的驅(qū)動(dòng)不是作驅(qū)動(dòng)裝置而是提供動(dòng)力學(xué)非函數(shù)約束。COBOT 需要操作人員提供外力才能完成準(zhǔn)確的應(yīng)用，例如在生物工程學(xué)上外科手術(shù)和半導(dǎo)體制造等等。在機(jī)械領(lǐng)域機(jī)械變形有多種模態(tài)，并能從一種模態(tài)向另一種模態(tài)轉(zhuǎn)變。引用不同模態(tài)之間的改變可能導(dǎo)致連桿數(shù)目的變化或機(jī)械變形的約束限制。很顯然，欠驅(qū)動(dòng)控制、冗余度驅(qū)動(dòng)和柔性裝置是不可避免的。因此，欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)逐漸的成為研究領(lǐng)域一個(gè)具有吸引力的話題。
從力學(xué)角度看，研究欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)是不可能控制的。被動(dòng)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)是必須靠與動(dòng)力裝置連接。Jain等表明動(dòng)力裝置是欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的非完整性約束是二階的。在機(jī)械實(shí)際上，與非完整性約束廣泛被研究比較也有100多年歷史，然而，關(guān)于這種系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃和控制技術(shù)的研究只是近10的事情，研究多針對(duì)輪式移動(dòng)機(jī)器人、跳躍機(jī)器人、航空航天機(jī)器人等一階非完整性約束系統(tǒng)。關(guān)于欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的研究觀點(diǎn)，Anthoney等研究運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，Arai 等提出隨時(shí)間變化方法完成系統(tǒng)的位置控制。Lee 等為欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人提供了多種非線性控制方法。欠驅(qū)動(dòng)研究的這些方法已從本質(zhì)上揭示了它是非線性的，并且是隨時(shí)間變化的、抽象的。事實(shí)上，Brockett 已證實(shí)這并沒(méi)有消除阻礙和穩(wěn)定給定結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的靜電狀況反饋。很顯然，非線性系統(tǒng)的特征在組合空間多自由度是可以控制的。所以，非線性系統(tǒng)的控制研究受到更多的關(guān)注。
欠驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)和機(jī)械臂是對(duì)傳統(tǒng)機(jī)械設(shè)計(jì)基本原理相違背的，傳動(dòng)機(jī)械設(shè)計(jì)基本原理認(rèn)為，原動(dòng)件的數(shù)目要與自由度的數(shù)目相等時(shí)，機(jī)構(gòu)才具有確定的運(yùn)動(dòng)。欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂首先被提出并不是由于它的價(jià)值優(yōu)點(diǎn)，但一些研究表明，欠驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的故意設(shè)計(jì)也是很有價(jià)值的。例如，Rivhter 等獲得由柔性欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂多維受力的測(cè)量。Nakamura 等設(shè)計(jì)出了輪式滾動(dòng)接觸的非完整機(jī)器人和平面四連桿二驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的控制。He 等針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)冗余度機(jī)械臂提出一種自由碰撞運(yùn)動(dòng)規(guī)劃演算法。從以上討論的結(jié)果來(lái)看，我們可推斷出在研究欠驅(qū)動(dòng)時(shí)，可能遇到一些未被發(fā)現(xiàn)的新問(wèn)題，如所提到的技術(shù)和理論的形成。因此，我們改善這裝置具有很大的潛能性。
這篇論文中，我們對(duì)欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的靜態(tài)特征和自重構(gòu)控制方法進(jìn)行探索與研究。
1 柔性橢球體模型
機(jī)械硬度是機(jī)械臂的一個(gè)重要要素，它是用來(lái)抵抗受力和阻礙力的能力。對(duì)于開(kāi)式鏈接機(jī)械臂而言，鏈接部分是非常重要的部分。所以末端位姿的變形將會(huì)對(duì)連桿帶來(lái)不良影響。轉(zhuǎn)矩可以近似滿足如下方程：
i=1，2，…，n （1）
式中 ——關(guān)節(jié) i 的轉(zhuǎn)矩
——關(guān)節(jié) i 的變形量
——關(guān)節(jié) i 的硬度系數(shù)
如果忽略關(guān)節(jié) i 的重力和摩擦力不計(jì)，假設(shè)機(jī)械臂末端位姿力矢，則轉(zhuǎn)矩方程又可以寫成：
（2）
式中
——關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)矩
——雅可比矩陣
眾所周知，關(guān)節(jié)有會(huì)有變形，機(jī)械臂末端位姿有如下關(guān)系式：
（3）
式中 ——機(jī)械臂末端位姿矢量
——關(guān)節(jié)的位姿矢量
將（1）式寫成矩陣的形式，結(jié)合（2）、（3）式，經(jīng)簡(jiǎn)單的計(jì)算，和F之間的關(guān)系如下：
（4）
式中
如果定義
（6）
（6）式是末端位姿的柔性矩陣。然而，在太空工作強(qiáng)度矩陣一致。柔性矩陣C可以用來(lái)測(cè)量機(jī)械臂的靜態(tài)特征。矩陣C也有雅可比函數(shù)功能。因此，它在組合和構(gòu)造要素較大范圍內(nèi)是可改變的，在穩(wěn)定條件下機(jī)械臂的可變特征能用于完成一些應(yīng)該的復(fù)雜的操作。如裝配、拋光、維修等等。由（5）、（6）式可知矩陣C是對(duì)稱性矩陣。
如果定義
（7）
對(duì)矩陣C進(jìn)行微分，方程式（7）我們又可以得到
（8）
式中，i=1,2,3,···，m應(yīng)用了矩陣C的單一性。因此，是其對(duì)稱矩陣，有如下關(guān)系：
（9）
式（9）被描述為橢球體曲線方程，當(dāng)橢球體的主要曲線與矩陣C的單一值相等時(shí)，這橢球體也被認(rèn)為是一般柔性橢球體GFE。由于直觀原因，圖一中平面2連桿機(jī)械臂的的連桿長(zhǎng)，GFE如圖（2）和（3）所示。
圖一 平面2R桿機(jī)械臂
圖2 平面2R桿全驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的GFE模型
圖3 平面2R桿全驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的GFE模型
這些圖示表明測(cè)量是需要依賴組合和機(jī)構(gòu)要素。然而全驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂并不能改變其機(jī)構(gòu)要素。因此，由于不同的構(gòu)件（圖2），而不是結(jié)構(gòu)要素（從圖2改變到圖3），GFE模型是可以改變的。當(dāng)被動(dòng)關(guān)節(jié)被引進(jìn)作為全驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂時(shí)，為了方便使用，假設(shè)這些被動(dòng)關(guān)節(jié)具有制動(dòng)裝置和位置控制，以便被動(dòng)關(guān)節(jié)能在自由模式和鎖定模式下進(jìn)行制動(dòng)。然而在運(yùn)動(dòng)學(xué)上，欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂揭示了一些冗余度連桿問(wèn)題，并沒(méi)有表明在輸入方式下的自運(yùn)動(dòng)不如工作狀態(tài)下的自運(yùn)動(dòng)。另一方面，被動(dòng)關(guān)節(jié)的制動(dòng)模式能使欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂具有重構(gòu)能力,系統(tǒng)具有敏捷性而使其能適合不同的工作。
2. 柔性矩陣
假設(shè)在欠驅(qū)動(dòng)冗余度機(jī)械臂中s連桿為被動(dòng)關(guān)節(jié) ，被動(dòng)關(guān)節(jié)裝有制動(dòng)裝置，當(dāng)被動(dòng)關(guān)節(jié)處于自由狀態(tài)時(shí)，其速度運(yùn)動(dòng)方程可以寫成為：
（10）
式中 ——機(jī)械臂末端位姿矢量
——驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的雅可比矩陣
——分別為驅(qū)動(dòng)和被動(dòng)機(jī)械臂的廣義坐標(biāo)矢量
當(dāng)機(jī)械臂中被動(dòng)關(guān)節(jié)處于鎖定狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程可變?yōu)?
（11）
式中 ——機(jī)械臂末端位姿矢量
——鎖定狀態(tài)下被動(dòng)關(guān)節(jié)機(jī)械臂的雅可比矩陣
——驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的機(jī)械臂廣義坐標(biāo)
很顯然，方程（11）和（3）是同一形式，方程（10）和（11）表明欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)學(xué)上具有不同的模式。換句話說(shuō)，在運(yùn)動(dòng)學(xué)上系統(tǒng)具有多中模式特征。圖（4）平面3R連桿機(jī)械臂就是很好的例子。機(jī)械臂的第二關(guān)節(jié)是被動(dòng)關(guān)節(jié)，其他的都是驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)。當(dāng)被動(dòng)關(guān)節(jié)處于自由狀態(tài)時(shí)，被選做為廣義坐標(biāo)變量。如果被動(dòng)關(guān)節(jié)處于自鎖狀態(tài)，機(jī)械臂的維數(shù)將變?yōu)?維，這廣義坐標(biāo)變量為，顯然由于，但雅可比矩陣有如下關(guān)系：
圖4 平面3R桿機(jī)械臂
由于欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂存在不同的運(yùn)動(dòng)模式，一種可以用來(lái)優(yōu)化和機(jī)械臂的機(jī)構(gòu)組合及自重構(gòu)以使用不同的工作。預(yù)測(cè)如何完成基于欠驅(qū)動(dòng)下的全驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂操作是不可避免的問(wèn)題。不象全驅(qū)動(dòng)冗余度機(jī)械臂那樣，欠驅(qū)動(dòng)冗余度機(jī)械臂并不能改善其操作工作，執(zhí)行機(jī)械臂任務(wù)類似于輸入空間的體積比工作空間少的緣故。有一條可行的途徑就是在不同的時(shí)間分解機(jī)構(gòu)的工作。例如，當(dāng)機(jī)械臂工作處于驅(qū)動(dòng)模式下，機(jī)構(gòu)組合能進(jìn)行機(jī)構(gòu)自重構(gòu)。然而當(dāng)機(jī)械臂工作在全驅(qū)動(dòng)模式下，其功能之一就是能控制機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)。事實(shí)上，處于欠驅(qū)動(dòng)工作模式下的機(jī)械臂能辯別機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)，如位置控制或間斷點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。但是這并不是此論文所討論的重點(diǎn)。我們應(yīng)關(guān)注的是欠驅(qū)動(dòng)冗余度機(jī)械臂的靜態(tài)特征和機(jī)構(gòu)自重構(gòu)控制方法。
欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂兩中模式的運(yùn)動(dòng)方程可以被多種方法描述。但是在復(fù)雜的機(jī)械裝置中多連桿機(jī)械臂的機(jī)構(gòu)要素定義還存在一定的困難。為了解決這些問(wèn)題，我們將進(jìn)行分析欠驅(qū)動(dòng)冗余度機(jī)械臂的兩種模式間的關(guān)系。
假定一種特殊的機(jī)械臂組合機(jī)構(gòu)，假設(shè)有，處于裝置的兩種模式下的末端位姿表達(dá)式是一致的，可以表示為
（12）
假設(shè) （13）
（13）式表示微運(yùn)動(dòng)發(fā)生在關(guān)節(jié)部分而不是發(fā)生在末端位姿處，根據(jù)（13）式，方程式又可以寫成
（14）
把（14）代入（12）式中，我們可以得到
（15）
（15）式描述欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂兩種模式下的不同一機(jī)構(gòu)。因此，兩種廣義坐標(biāo)也是相等的。設(shè)，又可以得到
（16）
（16）式表示兩種模式下的雅可比矩陣間的關(guān)系。此式能預(yù)測(cè)出全驅(qū)動(dòng)模式的運(yùn)動(dòng)。把（16）式代入方程式（5），可以得到全驅(qū)動(dòng)模式下的欠驅(qū)動(dòng)矩陣方程
（17）
根據(jù)方程（7），GFE欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂也能定義，方程（17）表示在機(jī)械裝置改裝后的系統(tǒng)靜態(tài)特征。其一，我們以通過(guò)3R桿機(jī)械臂模擬（圖4）。作為非冗余度機(jī)械臂而言，如果我們假定處于工作狀態(tài)下的一點(diǎn)，它不僅與柔性橢球體模型有關(guān)。相反有許多與處于冗余度機(jī)械臂工作狀態(tài)下的這一點(diǎn)相關(guān)。假設(shè)3R桿平面機(jī)械臂三桿長(zhǎng)分別為，機(jī)構(gòu)的起始角度為，GFE其他末端位姿起始位置如圖5所示。
顯然，根據(jù)處于工作狀態(tài)下的這種狀況，可知存在許多這樣的關(guān)節(jié)組合。這些機(jī)構(gòu)都是與GFE相關(guān)的。但是一欠驅(qū)動(dòng)冗余度機(jī)械臂存在機(jī)構(gòu)自重構(gòu)的能力。一般而言，我們期望的GFE在不同的基本組合中有類似的運(yùn)動(dòng)。換句話說(shuō)，橢球體模型類似于一個(gè)球。如圖5所示，在3桿中第一桿運(yùn)動(dòng)狀態(tài)表現(xiàn)最佳。
3 非線性控制
我們通過(guò)分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，為了尋求一種能有效地控制欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)。欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂動(dòng)態(tài)方程可以寫成
（18）
（19）
式中為質(zhì)量慣性矩，為中心吸引力和摩擦轉(zhuǎn)矩矢量。M是驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩矢量。是驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)廣義坐標(biāo)矢量。是被動(dòng)關(guān)節(jié)廣義坐標(biāo)矢量。Jain等證實(shí)方程（19）是二階非線性約束方程。通過(guò)自重構(gòu)，在工作狀態(tài)下給定位置，欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂具有改善裝置運(yùn)動(dòng)的能力。由于系統(tǒng)輸入空間維數(shù)少于空間關(guān)節(jié)的維數(shù)，被動(dòng)關(guān)節(jié)的位置控制只能通過(guò)動(dòng)態(tài)藕合來(lái)實(shí)現(xiàn)?；贐rockett理論，給定機(jī)構(gòu)的系統(tǒng)并不是光滑的，穩(wěn)定性完全符合靜平衡反饋定律。因此，非線性控制的結(jié)果表明系統(tǒng)是非線性的、隨時(shí)間變化的、離散的。非線性控制方法還有一種就是在Ref（17）中所提到的全驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。這種方法的本質(zhì)就是當(dāng)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)到一個(gè)周期時(shí)被動(dòng)關(guān)節(jié)將偏離平衡位置（圖6）。
驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程有
（20）
（21）
（22）
式中 A—簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅
W—簡(jiǎn)諧振動(dòng)的角頻率
如果我們將式中（22）變換一下，代入（19）式得到
（23）
通常，角頻率是一個(gè)較大的數(shù)，因此，簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期T=是一個(gè)非常小的數(shù)。被作為一個(gè)周期的約束，（23）式有可以寫成
（24）
（24）式表示一個(gè)周期后有一點(diǎn)發(fā)生偏離。顯然，構(gòu)成整體的價(jià)值在于簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅和角頻率，者就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)中的驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)能控制被動(dòng)關(guān)節(jié)的原因之一。
4 自重構(gòu)控制律
自重構(gòu)需要穩(wěn)定的控制技術(shù)。間諧振動(dòng)非線性控制方法在第3部分已經(jīng)簡(jiǎn)單地介紹了。下面我們將設(shè)計(jì)一個(gè)新的控制方法來(lái)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的自重構(gòu)運(yùn)動(dòng)。這種方法將用于優(yōu)化在工作狀態(tài)下給定位置時(shí)的廣義柔性橢球體模型。
假設(shè)引用于一個(gè)期望的組合，此組合源于一些優(yōu)化方法，是驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的驅(qū)動(dòng)位置角。
設(shè)
（25）
式中 e——關(guān)節(jié)位置矢量誤差
對(duì)方程（24）進(jìn)行微分有：
（26）
取滑動(dòng)模態(tài)為 （27）
集中律為 （28）
式中 ，且sgn（）作為符號(hào)函數(shù)，有如下式子：
如果矢量有，可以得到下面式子：
（27）式表示驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)滿足萊布羅定律。假設(shè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)輸入與（20）、（21）有關(guān)，當(dāng)時(shí)，又可以得到如下關(guān)系式
將（26）式中2桿的2倍偏離量代入（30）式，可以得到
設(shè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)輸入為
將（32）和（31）式代入（19）式，有如下關(guān)系
振動(dòng)振幅為
雖被動(dòng)關(guān)節(jié)并沒(méi)有達(dá)到期望的位置，驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)輸入控制可用（32）式來(lái)描述，另一方面，被動(dòng)關(guān)節(jié)處于期望的位置，輸入控制方式有以下方程。從（27）式中可知偏離時(shí)間為
結(jié)合（28）和（35）式，控制律為
顯然，這種控制方法是非線性的、隨時(shí)間變化的、且遵循Brockett理論。有以上關(guān)系重新整理振幅，控制律為
當(dāng)ep=0時(shí)滿足
當(dāng)ep≠0時(shí)滿足
5 仿真研究
在這部分中，選平面3R桿機(jī)械臂作為仿真模型，如圖4所示。設(shè)第二桿為機(jī)械臂的被動(dòng)關(guān)節(jié)，其他兩桿為驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)。如果初始位置為，為了改善執(zhí)行廣義的柔性橢球體模型，更好的位置為，這在第三部分已給出。我們認(rèn)為后面一種情況是我們期望的結(jié)果。根據(jù)第四部分所提供的控制方法，模擬仿真結(jié)果如圖7所示。
圖7 3R桿欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的自重構(gòu)運(yùn)動(dòng)
1.連桿1 2.連桿2 3.連桿3
圖7（a）表示隨時(shí)間變化的關(guān)節(jié)位置誤差；圖7（b）表示與時(shí)間有關(guān)的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌道軌跡；圖7（c）表示在自重構(gòu)控制中機(jī)械臂機(jī)構(gòu)位置的改變；圖7（d）表示關(guān)節(jié)速度與位置間關(guān)系圖。顯然，機(jī)械臂已滿足期望的機(jī)構(gòu)完成自重構(gòu)控制。
6 結(jié)束語(yǔ)
欠驅(qū)動(dòng)技術(shù)是一個(gè)非常關(guān)鍵性的問(wèn)題，它不僅能夠產(chǎn)生空間機(jī)器人系統(tǒng)的線性誤差，而且能操控合作機(jī)器人和機(jī)器裝置。欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂有實(shí)現(xiàn)機(jī)械自重構(gòu)的能力。新的關(guān)儀廣義柔性橢球體欠驅(qū)動(dòng)冗余度制動(dòng)式機(jī)械臂的測(cè)量被提出。這測(cè)量由于優(yōu)化系統(tǒng)的穩(wěn)定性。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的非線性控制方法能執(zhí)行自重構(gòu)運(yùn)動(dòng)。有3連桿欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的仿真結(jié)果證明測(cè)量和振幅的控制是有效的。
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